算術(shù)基礎(chǔ)中的哲學(xué)問(wèn)題：古代與現(xiàn)代

B. C. 霍普金斯

(西雅圖大學(xué) 哲學(xué)系， 美國(guó) 西雅圖)

【哲學(xué)·科學(xué)技術(shù)哲學(xué)】

算術(shù)基礎(chǔ)中的哲學(xué)問(wèn)題：古代與現(xiàn)代

B. C. 霍普金斯

(西雅圖大學(xué) 哲學(xué)系， 美國(guó) 西雅圖)

與無(wú)時(shí)間的數(shù)學(xué)真理不同，導(dǎo)致數(shù)學(xué)真理產(chǎn)生的數(shù)這個(gè)概念是歷史性的。古希臘數(shù)學(xué)明顯將數(shù)區(qū)別于概念，相反現(xiàn)代數(shù)學(xué)則把數(shù)理解為一種具有概念特性的東西，或者說(shuō)共有一種特性的概念的集合。無(wú)論哪一種數(shù)學(xué)概念，都面臨兩個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題：在被數(shù)的意義上，事物的本性是什么?這些事物的數(shù)在何種意義上是統(tǒng)一性?畢達(dá)哥拉斯主義算術(shù)沒(méi)有回答第一個(gè)問(wèn)題，也就不能解釋被同一個(gè)形式所統(tǒng)一的不同數(shù)之間的差異。柏拉圖給出的答案是，設(shè)定具有差異化的一與多結(jié)構(gòu)的相數(shù)。對(duì)相數(shù)的參與為每個(gè)數(shù)學(xué)數(shù)提供了使之區(qū)別于其他數(shù)的獨(dú)特統(tǒng)一性。與古希臘數(shù)學(xué)完全不同，韋達(dá)“解析藝術(shù)”所開(kāi)創(chuàng)的現(xiàn)代觀念不再把數(shù)定義為多，而是多的概念。然而不同數(shù)的統(tǒng)一性何以各不相同這一難題仍然懸而未決。

柏拉圖；韋達(dá)；算術(shù)基礎(chǔ)；數(shù)；統(tǒng)一性；概念

一、緒言：數(shù)、歷史與關(guān)于基礎(chǔ)的哲學(xué)問(wèn)題

本文的主題是關(guān)于古希臘與現(xiàn)代算術(shù)中的基礎(chǔ)的哲學(xué)問(wèn)題。出于多種原因，這一主題的本質(zhì)尚不為當(dāng)今哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家及其學(xué)生所熟悉，所以一段解釋性的緒言是有必要的。關(guān)于算術(shù)，在當(dāng)今哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家及受過(guò)教育的人們那里普遍存在著一個(gè)預(yù)設(shè)：數(shù)學(xué)真理不會(huì)變動(dòng)，所以算術(shù)的真理是無(wú)時(shí)間的，即處于歷史變遷之外。比如，5加7之和，曾經(jīng)一直是且也將一直是12?，F(xiàn)在基于這一完全合理的預(yù)設(shè)，人們也普遍引申出下面這個(gè)結(jié)論：導(dǎo)致數(shù)學(xué)真理產(chǎn)生的諸概念也是無(wú)時(shí)間的。所以對(duì)于算術(shù)，數(shù)這個(gè)概念被設(shè)定為先于任何其他概念，這些概念包含的意義是可確定歷史時(shí)期的，因而僅在特定歷史時(shí)期的背景下才有意義。關(guān)于概念對(duì)于歷史性的意義的優(yōu)先性的哲學(xué)術(shù)語(yǔ)是“先天的(a priori)”，其字面意思是“由先行者而來(lái)”，對(duì)于數(shù)而言就意味著，數(shù)的意義先于從而獨(dú)立于由確定的歷史時(shí)期或時(shí)代提供的意義背景。

然而第二個(gè)合理的預(yù)設(shè)——因?yàn)閿?shù)學(xué)真理是無(wú)時(shí)間的所以數(shù)這個(gè)概念是先天的——卻是錯(cuò)的，我今天正要證明這一點(diǎn)。古希臘算術(shù)所使用的是一個(gè)與現(xiàn)代算術(shù)使用的完全不同的數(shù)概念，這兩個(gè)概念如此迥異，甚至應(yīng)該說(shuō)，古希臘數(shù)學(xué)家所理解的一個(gè)數(shù)之所與現(xiàn)代數(shù)學(xué)家所理解的數(shù)之所是截然不同的。首先，對(duì)于古希臘數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)明顯區(qū)別于概念；然而對(duì)數(shù)的典型的現(xiàn)代定義將數(shù)理解為概念的特性，或者應(yīng)該說(shuō)是所有共有一個(gè)特性的概念的集合。這一差異是我今天的主題的一個(gè)重要的焦點(diǎn)，我會(huì)回到這一差異并探討它的一些細(xì)節(jié)。這一差異被古希臘對(duì)數(shù)學(xué)的理解與現(xiàn)代對(duì)數(shù)學(xué)的理解——即他們對(duì)普遍意義上的數(shù)學(xué)與特殊意義上的算術(shù)的理解——的另一個(gè)基本差異強(qiáng)化了。在古希臘，μα′θημα(mathêma)就是能被學(xué)習(xí)與理解且一旦被學(xué)習(xí)就被認(rèn)識(shí)的東西。所以，知識(shí)與古希臘對(duì)“數(shù)學(xué)”的理解密切相關(guān)，而且在此意義上的數(shù)學(xué)觀念是所有希臘哲學(xué)與科學(xué)的范例。希臘算術(shù)作為學(xué)習(xí)的問(wèn)題，首先關(guān)涉兩個(gè)基本難題：在被數(shù)的意義上，事物的本性是什么；這些事物的數(shù)在何種意義上是統(tǒng)一體。我想我們都會(huì)同意，這些難題離今天我們關(guān)于計(jì)算的實(shí)踐藝術(shù)的算術(shù)很遠(yuǎn)。這兩個(gè)由古希臘算術(shù)提出的問(wèn)題，當(dāng)今是由數(shù)論來(lái)研究的。這就引入了我今天要說(shuō)明的主題的第二點(diǎn)，即在關(guān)于基礎(chǔ)的哲學(xué)難題中所涉及的問(wèn)題。

