求解熱傳導(dǎo)系數(shù)反問(wèn)題的量子行為粒子群算法

田 娜，朱龍超

1.江南大學(xué) 教育技術(shù)系，江蘇 無(wú)錫 214122

2.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 信息技術(shù)室，江蘇 無(wú)錫 214082

求解熱傳導(dǎo)系數(shù)反問(wèn)題的量子行為粒子群算法

田 娜1，朱龍超2

1.江南大學(xué) 教育技術(shù)系，江蘇 無(wú)錫 214122

2.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 信息技術(shù)室，江蘇 無(wú)錫 214082

1 引言

熱力學(xué)中的熱傳導(dǎo)系數(shù)，通常是通過(guò)對(duì)流或流體和固體之間的相變，來(lái)計(jì)算傳熱過(guò)程。對(duì)板表面的熱傳導(dǎo)系數(shù)精確地了解，在許多工程應(yīng)用中都有很重要的作用，包括連鑄坯和電子芯片的冷卻[1]。

在過(guò)去的幾十年里，許多工作已經(jīng)致力于對(duì)隨時(shí)間變化（時(shí)變）的熱傳導(dǎo)系數(shù)的研究[1]。Su和Hewitt[2]使用Alifanov迭代正則化方法來(lái)估計(jì)強(qiáng)對(duì)流流體在加熱管外表面上沸騰時(shí)的熱傳導(dǎo)系數(shù)。在文獻(xiàn)[3]中，三種版本的共軛梯度法用來(lái)估計(jì)平板表面的熱傳導(dǎo)系數(shù)，平板通過(guò)與降溫液體的對(duì)流而散熱。Chen和Wu[4]應(yīng)用了一種包含拉普拉斯變換，有限差分和最小二乘法的混合策略，連同時(shí)間順序的概念，三次樣條和溫度測(cè)量值一起，用于預(yù)測(cè)邊界表面的熱傳導(dǎo)系數(shù)分布。Slodicka[5]采用邊界元法和Tikhonov正則化來(lái)建構(gòu)隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)系數(shù)。Chantasiriwan[6]采用順序函數(shù)估計(jì)法連同線(xiàn)性基函數(shù)和線(xiàn)性變化的未來(lái)邊界熱通量或溫度假設(shè)來(lái)估計(jì)隨時(shí)間變化的Biot數(shù)字。在本文中，采用QPSO算法和Tikhonov正則化方法[7-9]用來(lái)估計(jì)時(shí)變熱傳導(dǎo)系數(shù)。QPSO算法是由Sun[10-12]在PSO的基礎(chǔ)上提出的。PSO算法最初是由Kennedy和Eberhart提出的，是模擬魚(yú)群和鳥(niǎo)群的社會(huì)行為的過(guò)程。與GA比較，PSO和QPSO的優(yōu)點(diǎn)在于：有更少的參數(shù)需要控制，運(yùn)行起來(lái)更簡(jiǎn)單，并且，算法只需要簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算符，而不需要像GA中選擇，交叉，變異之類(lèi)的操作。最后，結(jié)果與CGM估計(jì)得到的結(jié)果進(jìn)行了比較。

2 問(wèn)題描述

液體在平板的上面以一個(gè)恒定的溫度流動(dòng)[1]，如圖1所示。

圖1 電加熱平板

如果平板突然被一個(gè)電加熱器加熱，板的溫度會(huì)上升。假設(shè)平板的材料沿y軸均勻，對(duì)流邊界條件在x=0和x=L是指定的。數(shù)學(xué)模型為：

其中T(x，t)是在位置x和時(shí)間t的溫度分布，g(t)是熱源在x=xs的強(qiáng)度，T∞是周?chē)h(huán)境的溫度，T0是初始溫度分布。為了描述簡(jiǎn)單，物理屬性被設(shè)為K=ρC=L=1，這與采用無(wú)量綱的數(shù)據(jù)是一樣的。在這里，h(t)是未知的待確定的熱傳導(dǎo)系數(shù)。對(duì)方程（1）采用隱式有限差分法：

在邊界x=L，對(duì)流邊界條件用二階離散得到：

平均誤差herror，用來(lái)評(píng)估估計(jì)得到的熱傳導(dǎo)系數(shù)，可以定義為：

其中Nt是時(shí)間步數(shù)，hj是估計(jì)得到的熱傳導(dǎo)系數(shù)，h~j是準(zhǔn)確的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

最小二乘模型用來(lái)求解此類(lèi)反問(wèn)題：

這種方法求解反問(wèn)題的過(guò)程是不適定性的，不可避免的測(cè)量和計(jì)算誤差常常導(dǎo)致不穩(wěn)定和不精確的結(jié)果。所以，采用正則化技術(shù)來(lái)得到穩(wěn)定解[7]，它可以將目標(biāo)函數(shù)式（8）改寫(xiě)成如下適定形式：

其中λ是正則參數(shù)，公式（9）右邊第一項(xiàng)是差異項(xiàng)，第二項(xiàng)是正則項(xiàng)。正則項(xiàng)通?？梢员硎緸槿缦滦问剑?/p>

