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    二值命題邏輯中邏輯理論的計(jì)量化及應(yīng)用

    2014-08-05 02:40:16王菊花
    關(guān)鍵詞:賦值測(cè)度結(jié)論

    李 駿,王菊花

    蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,蘭州 730050

    二值命題邏輯中邏輯理論的計(jì)量化及應(yīng)用

    李 駿,王菊花

    蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院,蘭州 730050

    1 引言

    數(shù)理邏輯的特點(diǎn)在于形式化與符號(hào)化,它和計(jì)算數(shù)學(xué)有著截然不同的風(fēng)格:前者注重形式推理而后者重視數(shù)值計(jì)算;前者強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格論證而后者允許近似求解。邏輯推理方法在諸如定理的自動(dòng)證明、知識(shí)推理、邏輯程序設(shè)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-2],數(shù)值計(jì)算則似乎是遠(yuǎn)離形式推理的完全不同的方法。為填補(bǔ)這一鴻溝,王國(guó)俊教授等將程度化思想引入到數(shù)理邏輯之中建立起了計(jì)量邏輯學(xué)的基本理論[3-6],如今已在包括Lukasiewicz和R0系統(tǒng)在內(nèi)的各種命題邏輯系統(tǒng)中構(gòu)造出了相應(yīng)的邏輯度量空間,從而將近似推理引入到素以嚴(yán)格的形式化推理為特征的各種命題邏輯系統(tǒng)中(可參看文獻(xiàn)[7-12])。

    在計(jì)量邏輯學(xué)中,除了對(duì)單個(gè)公式進(jìn)行計(jì)量化研究之外,學(xué)者們對(duì)理論自身的性質(zhì)也十分關(guān)注,比如:文獻(xiàn)[13-16]研究了理論的相容性和發(fā)散性等性質(zhì),并借助理論的發(fā)散度提出了理論的相容度概念,以此來(lái)區(qū)分不同理論相容程度的大小,進(jìn)而達(dá)到區(qū)分不同理論好壞程度的目的。另外,在命題邏輯中經(jīng)常要研究從某個(gè)命題之集Γ(即,理論)到另一個(gè)命題A的推演,即,從前提信息之集Γ推出某個(gè)結(jié)論A來(lái)。但是在現(xiàn)實(shí)推理中,可能所獲取的信息不足以將A作為理論Γ的邏輯結(jié)論推出來(lái),這時(shí)就需考察理論Γ在多大程度上能推出結(jié)論 A來(lái),即研究從理論Γ出發(fā)的近似推理,這也就涉及理論Γ本身的好壞問(wèn)題,如果能夠給出一個(gè)評(píng)判理論Γ本身可靠程度的直接方法(或指標(biāo)),這將為展開(kāi)從前提信息集Γ出發(fā)的近似推理提供直接的依據(jù)。文獻(xiàn)[17]首次在命題邏輯系統(tǒng)中引入了理論Γ的真度概念來(lái)刻畫(huà)理論的可靠程度,但那里是把理論Γ的全體邏輯結(jié)論真度的下確界值作為理論Γ的真度,這種方法首先損失了理論Γ的結(jié)論中真度值較大的那些結(jié)論提供的信息;其次,這種方法借助了理論Γ本身以外的東西(即Γ的結(jié)論)來(lái)定義理論Γ的真度是不盡合理的,因?yàn)楫?dāng)理論Γ本身不可靠時(shí),它的邏輯結(jié)論就更加不可靠;第三,當(dāng)理論Γ退化為只含一個(gè)公式(比如:B)時(shí),在多值邏輯中,按文獻(xiàn)[17]中的方法計(jì)算出的理論Γ的真度并不等于公式B的真度。因此,給出一個(gè)能克服以上缺陷的評(píng)判理論可靠程度的新方法,是有價(jià)值的研究課題。