在當(dāng)代哲學(xué)的一個(gè)被其支持者與批評(píng)者稱為“后現(xiàn)代”的分支里，“基礎(chǔ)”是一個(gè)壞詞，因?yàn)樗挥脕?lái)指這樣一種原則或概念，它根據(jù)某個(gè)共同特性來(lái)解釋復(fù)雜事物，排除了構(gòu)成事物的多樣化的一些重要方面，從而據(jù)說(shuō)簡(jiǎn)化乃至篡改了復(fù)雜事物。譬如，笛卡爾就是典型的現(xiàn)代基礎(chǔ)主義哲學(xué)家，因?yàn)樗噲D把知識(shí)建基于思想之中，而思想被認(rèn)為是壞的，因?yàn)橐坏┧枷氡唤邮転橐磺兄R(shí)的基礎(chǔ)，人類的情感與感覺(jué)等其他能力——還是據(jù)說(shuō)——(原則上)被否認(rèn)能夠產(chǎn)生知識(shí)。柏拉圖則是典型的古代基礎(chǔ)主義哲學(xué)家，因?yàn)樗噲D在一個(gè)由可模仿的形式(eidê)構(gòu)成的智性領(lǐng)域中解釋一切存在東西的基礎(chǔ)，而這個(gè)智性領(lǐng)域被認(rèn)為是壞的，因?yàn)橐坏┻@種“彼岸世界的”形式被認(rèn)為是一切實(shí)在的普遍支撐，那一切非智性的事物——最先且最重要的就是身體——都會(huì)遭到——還是據(jù)說(shuō)的——不可避免的貶低，這里指的是對(duì)其生動(dòng)性的價(jià)值的貶低。然而對(duì)于那些被古希臘人稱為“數(shù)學(xué)家”的人及他們的哲學(xué)家，還有直到20世紀(jì)中葉為止的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，“基礎(chǔ)”不是一個(gè)壞詞。相反，這是一個(gè)好詞，因?yàn)樗甘驹谌祟惪茖W(xué)聲稱認(rèn)識(shí)的真理背后的最高的從而也是最深?yuàn)W的理由。沒(méi)有這些理由提供的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家一樣都會(huì)將數(shù)學(xué)這種人類知識(shí)判定為不完整的，從而是不完美的。

在這種情況下，對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)聲稱從而假裝知道的東西的真相，必須有更深刻的理由。這一點(diǎn)由于被算術(shù)基本概念中的推理所發(fā)現(xiàn)的悖論與徹底的矛盾而被認(rèn)為是明證的。對(duì)古希臘算術(shù)而言，數(shù)既表示眾物又表示眾物作為確定數(shù)目的統(tǒng)一性，這一事實(shí)被認(rèn)為依據(jù)于一個(gè)深刻的矛盾：即同一個(gè)東西——數(shù)——既是多又是一，從而在其存在中聯(lián)合了被人類語(yǔ)言永遠(yuǎn)認(rèn)作不可聯(lián)合的對(duì)立面的不同性質(zhì)*正如以下引文所顯示的，Kurt G?del同樣認(rèn)識(shí)到古希臘人在算術(shù)的核心中發(fā)現(xiàn)的矛盾：集合是被其元素構(gòu)成的統(tǒng)一體。將多納入統(tǒng)一之中是心靈的一個(gè)基本特性。集合是多，也是統(tǒng)一體。多是統(tǒng)一體的對(duì)立面。集合實(shí)存看似一個(gè)矛盾的事實(shí)。然而令人驚訝的是，多也是統(tǒng)一體這一事實(shí)并沒(méi)有導(dǎo)致矛盾：這個(gè)是數(shù)學(xué)的主要事實(shí)。一起思考[諸多東西]看似平凡無(wú)奇，這也似乎解釋了我們?yōu)楹螞](méi)有矛盾。然而“眾物為一”遠(yuǎn)非尋常[2]254。。對(duì)于現(xiàn)代數(shù)論而言，數(shù)的領(lǐng)域在“普遍分析”或“普遍算術(shù)”中從自然數(shù)向無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)與虛數(shù)等的擴(kuò)展，引發(fā)了難題，即如何將這些非自然數(shù)理解為數(shù)，即理解為回答“多少？”這一問(wèn)題的計(jì)量單元或數(shù)目單元。