其中n是正則階數(shù)。常用的有零階和一階正則項(xiàng)。當(dāng)n=0時(shí)，為零階正則項(xiàng)：

3 量子行為粒子群優(yōu)化算法

3.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是基于群體智能的優(yōu)化技術(shù)，最初由Kennedy和Eberhart在1995提出的[13]。該算法的概念來(lái)源于鳥(niǎo)群或魚(yú)群的社會(huì)行為。該系統(tǒng)有一個(gè)粒子群體，其中每個(gè)粒子代表一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題可能的解。已經(jīng)證明PSO算法與遺傳算法（GA）有相當(dāng)?shù)男阅躘14]。

在有M個(gè)粒子，D維空間的原始PSO算法中，第i個(gè)粒子在第k次迭代步的位置向量和速度向量表示為：Xi(k)=(Xi1(k)，Xi2(k)，…，XiD(k))，Vi(k)=(Vi1(k)，Vi2(k)，…，ViD(k))。粒子根據(jù)以下迭代公式更新速度和位置：

其中i=1，2，…，M ，j=1，2，…，D，c1和c2是加速系數(shù)。r1和r2是均勻分布在（0，1）中的隨機(jī)數(shù)。向量Pi= (Pi1，Pi2，…，PiD)是第i個(gè)粒子的歷史最佳位置。向量Pg=(Pg1，Pg2，…，PgD)是整個(gè)粒子群的歷史最佳位置。

3.2 量子行為粒子群優(yōu)化算法

原始PSO算法的缺點(diǎn)是不能確保收斂到全局最優(yōu)解[15]，為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，Sun在2004年提出了量子行為粒子群優(yōu)化算法的概念，文獻(xiàn)[10-11]中的軌跡分析說(shuō)明，當(dāng)每個(gè)粒子收斂到 pi=(pi1，pi2，…，piD)時(shí)，PSO算法實(shí)現(xiàn)收斂：

其中φ∈(0，1)。

在量子世界中，粒子的速度是沒(méi)有意義的。所以在QPSO中，位置是唯一描述粒子狀態(tài)的變量，更新公式如：

其中mbest(k)稱(chēng)作平均最優(yōu)位置，定義為所有粒子歷史最優(yōu)位置的平均值：

其中M是粒子的個(gè)數(shù)。公式（16）中的參數(shù)α是收縮系數(shù)，通過(guò)調(diào)整可以控制收斂速度。與PSO不同的是，QPSO算法不需要算法向量，并且只有一個(gè)參數(shù)需要控制，使得算法更容易執(zhí)行。標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)證明，QPSO算法的性能要優(yōu)于PSO算法[10-12]。

在本文中，QPSO算法用來(lái)估計(jì)隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)系數(shù)h(t)，其中，每個(gè)粒子X(jué)i(k)作為h(t)的一個(gè)候選解：

其中D=Nt。

QPSO與Tikhonov正則化方法估計(jì)h(t)的過(guò)程可以描述為：

選擇N個(gè)正則參數(shù)值{λ1，λ2，…，λN-1，λN}以及與之對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量Residual和Norm；對(duì)于每一個(gè)正則參數(shù) λj(j=1，2，…，N)

Step1初始化：粒子位置

X(0)={X1(0)，X2(0)，…，Xi(0)，…，XM(0)}

粒子歷史最優(yōu)位置

P(0)={P1(0)，P2(0)，…，Pi(0)，…，PM(0)}

全局最優(yōu)位置Pg，縮放系數(shù)α=1.0，k=0。

Step2 while(k＜kmax)

根據(jù)公式（17）計(jì)算mbest；根據(jù)公式（15）計(jì)算 p；根據(jù)公式（16）更新每個(gè)粒子的位置；根據(jù)公式（12）評(píng)估每個(gè)粒子在λj下的適應(yīng)值；更新P和Pg；更新α；

Step3將向量Residual和Norm的點(diǎn)畫(huà)在坐標(biāo)系中，以獲得最優(yōu)正則系數(shù)λopt。Go to Step1。

Step4輸出估計(jì)得到的最優(yōu)熱傳導(dǎo)系數(shù)hopt。

4 數(shù)值測(cè)試

在隨后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，采用方波函數(shù)[2]：

這是最難估計(jì)的一種情況。問(wèn)題的設(shè)置為：

為了探討傳感器的數(shù)量和位置對(duì)結(jié)果的影響，表1列出了一系列不同的案例。圖2顯示了分別采用1，3，5個(gè)傳感器的結(jié)果。從中可以注意到，用3個(gè)和5個(gè)傳感器估計(jì)的結(jié)果并不優(yōu)于只用一個(gè)傳感器得到的結(jié)果。因此，這表明，一個(gè)傳感器足以獲得令人滿(mǎn)意的估計(jì)問(wèn)題。

表1 傳感器的數(shù)量和位置對(duì)結(jié)果的影響

圖2 QPSO用不同數(shù)量的傳感器估計(jì)的h(t)