    本文在二值命題邏輯系統(tǒng)L中,首先借助勢(shì)為2的均勻概率測(cè)度空間的無(wú)窮乘積,通過(guò)計(jì)算理論Γ的全體模型占整個(gè)賦值空間的測(cè)度來(lái)定義理論Γ的真度,該定義是文獻(xiàn)[3]中公式真度定義的自然推廣,即:當(dāng)理論Γ退化為只含一個(gè)公式(比如:B)時(shí),理論Γ的真度就等于公式B的真度。其次,利用理論的真度定義了理論與理論之間的相似度和偽距離,并給出理論的真度在近似推理及其在描述理論的發(fā)散度、相容度等方面的應(yīng)用。值得指出的是:當(dāng)理論退化為單個(gè)公式時(shí),本文關(guān)于理論所建立的計(jì)量化結(jié)果正是文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)的結(jié)果。

    2 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)S={p1,p2,…},F(xiàn)(S)是由S生成的(﹁,→)型自由代數(shù)。S中的元叫原子命題,F(xiàn)(S)中的元稱為公式(或命題)。在L={0,1}中規(guī)定:﹁0=1,﹁1=0,a→b=0當(dāng)且僅當(dāng)a=1且b=0,則{0,1}成為一個(gè)(﹁,→)型代數(shù)。稱(﹁,→)型同態(tài)v∶F(S)→{0,1}為F(S)的一個(gè)賦值。以Ω記F(S)上全體賦值之集。

    定義1[5]設(shè) A∈F(S),若?v∈Ω,v(A)=1,則稱 A為重言式,記為:╞A;若?v∈Ω,v(A)=0,則稱 A為矛盾式;若?v∈Ω,都有v(A)=v(B),則稱 A與B邏輯等價(jià),記作:A≈B。

    定義2[5]若Γ?F(S),則稱Γ為理論。設(shè) A∈F(S),則從理論Γ到 A的一個(gè)推演是一個(gè)有限的公式序列A1,A2,…,Am,其中,Am=A,且?i≤m,Ai是公理或者Ai∈?;蛘叽嬖?j,k<i,使得 Ai是由 Aj和 Ak運(yùn)用MP規(guī)則而得到的結(jié)果,稱A為Γ-結(jié)論,記作:Γ├A,m叫作從Γ到A的推演長(zhǎng)度,進(jìn)一步,若Γ=Φ(空集),則稱A為定理,簡(jiǎn)記為:├A。

    下文以0-記任一矛盾式,以D(Γ)來(lái)記全體Γ-結(jié)論之集,以T記全體理論之集,即

    D(Γ)={A|A∈F(S),且Γ├A},T={Γ|Γ?F(S)}

    設(shè) ?!蔜,若 0-∈D(Γ),則稱 Γ是不相容的理論。另外,若Γ只含一個(gè)公式A,即Γ={A},則將Γ簡(jiǎn)記為:Γ=A。

    定義3設(shè)?!蔜,v∶F(S)→{0,1}是賦值,若?Ai∈Γ,都有v(Ai)=1,則稱v是Γ的模型,記為v|=?;騰(Γ)=1;若v不是Γ的模型,則簡(jiǎn)記為v(Γ)=0;如果對(duì)每個(gè)v∈Ω,均有v|=Γ,則稱Γ是完全相容的,簡(jiǎn)記為|=Γ;若每個(gè)v∈Ω,都有v(Γ)=0,則稱Γ是完全不相容的。

    定義4設(shè)Γ1,Γ2∈T,如果對(duì)每個(gè)v∈Ω,均有v(Γ1)= v(Γ2),則稱Γ1與Γ2邏輯等價(jià),記作:Γ1≈Γ2。

    注1顯然,當(dāng)Γ1與Γ2都退化為只含單個(gè)公式時(shí),理論之間的邏輯等價(jià)概念正是公式之間邏輯等價(jià)的概念。

    定理1設(shè)?!蔜,則Γ是完全相容的當(dāng)且僅當(dāng)Γ全由定理組成。

    證明 設(shè)Γ是完全相容的,則?v∈Ω,?A∈Γ,都有v(A)=1,從而?A∈Γ,A都是重言式,由完備性定理知?A∈Γ,A都是定理;反過(guò)來(lái),若?A∈Γ,A都是定理,則A都是重言式,從而?v∈Ω都有v(A)=1成立,即?v∈Ω,均有v|=Γ,因此Γ是完全相容的。