二、畢達(dá)哥拉斯主義算術(shù)中的基礎(chǔ)的問(wèn)題

已經(jīng)提及的這兩點(diǎn)——即被數(shù)之物的本性問(wèn)題與它們的數(shù)在何種意義上是統(tǒng)一體問(wèn)題——為希臘算術(shù)所涉及，畢達(dá)哥拉斯主義者關(guān)注第二個(gè)。被自己的數(shù)所表示的被數(shù)之物在任何情況下都是若干事物，與此同時(shí)它們的多又憑借自己的數(shù)而被理解為構(gòu)成一組事物，或用今天的說(shuō)法，事物的“一個(gè)集合”。為什么若干事物被把握為一負(fù)責(zé)這一關(guān)于基礎(chǔ)的問(wèn)題，正是畢達(dá)哥拉斯主義者的算術(shù)試圖解決的問(wèn)題。他們對(duì)這一問(wèn)題的解決是通過(guò)按照數(shù)的ε?δη(形式或類)——如奇數(shù)與偶數(shù)、正方形、立方形——來(lái)區(qū)分?jǐn)?shù)，以援引被畢達(dá)哥拉斯主義者發(fā)現(xiàn)的、直到今天還被保留為算術(shù)術(shù)語(yǔ)的一些形式。與被數(shù)的確定量所規(guī)定的諸物不同，數(shù)的形式是自在為一的：所以奇數(shù)的形式只有一個(gè)，偶數(shù)的形式亦然，雖然奇數(shù)與偶數(shù)有無(wú)窮多個(gè)。除了這些熟悉的數(shù)的形式，畢達(dá)哥拉斯主義者還通過(guò)幾何形式來(lái)區(qū)分?jǐn)?shù)。幾何形式在每一個(gè)被數(shù)的東西都被一個(gè)石子或圓點(diǎn)代表時(shí)是可見(jiàn)的。開(kāi)始是一個(gè)這樣的代表，然后許多組圓點(diǎn)再加上去，就產(chǎn)生了類似下面幾種圖形：三角形、正方形、五角形等。因這類圖形而成形的數(shù)就按這些圖形的名字來(lái)稱呼，如三角形數(shù)、正方形數(shù)、五角形數(shù)等，所以這些圖形被理解為那些石子或圓點(diǎn)被把握為“一“的原因。六個(gè)東西能被設(shè)想為“一”組，即設(shè)想為“六”，是因?yàn)槿切涡问绞?個(gè)東西成為一個(gè)。那么，10個(gè)東西也可以被設(shè)想為“一”組，即“十”，因?yàn)橥瑯拥娜切涡问绞顾鼈兂蔀橐粋€(gè)。

畢達(dá)哥拉斯主義者將數(shù)的各種形式或類理解為它們的“自然”秩序，而且他們把所有事物，尤其是可見(jiàn)物都理解為數(shù)，而數(shù)的本性就是為其統(tǒng)一性負(fù)責(zé)的確定的形式。所以，畢達(dá)哥拉斯主義“算術(shù)”不僅是我們所說(shuō)的“數(shù)學(xué)”原則，而且是一門(mén)關(guān)于可見(jiàn)宇宙的科學(xué)，一門(mén)宇宙學(xué)，即關(guān)于我們宇宙的統(tǒng)一與秩序的科學(xué)。畢達(dá)哥拉斯主義者將他們的宇宙學(xué)算術(shù)擴(kuò)展到通過(guò)將可聽(tīng)見(jiàn)的東西和聲音與比率、比例及它們的形式和性質(zhì)聯(lián)系在一起，來(lái)研究數(shù)的形式與數(shù)本身之間的關(guān)系；從中就產(chǎn)生了古希臘人所謂的“邏輯學(xué)(logistic)”，即關(guān)于比率與性質(zhì)的科學(xué)。這門(mén)科學(xué)將事物的數(shù)帶入彼此之間的關(guān)系，且在古代與中世紀(jì)的代數(shù)發(fā)明之前，一直是所有計(jì)算的基礎(chǔ)。

三、柏拉圖解決算術(shù)基礎(chǔ)之問(wèn)題的嘗試

關(guān)于將數(shù)理解為特定事物的特定量所引起的第一個(gè)問(wèn)題，柏拉圖研究被我們用來(lái)數(shù)星星、牲口、士兵、德行等的數(shù)本身確切地是什么。當(dāng)我們數(shù)“四”顆星、“四”頭牲口、“四”個(gè)士兵、“四”種德行時(shí)，柏拉圖主張，這個(gè)“四”明顯不限于星星、牲口、士兵與德行，也就是說(shuō)，“四”個(gè)確定的東西既非星星、牲口、士兵與德行，也非任何其他被我們的五官所把握的限定之物。所以對(duì)柏拉圖而言，我們計(jì)數(shù)的能力必須預(yù)設(shè)，我們用來(lái)計(jì)數(shù)的數(shù)不是指這些具有感性特質(zhì)的限定之物，而是指只能被我們的理智所設(shè)想的東西。也就是說(shuō)，我們可以計(jì)數(shù)任何東西的任何數(shù)——在這里就是“四”顆星、“四”頭牲口、“四”個(gè)士兵與“四”種德行，因?yàn)榱硪环N由其性質(zhì)不為我們感官所見(jiàn)因而是智性的事物之多構(gòu)成的數(shù)，在我們開(kāi)始計(jì)數(shù)這些具有可感性質(zhì)的事物之多之前，就已經(jīng)可被我們的理智所用。構(gòu)成智性之?dāng)?shù)的事物之多具有如下性質(zhì)：不變性，因?yàn)椴幌窬哂锌筛行再|(zhì)的事物，智性之物永遠(yuǎn)保持同一；完全等同，因?yàn)樵谥荒鼙晃覀兊睦碇撬O(shè)想的多中的每個(gè)智性之物都不過(guò)是一；不可分性，因?yàn)榻^對(duì)為一的東西不可被分割，分割了就多于一了。總之，只有“純粹”單元之多的確定量，即“純粹數(shù)”在人的心靈開(kāi)始計(jì)數(shù)它要數(shù)的任何東西之前就能被心靈所用，人的計(jì)數(shù)能力才是可能的。所以據(jù)柏拉圖來(lái)看，算術(shù)的畢達(dá)哥拉斯主義基礎(chǔ)——數(shù)的形式——必須把純粹單元之多作為其基礎(chǔ)，這些單元構(gòu)成了被計(jì)數(shù)活動(dòng)所預(yù)設(shè)的純粹數(shù)的源頭。