因此，在隨后的測(cè)試中只用一個(gè)傳感器來(lái)進(jìn)行溫度測(cè)量。圖3所示顯示了傳感器的位置對(duì)熱傳導(dǎo)系數(shù)的影響。表2列出了四種傳感器的位置和其相應(yīng)的平均誤差和目標(biāo)函數(shù)值。從中可以注意到，傳感器越接近對(duì)流邊界，結(jié)果越好，如圖3所示。

圖3 QPSO采用不同位置的傳感器估計(jì)的h(t)

表2 傳感器位置對(duì)結(jié)果的影響

用模擬實(shí)驗(yàn)溫度來(lái)研究不同噪音水平對(duì)結(jié)果的影響。測(cè)試中采用了三個(gè)不同的噪聲水平。表3列出了QPSO和CGM算法的平均誤差和目標(biāo)函數(shù)值。圖4比較了二者的結(jié)果。從中注意到，由QPSO估計(jì)得到的出色結(jié)果，特別是對(duì)t=tf附近值的估計(jì)。圖5顯示了QPSO和CGM在估計(jì)熱傳導(dǎo)系數(shù)時(shí)的收斂曲線(xiàn)。注意到，CGM收斂速度很快，但是在一些迭代步之后，收斂就出現(xiàn)了停滯。雖然隨機(jī)初始化的QPSO算法的收斂速度相對(duì)緩慢，但是全局最優(yōu)解得到了保障。

表3 在不同噪聲下QPSO和CGM的比較

圖4 QPSO和CGM用不同水平的噪聲估計(jì)的h(t)

圖5 CGM和QPSO估計(jì)的h(t)收斂曲線(xiàn)(ε=0)

為了測(cè)試QPSO算法的魯棒性，再對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，一個(gè)是持續(xù)很短時(shí)間的方波函數(shù)：

由QPSO和CGM估計(jì)的結(jié)果如圖6和圖7所示?？梢钥闯?，由QPSO估計(jì)的時(shí)變熱傳導(dǎo)系數(shù)與準(zhǔn)確的熱傳導(dǎo)系數(shù)非常逼近。

圖6 QPSO和CGM估計(jì)較小波函數(shù)的h(t)

圖7 QPSO和CGM估計(jì)波形h(t)(ε=0)

5 結(jié)論

在本文中，QPSO算法用來(lái)對(duì)平板表面的時(shí)變熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。采用模擬測(cè)量溫度值得到的結(jié)果證明了QPSO算法的可行性和穩(wěn)定性。分析研究了傳感器的數(shù)量和位置對(duì)結(jié)果精確度的影響。通過(guò)對(duì)QPSO和CGM的比較，說(shuō)明了QPSO的優(yōu)越性。

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TIAN Na1,ZHU Longchao2

1.Department of Educational Technology,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Department of Information Technology,China Ship Science Research Centre,Wuxi,Jiangsu 214082,China

In this paper,the Quantum-behaved Particle Swarm Optimization（QPSO）with Tikhonov regularization is used to solve the inverse heat conduction problem of estimating the time dependent heat transfer coefficient of a flat plate.The prior information about the functional form of the unknown is unavailable.The estimation is based on transient temperature measurements taken by the sensors imbedded in the plate,which are used in the least square model,minimized by QPSO. The detail of choosing the best regularization parameter by L-curve method is presented.Numerical experiments are performed to test the proposed method.Effects of the location and number of sensors are also investigated.Comparison with conjugate gradient method is given as well.

heat transfer coefficient;Quantum-behaved Particle Swarm Optimization（QPSO）;Tikhonov regularization; conjugate gradient method;L-curve

量子行為粒子群優(yōu)化算法（QPSO）和Tikhonov正則化方法用來(lái)求解熱傳導(dǎo)反問(wèn)題，近似估計(jì)平板隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)系數(shù)。由于熱傳導(dǎo)系數(shù)的函數(shù)形式是未知的，所以問(wèn)題可以歸結(jié)為函數(shù)估計(jì)問(wèn)題。求解過(guò)程是基于最小二乘模型的，采用的是嵌在平板中的傳感器所測(cè)量得到的溫度，優(yōu)化過(guò)程由QPSO算法來(lái)求解。給出了由L曲線(xiàn)方法選擇正則參數(shù)的詳細(xì)過(guò)程。提出算法的有效性經(jīng)過(guò)了數(shù)值實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。傳感器的位置和數(shù)量對(duì)結(jié)果的影響也做了研究。給出了與共軛梯度法的比較。

熱傳導(dǎo)系數(shù)；量子行為粒子群優(yōu)化算法；Tikhonov正則化；共軛梯度法；L曲線(xiàn)

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0033

TIAN Na,ZHU Longchao.Estimation of heat transfer coefficient using Quantum-behaved Particle Swarm Optimization.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：266-270.

江南大學(xué)自主科研項(xiàng)目基金（No.1245210382130120，No.1242050205142810）。

田娜（1983—），女，博士，副教授，主要研究方向?yàn)橹悄苡?jì)算，模式識(shí)別，偏微分方程反問(wèn)題。

2013-05-08

2013-09-11

1002-8331（2014）24-0266-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-05-05，http∶//www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0033.html