    3 理論的真度

    定義7[3]設(shè)v∈Ω,記v(pk)=vk(k=1,2,…),則無(wú)窮維向量v={v1,v2,…}∈X,這里X由定義6確定。反之,設(shè)v={v1,v2,…}∈X,則由v唯一確定Ω中的一個(gè)賦值v,這里v(pk)=vk(k=1,2,…)。令φ(v)=v,則φ∶Ω→X是從Ω到X的一一的滿射,稱φ為Ω的測(cè)度化映射。

    定義8設(shè)Γ∈T,令

    稱τ(Γ)為理論Γ的真度。

    (2)由于在實(shí)際推理中,推理的前提信息之集(即理論Γ)通常都是有限集,Γ中的公式用到的原子公式自然只有有限多個(gè)。因此下文中若無(wú)聲明,都假定構(gòu)成理論Γ的公式中只用到有限多個(gè)原子公式。

    (3)定義8中,若Γ={B},B∈F(S),則有

    式(4)右邊正是文獻(xiàn)[3]中公式B真度的定義式,即τ({B})= τ(B)??梢?jiàn)本文所給出的理論的真度定義是公式真度定義的自然推廣。

    下面的引理是文獻(xiàn)[5]中已給出的本文即將用到的幾個(gè)結(jié)果:

    引理1[1]設(shè)A、B∈F(S),則

    (1)A是重言式當(dāng)且僅當(dāng)τ(A)=1,A是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)τ(A)=0。

    (2)若A≈B,則τ(A)=τ(B)。

    (3)若├A→B,則τ(A)≤τ(B)。

    (4)τ(﹁A)=1-τ(A)。

    (5)τ(B)≥τ(A)+τ(A→B)-1。

    定理2設(shè) ?!蔜,若 Γ={A1,A2,…,An}是有限理論,則τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An);若Γ={A1,A2,…,Ak,…}是無(wú)窮理論,則τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)。

    證明 設(shè)Γ={A1,A2,…,An}是有限理論,則由定義8和注解2知:

    定理3設(shè)?!蔜,則

    (1)τ(Γ)=1當(dāng)且僅當(dāng)Γ為完全相容理論。

    (2)τ(Γ)=0當(dāng)且僅當(dāng)Γ為完全不相容的理論。

    證明(1)若Γ是完全相容理論,則由定理1知Γ全由定理組成,從而?v∈Ω,?Ai∈Γ,都有v(Ai)=1,因此?v∈Ω,都有v|=Γ,故{v∈X|φ(v)=v,v∈Ω,且v|=Γ}=X,從而

    反過(guò)來(lái),若τ(Γ)=1,假設(shè)Γ不是完全相容的理論,則有 v∈Ω 使 v|=Γ不成立,設(shè) pi1,pi2,…,pin是構(gòu)成 Γ所用到的全體原子公式,令v(pik)=vik(k=1,2,…,n)。則(vi1,vi2,…,vin)?E,這里 E由注2給出。因?yàn)?μi1({vi1})× μi2({vi2})×…×μin({vin})=,所以(μi1×μi2×…×μin)(E)≤1-。從而由定義5和定義8知μ([Γ])≠1,從而τ(Γ)≠1,矛盾!因此,Γ為完全相容理論。