柏拉圖對(duì)畢達(dá)哥拉斯主義算術(shù)的“純化”提供了一種算術(shù)，對(duì)于由這種算術(shù)所計(jì)數(shù)之物的本性的一種新視角，相應(yīng)地導(dǎo)向了對(duì)于畢達(dá)哥拉斯主義者對(duì)眾物如何能構(gòu)成一個(gè)數(shù)這一問(wèn)題的回答的批評(píng)。現(xiàn)在要考慮的是“純粹”單元，所以這個(gè)問(wèn)題要重新表述為：諸純粹單元如何構(gòu)成一個(gè)數(shù)？我們知道，盡管畢達(dá)哥拉斯主義者的數(shù)的形式具有將構(gòu)成每個(gè)數(shù)的許多感性的“一”統(tǒng)一起來(lái)的功能，但它們迥異于數(shù)本身。這是因?yàn)檫@些單一的、即作為一的形式缺少與數(shù)的存在不可分離的多。所以這些形式不能解釋被同一個(gè)形式所統(tǒng)一的不同數(shù)之間的差異。譬如我們知道，在畢達(dá)哥拉斯主義算術(shù)中，數(shù)“六”與數(shù)“十”各自是6個(gè)東西與10個(gè)東西的統(tǒng)一體，這是因?yàn)楫?dāng)這些東西被圓點(diǎn)代表時(shí)，它們具有三角形形式。然而對(duì)于柏拉圖而言，無(wú)論這個(gè)形式還是偶數(shù)形式，都不能解釋6個(gè)純粹單元之統(tǒng)一體的形式與10個(gè)純粹單元之統(tǒng)一體的形式之間的差異之本性。這是因?yàn)椤敖y(tǒng)一”與“多”這些算術(shù)形式(或算術(shù)概念)不能說(shuō)明由不同數(shù)所表達(dá)的多的統(tǒng)一中的諸差異；“六”與“十”都是純粹單元之多的統(tǒng)一體，但它們作為數(shù)值統(tǒng)一體的本性是不同的，因?yàn)椤傲北取笆毙?，也正因此，在?shù)的自然序列中“六”先于“十”。據(jù)柏拉圖看來(lái)，因?yàn)樗阈g(shù)概念不能說(shuō)明數(shù)之間的真正差異，所以算術(shù)不能充分解釋自身。就是說(shuō)，算術(shù)概念不能解釋其作為科學(xué)的基礎(chǔ)，因?yàn)檫@些概念不能解釋其最基本的元素：數(shù)。

這種關(guān)于柏拉圖對(duì)型相的理解的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，在他最出色的學(xué)生亞里士多德批評(píng)柏拉圖哲學(xué)時(shí)的膚淺理解中，在對(duì)他(亞里士多德)自己的關(guān)于形式的哲學(xué)的陳述中有其淵源。盡管柏拉圖的對(duì)話確實(shí)把感性之物與其型相之間的關(guān)系說(shuō)成前者對(duì)后者的“參與”，但是柏拉圖的任何作品中都沒(méi)有說(shuō)，形式被設(shè)定為獨(dú)立于或分離于感性世界中的事物而實(shí)存，或后面這種感性之物被描述為彼此分離，從而是“單數(shù)的”或“特別的”。相反，與柏拉圖對(duì)型相的說(shuō)明不可分離的是說(shuō)明事物之多的統(tǒng)一性問(wèn)題，無(wú)論這些東西可被感官感知，如一群蜜蜂的統(tǒng)一性，或只在思想中被理解，如善良行動(dòng)的統(tǒng)一性。這就是說(shuō)，我們已經(jīng)看到的這個(gè)問(wèn)題，處于柏拉圖對(duì)將相數(shù)設(shè)定為算術(shù)最基本元素——數(shù)——的基礎(chǔ)所需要說(shuō)明的根底，也處于他對(duì)型相之說(shuō)明中的參與問(wèn)題的根底。所以，柏拉圖對(duì)相數(shù)的說(shuō)明不僅是他對(duì)算術(shù)基礎(chǔ)的問(wèn)題的解答，而且還決定著解決參與這個(gè)大難題的關(guān)鍵。

共同之物不描述必然共有它們的東西這類例外情況引發(fā)了一個(gè)問(wèn)題：這一共同性質(zhì)何在？“二”是某種分離于從而可以說(shuō)“伴隨”或“外在于”單個(gè)事物的東西嗎(必須注意，當(dāng)問(wèn)“二”在哪里時(shí)，我們不是問(wèn)“2”這個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)在哪里，畢竟這個(gè)符號(hào)自身是毫無(wú)意義的)？當(dāng)柏拉圖的對(duì)話《智者篇》的兩個(gè)談話者，一個(gè)來(lái)自愛(ài)利亞城的無(wú)名的陌生哲學(xué)家與一個(gè)叫做泰阿泰德的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)被兩個(gè)東西分享卻不能被單獨(dú)具有的共性這種典型情況時(shí)，談話展示了解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵。

哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家兩個(gè)人的研究，即柏拉圖所謂的“辯證法的”研究，指示了解決構(gòu)成數(shù)的共性究竟何在這個(gè)問(wèn)題的方法。這一指示發(fā)生在他們計(jì)數(shù)存在的部分(parts of Being)的努力失敗時(shí)。他們失敗，是因?yàn)榇嬖诘牟糠植幌袼阈g(shù)數(shù)的部分即“純”(智性)一之多，而我們知道，就是這種多構(gòu)成了算術(shù)科學(xué)所預(yù)設(shè)的數(shù)學(xué)意義上的“純”數(shù)。這一失敗在他們對(duì)哲學(xué)家所謂的“最大的類”，即運(yùn)動(dòng)、靜止與存在的討論中很明顯。存在無(wú)非被規(guī)定為運(yùn)動(dòng)與靜止，這就有問(wèn)題了：這些形式的數(shù)是二還是三？所以，為對(duì)“存在是什么”這個(gè)哲學(xué)最基本問(wèn)題之一的回答給予說(shuō)明，被證明是要取得數(shù)這個(gè)算術(shù)的最基本元素的幫助的。

數(shù)學(xué)數(shù)并未證明能夠勝任計(jì)算存在及其部分的任務(wù)，因?yàn)楫?dāng)靜止被數(shù)作一，運(yùn)動(dòng)為另一個(gè)一，存在為第三個(gè)一時(shí)，他們的數(shù)加起來(lái)就是三。存在被數(shù)作“外在于”靜止與運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)形式，這是完全不可能的。之所以如此，是因?yàn)槿魏未嬖谡弑仨毑皇庆o止就是運(yùn)動(dòng)的，所以必須具有靜止與運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，靜止與運(yùn)動(dòng)不是三個(gè)東西而恰恰是“二”——雖然它們之為“二”的方式不像數(shù)學(xué)數(shù)中的兩個(gè)東西之為二的方式。由上可見(jiàn)，作為算術(shù)之基礎(chǔ)的數(shù)以相同的一為其部分。存在、靜止與運(yùn)動(dòng)的形式的部分不僅不是相同的，而且是完全相反的——即使它們?nèi)匀皇墙y(tǒng)一體，因?yàn)樗徐o止或運(yùn)動(dòng)的東西都分別被它們的性質(zhì)所確認(rèn)。雖然如此，但這仍是柏拉圖的重要發(fā)現(xiàn)：正如存在形式不是某種“外在于”靜止與運(yùn)動(dòng)形式的第三者而恰是這些形式之總和，同樣，譬如二這個(gè)數(shù)并非某種“外在于”被它統(tǒng)一為“二”的單元的第三者，而恰恰是二個(gè)單元的總和。對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)數(shù)或存在形式分別統(tǒng)一作為它們之部分的單元或形式的方式，柏拉圖用的術(shù)語(yǔ)是“共同體”(κοινωνíα)。

四、亞里士多德對(duì)柏拉圖的算術(shù)基礎(chǔ)之解答的批評(píng)及他自己的解答

根據(jù)亞里士多德的報(bào)告，柏拉圖曾教導(dǎo)：有九個(gè)相數(shù)，雙是第一個(gè)相數(shù)而十是最后一個(gè)，因?yàn)樯衔囊颜f(shuō)過(guò)，一在古希臘算術(shù)中不是一個(gè)數(shù)。而且我們還知道，亞里士多德的報(bào)告包含在他對(duì)柏拉圖對(duì)算術(shù)基礎(chǔ)問(wèn)題的哲學(xué)解答的批評(píng)之中。亞里士多德的批評(píng)有三個(gè)焦點(diǎn)，它們?cè)谌祟愃枷胧飞隙及l(fā)揮了巨大的影響。

第一個(gè)焦點(diǎn)關(guān)涉柏拉圖對(duì)“參與”的說(shuō)明。從通常的但卻錯(cuò)誤的觀點(diǎn)看來(lái)，亞里士多德并未完全拒絕柏拉圖事物參與形式的觀點(diǎn)，只不過(guò)拒絕了柏拉圖形式“分離(χωρισμ)”于事物的斷言。所以對(duì)亞里士多德而言，沒(méi)有形式的“以一統(tǒng)多(ενε′πí πολλν)”(《形而上學(xué)》，991a 2)的統(tǒng)一體。對(duì)雙這個(gè)形式而言就意味著，“雙數(shù)”是智性的“二”與分有它的事物所共有的。亞里士多德指責(zé)柏拉圖將參與關(guān)系描述為復(fù)制世界，因?yàn)橥ㄟ^(guò)用“映像”和“模仿”等隱喻語(yǔ)言柏拉圖引入了一種二元性——對(duì)于剛才提到的那種情況就是，“二”物之“雙數(shù)”與作為“二自身”的雙之“雙數(shù)”——在此，只有雙數(shù)的是雙與任何兩個(gè)東西共有的。

亞里士多德對(duì)柏拉圖的批評(píng)的第二個(gè)焦點(diǎn)與第一點(diǎn)相關(guān)，因?yàn)閬喪戏裾J(rèn)在事物的數(shù)中有任何統(tǒng)一性。在我們結(jié)束計(jì)數(shù)時(shí)所說(shuō)的那個(gè)詞是表示若干事物，因而其自身根本不是一。被數(shù)的單元之多的“共同體”并不意味著它們的數(shù)自身是統(tǒng)一體。唯一與數(shù)相聯(lián)系的統(tǒng)一體就是在計(jì)數(shù)過(guò)程中被重復(fù)的單元的統(tǒng)一體，如在一個(gè)蘋(píng)果、一個(gè)蘋(píng)果這樣的數(shù)蘋(píng)果過(guò)程中，兩個(gè)蘋(píng)果與六個(gè)蘋(píng)果的統(tǒng)一體就是“蘋(píng)果”。