    (2)設(shè) Γ為完全不相容的理論,則 ?v∈Ω,都有v|=Γ不成立,從而[Γ]=?(空集),故τ(Γ)=μ(?)=0。

    反過(guò)來(lái),假設(shè)Γ不是完全不相容理論,則有v∈Ω使v|=Γ成立。設(shè) pi1,pi2,…,pin是構(gòu)成Γ所用到的全體原子公式,令v(pik)=vik(k=1,2,…,n)。則(vi1,vi2,…,vin)∈E,這里 E由式(3)確定。因?yàn)?μi1({vi1})×μi2({vi2})×…× μin({vin})=所以 (μi1×μi2×…×μin)(E)≥。從而由式(1)及式(3)知μ([Γ])≠0,故τ(Γ)≠0,矛盾!因此,Γ為完全不相容理論。

    定理4設(shè)Γ1,Γ2∈T,若Γ1≈Γ2,則τ(Γ1)=τ(Γ2)。

    證明 因?yàn)棣?≈Γ2,所以?v∈Ω,有v(Γ1)=v(Γ2),即?v∈Ω,v|=Γ1當(dāng)且僅當(dāng) v|=Γ2,所以 [Γ1]=[Γ2],從而τ(Γ1)=τ(Γ2)。

    4 理論真度的應(yīng)用

    本章將給出理論的真度在描述理論的發(fā)散度和相容度等方面的一些應(yīng)用,先給出文獻(xiàn)[5]中已有的一些結(jié)果。

    首先,若A∈D(Γ),則可取B為任意一個(gè)定理(當(dāng)然有 B∈D(Γ)),此時(shí)由 (A→B)∧(B→A)≈A,從而τ((A→B)∧(B→A))=τ(A)知

    其次,?A,B∈D(Γ),由A→(B→A)和B→(A→B)是公理可知A→B∈D(Γ),且B→A∈D(Γ),從而(A→B)∧(B→A)∈D(Γ),故

    由式(11)和式(12)知式(10)成立,從而式(9)成立。

    定理6設(shè)Γ∈T,則div(Γ)=1-τ(Γ)。

    證明 若Γ={A1,A2,…,An}是有限理論,則?A∈D(Γ),由├(A1∧A2∧…∧An→A),從而由 τ(A1∧A2∧…∧An)≤τ(A)知

    從而由定理3和定理5可知div(Γ)=1-τ(Γ)。若Γ= {A1,A2,…,Ak,…}是無(wú)窮理論,則對(duì)任意的自然數(shù)n,A1∧A2∧…∧An∈D(Γ),令

    則數(shù)列{yn}單調(diào)遞減且有下界0,從而數(shù)列{yn}極限τ(A1∧A2∧…∧An)存在,因此

    注3文獻(xiàn)[5]中關(guān)于一般的理論給出了刻畫(huà)其相容程度的η-相容度,將本文定理6中發(fā)散度的簡(jiǎn)化公式代入η-相容度的表達(dá)式中就可得到簡(jiǎn)化的η-相容度計(jì)算公式。

    定理8設(shè)?!蔜,若τ(Γ)=α,則?B∈Γ,都有τ(B)≥α。

    證明 若Γ={A1,A2,…,An}是有限理論,則由定理3知τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An),又?Ai∈Γ,由├A1∧A2∧…∧An→Ai和引理1(3)可知τ(Ai)≥τ(Γ)=α,結(jié)論成立。

    若 Γ={A1,A2,…,Ak,…}是無(wú)窮理論,由定理1知τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)。 又 ?An∈Γ ,由├A1∧A2∧…∧An→An知 τ(A1∧A2∧…∧An)≤τ(An),令 yn= τ(A1∧A2∧…∧An),由數(shù)列 {yn}單調(diào)遞減且 τ(Γ)=τ(A1∧A2∧…∧An)知τ(An)≥τ(Γ)=α,從而結(jié)論對(duì)無(wú)窮理論也成立。