不管柏拉圖對(duì)基于相數(shù)的算術(shù)這門(mén)數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)的說(shuō)明有何問(wèn)題，很顯然的是，亞里士多德沒(méi)有看到柏拉圖試圖解決的問(wèn)題，即不同數(shù)之間的真正差異的問(wèn)題。正如畢達(dá)哥拉斯主義者對(duì)數(shù)所共有的形式的訴諸不能說(shuō)明被同一個(gè)形式所統(tǒng)一的不同數(shù)之間的差異，亞里士多德的唯一與數(shù)聯(lián)合的統(tǒng)一性是計(jì)數(shù)中被用到的單元的統(tǒng)一性這一斷言，同樣不能對(duì)具有相同統(tǒng)一性的不同數(shù)作出說(shuō)明。也就是說(shuō)，正如畢達(dá)哥拉斯主義者基于六與十對(duì)相同的圖形三角形的分享作出的對(duì)這兩個(gè)數(shù)的統(tǒng)一性的說(shuō)明，不能處理“六”與“十”這兩個(gè)統(tǒng)一體之間的具體差異，亞里士多德基于兩個(gè)蘋(píng)果與六個(gè)蘋(píng)果的共同單元“蘋(píng)果”作出的對(duì)二者的統(tǒng)一性的說(shuō)明，同樣不能處理這兩個(gè)數(shù)的具體差異。

五、現(xiàn)代算術(shù)之基礎(chǔ)中的哲學(xué)問(wèn)題

現(xiàn)在把討論轉(zhuǎn)到現(xiàn)代算術(shù)中的算術(shù)基礎(chǔ)的問(wèn)題，自始就必須確定的是，對(duì)算術(shù)基本元素——數(shù)——的現(xiàn)代理解與弗朗索瓦·韋達(dá)(Fran?ois Viète)1591年為梅露辛公主(帕爾特納的凱瑟琳，1554—1631)發(fā)明“解析藝術(shù)(Artem Analyticen)”*Francisci Vietae, In Artem Analyticem (sic) Isagoge, Seorsim excussa ab opere restituate MathematicaeAnalyseo, seu, Algebra Nova (Introduction to the Analytical Art, 作為一個(gè)獨(dú)立的片段被從復(fù)原的數(shù)學(xué)分析作品即《新代數(shù)[Tours, 1591]》中摘出). English trans. J. Winfree Smith, Introduction to the Analytic Art, appendix to Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, trans. Eva Brann (Cambridge, MA: The M.I.T Press, 1968). 編者引用時(shí)稱作“Analtyic Art”。這一歷史起源分不開(kāi)。直到今天，這一“藝術(shù)”仍然作為形式化的必要條件起作用，而正是形式化使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以可能，從而可以說(shuō)構(gòu)成了它的基礎(chǔ)。

韋達(dá)將他的解析藝術(shù)介紹為“新代數(shù)”并從“分析”這一古代數(shù)學(xué)方法得名，認(rèn)為“分析”方法最先由柏拉圖發(fā)現(xiàn)，所以稱它為士麥那*古希臘城市，由伊奧利亞人建立。的諷刺詩(shī)(Theon of Smyrna)。古代的分析是幾何學(xué)中用以發(fā)現(xiàn)未知的一種方法的“普遍的”一半，另一半“綜合”在特征上是“特殊的”。這種方法在諷刺詩(shī)中被如此定義：分析是“把要探求的東西當(dāng)作理所當(dāng)然的并借助無(wú)可爭(zhēng)議的真理的結(jié)果推進(jìn)”，相反，綜合則是“接受理所當(dāng)然的東西并借助要探求的結(jié)論與理解的結(jié)果來(lái)推進(jìn)”(Analytic Art, 320)。從分析向綜合的過(guò)渡被稱為“換位”，并且根據(jù)對(duì)幾何定理或某個(gè)幾何問(wèn)題的答案(“解釋”)是否在被證實(shí)(πδειξι)，分析被分別稱為“定理的”或“問(wèn)題的”。

韋達(dá)的新發(fā)明涉及將算術(shù)分析的一種新奇形式——這種形式的分析見(jiàn)于最近重現(xiàn)的一個(gè)公元3世紀(jì)的亞歷山大里亞的迪奧番圖(Diophantus of Alexandria)的文本(標(biāo)題就是簡(jiǎn)單的“算術(shù)”)——理解為與幾何學(xué)分析完全平行的方法。這使韋達(dá)能夠把要探求的未知數(shù)——被理解為單元之多的統(tǒng)一體——當(dāng)作在其類別上已經(jīng)被假定了的數(shù)。就數(shù)的類別而言，他繼承了迪奧番圖在《算術(shù)》中用的名稱，即平方、立方、立方的平方與立方的立方。對(duì)每個(gè)未知的、不確定的數(shù)目的類別及每個(gè)已知的數(shù)目的類別，他都指定了一個(gè)來(lái)自字母表的他所謂“永恒的、明白的符號(hào)”(元音對(duì)應(yīng)已知數(shù)，輔音對(duì)應(yīng)未知數(shù))。這不僅使單元的確定數(shù)目(即前現(xiàn)代因而非形式化意義上的數(shù))能夠按照好像確實(shí)已經(jīng)給定的方式得到理解，而且使已知數(shù)按照它們的類來(lái)表達(dá)。韋達(dá)摒棄了對(duì)于分析的幾何學(xué)方法的第二部分——即證明特殊定理或解決特殊問(wèn)題的綜合的定理的或問(wèn)題的換位——相似的算術(shù)需求，從而使解決算術(shù)問(wèn)題的“解析”——即不確定的因而“普遍的”——方法第一次成為可能。韋達(dá)的發(fā)明有三種重要的結(jié)果：1、在定理中與在問(wèn)題中被代表的客體的類別的幾何學(xué)區(qū)分消失了，由此在解析藝術(shù)中，定理與問(wèn)題等同，“定理的”綜合與“問(wèn)題的”綜合的區(qū)分也消失了；2、韋達(dá)的解析藝術(shù)使已知數(shù)與未知數(shù)兩個(gè)種類之間的專門(mén)運(yùn)算得以可能，他將這種被他稱為“美的邏輯(logistice speciosa)”的運(yùn)算應(yīng)用于“純粹”代數(shù)，也就是一般性地應(yīng)用于發(fā)現(xiàn)未知數(shù)與未知的幾何量級(jí)(由數(shù)所衡量)；3、因?yàn)槊赖倪壿媽?duì)它的計(jì)算——韋達(dá)所謂的“數(shù)的邏輯”——的方法的確切結(jié)果不感興趣，所以韋達(dá)的解析藝術(shù)這一巧妙方法被構(gòu)想為一個(gè)一般的輔助方法，其目的不是單個(gè)地解決問(wèn)題，而是解決解決問(wèn)題的一般能力的問(wèn)題。被韋達(dá)刻畫(huà)為“發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)或發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)”的普遍解析是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一門(mén)工具，其意義正如亞里士多德的《前分析與后分析》是所有可能的知識(shí)領(lǐng)域的工具論一樣。就這一點(diǎn)而言，韋達(dá)《解析藝術(shù)》的結(jié)論告訴我們：“解析藝術(shù)……通過(guò)扭轉(zhuǎn)所有問(wèn)題中的最高問(wèn)題與自身相稱，這個(gè)問(wèn)題就是：不遺留任何未決的問(wèn)題?！?Analytic Art, 353)

韋達(dá)的方法在數(shù)學(xué)史家看來(lái)是與數(shù)學(xué)公式和第一個(gè)現(xiàn)代公理系統(tǒng)的發(fā)明相一致的，通過(guò)公式與公理系統(tǒng)，數(shù)學(xué)分析的語(yǔ)法規(guī)則得以“定義”它們所應(yīng)用于的對(duì)象。然而韋達(dá)的方法也與數(shù)學(xué)史家與哲學(xué)家至今不知的一種東西相一致：對(duì)算術(shù)基本概念——數(shù)——的存在方式的改造、對(duì)普遍意義上的數(shù)學(xué)對(duì)象的存在方式的改造以及對(duì)產(chǎn)生形式概念——它作用于普遍意義上的知識(shí)系統(tǒng)——的抽象過(guò)程的改造。

韋達(dá)的新觀念包含三個(gè)相互關(guān)聯(lián)、相互依賴的方面：1、其方法上的新觀念使已知數(shù)與未知的、不確定的(所以是“一般性的”)數(shù)的計(jì)算成為可能；2、其認(rèn)識(shí)上的新觀念解決了在這一普遍狀況下的數(shù)學(xué)難題，以至其不確定的答案容許任意多基于隨意設(shè)定的數(shù)的確定答案；3、其解析的新觀念可一般性地應(yīng)用于傳統(tǒng)算術(shù)的數(shù)與傳統(tǒng)幾何學(xué)的量級(jí)。

這一新觀念的哲學(xué)意義在于數(shù)及其概念的形式化，由此數(shù)不再像我們前面看到的在希臘算術(shù)及先于韋達(dá)新觀念的一般意義上的數(shù)學(xué)中那樣，指示一個(gè)“由單元構(gòu)成的多”(Euclid, Book VII, def. 2)，而是指示就已知數(shù)而言的多的概念以及就未知數(shù)而言的這種(或一般意義上的)多的概念。數(shù)及其概念的形式化，既不能被亞里士多德的抽象也不能被柏拉圖的辯證法所把握。這是因?yàn)樾问交臄?shù)既非亞里士多德意義上的、產(chǎn)生衡量事物之多的單元的抽象的產(chǎn)物，也非柏拉圖意義上的多的型相統(tǒng)一體，一旦數(shù)學(xué)家的感性假設(shè)被拋棄，這種統(tǒng)一體就被辯證法理解為不可還原到它所統(tǒng)一的事物上去。而對(duì)于韋達(dá)而言，數(shù)是從心靈與事物之多的直接聯(lián)系攀升到心靈與它對(duì)這種直接聯(lián)系的理解的關(guān)系這一概念過(guò)程的結(jié)果，同時(shí)他又把這兩種關(guān)系模式看做一樣。與具體事物之多的實(shí)在關(guān)系和與這個(gè)多的概念的認(rèn)知關(guān)系，這兩種異質(zhì)的關(guān)系的同一，是由韋達(dá)同時(shí)賦予普通的數(shù)字符號(hào)與他的代數(shù)字母的意義顯示的。對(duì)于他就像對(duì)于我們一樣被展示從而明白的是，感官可見(jiàn)的字母每次都被直觀為——不單單是指示——被談?wù)摰囊话愀拍睢獰o(wú)論這個(gè)概念是這個(gè)還是那個(gè)數(shù)字，比如任何“二”的一般概念或任何“數(shù)”的一般概念。在這個(gè)對(duì)感性記號(hào)與一般概念的同時(shí)直觀中，很明顯的恰恰是韋達(dá)關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)的新觀念。