    定理9設(shè)?!蔜 ,α>0,τ(Γ)=α,A是Γ的長(zhǎng)度為n的結(jié)論,則

    這里,un是斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng),即

    且有u1=u2=1,un+un+1=un+2,n=1,2,…。

    證明 采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。

    當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)锳為公理或A∈Γ所以由引理1(1)和定理7知τ(A)≥α,又式(13)右端un(α-1)+1=α-1+ 1=α,因此式(13)成立。設(shè)n≤k時(shí)式(13)成立,A是Γ的長(zhǎng)度為k+1的推論,推演序列為A1,A2,…,Ak,A。不妨設(shè) A?Γ,A也不是公理,則有i≤k,j≤k,使得 A是由Ai和Aj通過(guò)運(yùn)用MP規(guī)則而得的結(jié)果,由歸納假設(shè)得:

    不妨設(shè)i<j,則 j≤k,i≤k-1,注意到(α-1)≤0,從而由引理1(5)可得:即式(13)當(dāng)n=k+1時(shí)也成立,定理得證。

    注4由定理9知,若推理的前提信息之集Γ的真度為α,則其推理長(zhǎng)度為n的邏輯結(jié)論的真度不小于un(α-1)+1,比如:若τ(Γ)=1,則對(duì)任意的n,Γ的推演長(zhǎng)度為n的邏輯結(jié)論的真度均為1;若τ(Γ)≥0.99,則Γ的推演長(zhǎng)度為6的邏輯結(jié)論的真度均不小于0.92。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    本文在二值命題邏輯系統(tǒng)中,借助勢(shì)為2的均勻概率測(cè)度空間的無(wú)窮乘積,通過(guò)計(jì)算理論Γ的全體模型占整個(gè)賦值空間的測(cè)度定義了理論Γ的真度,并給出理論的真度在描述理論的發(fā)散度、相容度等方面的應(yīng)用,值得指出的是:當(dāng)理論退化為單個(gè)公式時(shí),本文關(guān)于理論所建立的計(jì)量化結(jié)果正是文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)的結(jié)果。關(guān)于如何將本文結(jié)果推廣到多值以至于連續(xù)值命題邏輯系統(tǒng),將另文討論。

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    LI Jun,WANG Juhua

    School of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China

    By means of infinite product of uniformly distributed probability spaces of cardinal 2,this paper introduces the concept of truth degree of a logical theoryΓby computing the measure of all models ofΓin the valuation spaces.Simplified methods to compute the divergent degree and the consistent degree of a logical theory are given and the expression to estimate the truth degree of logical conclusions from the truth degree of its premise set is obtained.

    quantitative logic;logical theory;truth degree of logical theory;consistency degree

    在二值命題邏輯系統(tǒng)中,利用勢(shì)為2的均勻概率測(cè)度空間的無(wú)窮乘積,通過(guò)計(jì)算理論Γ的全體模型占整個(gè)賦值空間的測(cè)度定義了理論Γ的真度,進(jìn)而利用理論的真度簡(jiǎn)化了理論的發(fā)散度和相容度的計(jì)算公式,給出了由推理的前提集的真度估計(jì)其邏輯結(jié)論真度的表達(dá)式。

    計(jì)量邏輯學(xué);邏輯理論;理論的真度;相容度

    A

    O141.1

    10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0205

    LI Jun,WANG Juhua.Quantification of logic theory in two-valued propositional logic and its applications.Computer Engineering and Applications,2014,50(24):42-46.

    國(guó)家自然科學(xué)基金(No.11261032);蘭州理工大學(xué)博士基金資助項(xiàng)目。

    李駿(1972—),男,博士,副教授,碩士研究生導(dǎo)師,研究領(lǐng)域:非經(jīng)典數(shù)理邏輯、不確定性推理;王菊花(1987—),女,碩士研究生,研究領(lǐng)域:不確定性推理。

    2013-01-21

    2013-04-22

    1002-8331(2014)24-0042-05

    CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2013-05-21,http∶//www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130521.1027.004.html

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