由韋達(dá)方法的解析的新觀念得出的基礎(chǔ)問(wèn)題涉及語(yǔ)法規(guī)則的由來(lái)，而語(yǔ)法規(guī)則支配著公理系統(tǒng)并建立規(guī)定它們所應(yīng)用于的不確定對(duì)象的系統(tǒng)語(yǔ)境。韋達(dá)對(duì)這些規(guī)則的建立是基于“數(shù)的邏輯”，所以也是基于以確定數(shù)量的單子進(jìn)行的計(jì)算，即基于以古希臘算術(shù)所處理的“自然的”從而是非符號(hào)的數(shù)進(jìn)行的計(jì)算。正是由此，沒(méi)有數(shù)值特性的字母符號(hào)才得以在美的邏輯和以這種符號(hào)為基礎(chǔ)的新代數(shù)中仍然具有數(shù)的意義。然而，韋達(dá)也從符號(hào)表象的角度對(duì)這些由單元構(gòu)成的多進(jìn)行概念化。這導(dǎo)致的一個(gè)重要結(jié)果就是，數(shù)與其一般的概念在數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)中處于一種模棱兩可的狀態(tài)，即在其作為“一般數(shù)”的不確定的、一般符號(hào)的意義與其作為由單元構(gòu)成的多的前形式化的自然意義之間搖擺。這種兩可性或許在康德批判哲學(xué)的圖式論中最顯著，在那里圖式被理解為“想象力為概念提供它的圖像的一般程序”(A140/B179/180)，而“數(shù)”為圖式提供了第一個(gè)例證。所以對(duì)康德而言，在想“一個(gè)可以是五也可以是一百的一般數(shù)”時(shí)，數(shù)的經(jīng)驗(yàn)圖像，如一個(gè)排列中的點(diǎn)——對(duì)于五這個(gè)數(shù)而言就是五個(gè)(……)——區(qū)別于數(shù)的圖式。我們無(wú)法找到一個(gè)比康德的如下斷言更好的對(duì)這里所探討的數(shù)的兩可性的表達(dá)了，他聲稱“關(guān)于[一般數(shù)]的思想比圖像本身更能反映一種對(duì)于某個(gè)概念相符的圖像中的多(如一千)的表現(xiàn)方法”?？档聦?duì)訴諸一個(gè)密集量級(jí)的例子來(lái)刻畫(huà)作為范例的精確數(shù)量的先驗(yàn)存在方式這一做法的諷刺不能被形式化，遑論量化，不過(guò)這仍然是非常真實(shí)且深刻的。

當(dāng)哥特洛布·弗雷格試圖解決數(shù)的兩可性通過(guò)在算術(shù)中徹底廢除非形式化的數(shù)而對(duì)韋達(dá)的解析方法造成的難題時(shí)，解析方法的基礎(chǔ)性新觀念中的數(shù)及其概念的兩可性的第二個(gè)重要結(jié)果就出現(xiàn)了。由此數(shù)與數(shù)的概念就統(tǒng)一起來(lái)了，因?yàn)閿?shù)本身現(xiàn)在被定義為關(guān)于概念的斷言，或更準(zhǔn)確地說(shuō)，它根據(jù)某種概念關(guān)系的結(jié)構(gòu)——根據(jù)“語(yǔ)法”規(guī)定——而被定義。然而弗雷格的數(shù)根(numbercide)引起的難題是，兩個(gè)集合——在他看來(lái)這是定義數(shù)的基礎(chǔ)，他稱之為“等勢(shì)(equinumerosity)”——的元素之間一一對(duì)應(yīng)的一致性如何說(shuō)明數(shù)之間的差異？

將數(shù)定義為概念的謂詞的“數(shù)值的”特性，如作為我們太陽(yáng)系的行星的概念的數(shù)“九”，被理解為被例示“九”次這種特性。然而在不同集合的元素之間不同的一一對(duì)應(yīng)的一致性中，是什么構(gòu)成了不同數(shù)之間的差異？或者說(shuō)，在等勢(shì)這一概念性質(zhì)中，如六與十的數(shù)值特性就是正好擁有六或十個(gè)“歸入”相應(yīng)概念下的事項(xiàng)這種定量特性，那么是什么規(guī)定了六與十的數(shù)值特性的差異？對(duì)于這種問(wèn)題，數(shù)的概念定義無(wú)從解答。這是因?yàn)槎x等勢(shì)的一一對(duì)應(yīng)的映射預(yù)設(shè)了而非創(chuàng)建了，以上面的例子來(lái)說(shuō)，正好被例示六次或十次這種特性。那個(gè)柏拉圖認(rèn)為算術(shù)借助自己的術(shù)語(yǔ)無(wú)法解決的難題，即如何說(shuō)明算術(shù)的基本假定——不同數(shù)的統(tǒng)一性確實(shí)各不相同——的難題仍然懸而未決。

(本文系作者于南京大學(xué)2013年“現(xiàn)象學(xué)精品課程”中的講座稿，南京大學(xué)哲學(xué)系博士研究生謝利民譯校。)

[1] Francisci Vietae.Introduction to the Analytic Art[M].English trans.J.Winfree Smith，appendix to Jacob Klein.Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra.trans.Eva Brann，Cambridge MA:The M.I.T Press，1968.

[2] Hao Wang.A Logical Journey.From G?del to Philosophy[M].Cambridge MA:MIT Press，1996.

責(zé)任編輯：王榮江

O1-0

A

1007-8444(2014)06-0718-08

2014-05-20

伯特·霍普金斯(Burt Hopkins)，教授，哲學(xué)系主任，當(dāng)代英語(yǔ)世界著名現(xiàn)象學(xué)研究專家，主要從事20世紀(jì)歐洲哲學(xué)(特別是胡塞爾、海德格爾、克萊恩)、現(xiàn)代早期哲學(xué)、柏拉圖哲學(xué)以及深度心理學(xué)研究。