有限頻率線性理論的波恩近似佯謬*

江 燕 陳曉非

1) 中國北京100081中國地震局地球物理研究所 2) 中國合肥230026中國科學技術大學地球和空間科學學院

有限頻率線性理論的波恩近似佯謬*

1) 中國北京100081中國地震局地球物理研究所 2) 中國合肥230026中國科學技術大學地球和空間科學學院

對有限頻率層析成像線性理論的波恩近似問題進行梳理,用數(shù)值方法統(tǒng)計分析其適用范圍,結果表明波恩近似要求最大速度擾動不超過1%； 然后對相關走時一階近似進行統(tǒng)計分析,結果表明它也只適用于最大速度擾動在1%以內的情形． 然而,結合波恩近似和相關走時一階近似而得到的有限頻率線性理論,其適用的速度擾動范圍最大可達10%． 這個表面上的邏輯悖論,稱為“波恩近似佯謬”． 此佯謬是由于不恰當?shù)厥褂貌ǘ鹘圃斐傻模?本文摒棄波恩近似,使用泛函的Fréchet微分和隱函數(shù)定理推導得到有限頻率線性理論,圓滿解釋了波恩近似佯謬． 由于有限頻率非線性理論早已摒棄了波恩近似,因此波恩近似概念在有限頻率層析成像理論中完全沒有必要．

有限頻率層析成像 波恩近似 相關走時 Fréchet微分 隱函數(shù)定理

引言

有限頻率層析成像理論是最近十余年來地震層析成像的新理論． 傳統(tǒng)的體波地震層析成像以射線理論為基礎,要求地震射線的頻率為無窮大． 對于短周期地震波,射線理論近似適用； 對于中長周期地震波,射線理論不太適用． Dahlen等(2000)提出了結合射線理論和波恩近似的三維體波有限頻率走時層析成像理論. Zhao等(2000)建立了基于體波正則模型表述的有限頻率層析成像理論. 之后,Zhao等(2005)提出散射積分方法. Tromp等(2005)及Liu和Tromp (2006)提出共軛波場法. Fichtner等(2008)提出時間-頻率域的共軛波場反演方法． 有限頻率層析成像理論對于任意頻率的波都成立． 它還可以對地震波進行分頻段濾波,提取多頻段信息進行反演,從而充分利用寬頻帶地震資料,因此獲得了廣泛的應用(Montellietal,2004; Hungetal,2005,2011； Yangetal,2006; Chenetal,2007; Gautieretal,2008; Tapeetal,2009,2010; Bezadaetal,2010; Fichtneretal,2010; Liangetal,2011； Liuetal,2011)．

波恩近似源于量子力學中微觀粒子彈性碰撞理論． 當入射粒子的動能比其勢能大得多時,散射波場等于入射波場加上一個微擾波場． 這時,可以忽略散射方程中二級以上擾動項,獲得散射波場的波恩近似解． 聲波和彈性波的擾動問題,形式上與量子力學的高速粒子碰撞問題類似,因此波恩近似被借用來求解聲波的介質擾動問題(Rayleigh,Strutt,1945; Wolf,1945)和弱非均勻介質的彈性波場擾動問題(Yamakawa,1956; Knopoff,1959; Miles,1960; Hudson,1977; Aki,Richards,1980; Wu,Aki,1985; Snieder,1986; Coates,Chapman,1990)． 有限頻率層析成像線性理論(Dahlenetal,2000; Zhaoetal,2000)的創(chuàng)立過程中,波恩近似扮演著重要的角色． 為了求得因介質參數(shù)擾動而導致的擾動波場,必須使用波恩近似略去與高階擾動波場有關的項． 有限頻率非線性理論一開始也使用了波恩近似(Trompetal,2005),但很快就摒棄了它,而使用拉格朗日乘子法直接推導(Liu,Tromp,2006)．

微觀粒子的碰撞是瞬態(tài)過程,只要粒子的勢能遠小于動能,波恩近似解就足夠精確． 但地震波的傳播卻不是瞬態(tài)過程,速度擾動分布在-2%—2%,直觀上會覺得這個擾動足夠?。?但只要傳播路徑足夠長,這么小的速度擾動累積的擾動波場也不再是小量,這足以導致波恩近似不成立． 波恩近似的成立條件需要用數(shù)值計算進行定量的統(tǒng)計分析． 但自從波恩近似被借用到地震學的弱非均勻介質問題以來,沒有人對其適用范圍做過定量分析． 建立在波恩近似基礎上的有限頻率線性理論,其數(shù)學基礎并不嚴謹．

本文對有限頻率線性理論的波恩近似問題進行梳理,用數(shù)值計算方法統(tǒng)計分析出其適用范圍． 實際地球介質的反演問題,包括體波的走時、 幅度和Q值反演,以及面波的走時、 幅度、 偏振角、 群速和Q值反演． 本文選取應用較廣的體波走時有限頻率線性理論進行統(tǒng)計分析,比較其適用范圍與波恩近似適用范圍,發(fā)現(xiàn)了波恩近似佯謬． 最后,使用泛函分析方法來解決波恩近似佯謬,使有限頻率層析成像理論建立在更為嚴謹?shù)臄?shù)學基礎之上．

1 波恩近似的適用范圍

1.1 弱擾動問題的波恩近似解

三維非均勻介質的彈性動力學方程為

(1)

記初始模型的密度、 彈性系數(shù)張量和位移分別為ρ0,C0,u0,目標模型的的密度、 彈性系數(shù)張量和位移分別為ρ=ρ0+δρ, C=C0+δC,u=u0+δu． 它們的體力均為f． 總邊界為S=Sa+Σ++Σ-,其中,Sa為自由表面邊界,Σ+和Σ-為斷層邊界的正、 負表面．

邊界S圍成閉區(qū)域⊕． 令n為閉區(qū)域表面的外法向量,v是從邊界負表面指向正表面的法向量． 在Sa和Σ-上,v=n； 在Σ+上,v=-n． 再令η為斷層滑動方向,ξ為邊界上的二維坐標,T(u,ν)為邊界上的牽引力,在極限意義下T(u,ν)=ν·(C∶u)．

在初始模型中

(2)

其邊界條件和初始條件為

(3)

(4)

(5)

在目標模型中

(6)

其邊界條件、 初始條件同初始模型,即

(7)

(8)

(9)

式(3)和式(8)表明斷層面法向位移連續(xù),故法向牽引力連續(xù),即

(10)

(11)

由式(6)減去式(2),得

(12)

由式(9)減去式(5),得擾動波場的初始條件為

(13)

由式(7)減去式(3),以及自由表面條件,得擾動波場的邊界條件為

(14)

(15)

另外,由式(14)可推得

(16)

選取格林函數(shù)滿足零初始條件和自由表面條件,且在斷層面上格林函數(shù)及其導數(shù)連續(xù),有

(17)

(18)

(19)

式(12)等號右邊包含未知量δu,無法求解,需要先將等式右邊化為已知量． 若介質參數(shù)符合小擾動條件

(20)

可假設波場的擾動符合波恩近似條件

(21)

則式(12)右邊與未知量有關的二階小量可略去,得

(22)

式(22)可以應用表示定理求解． 依據(jù)式(13)—(19),得

(23)

式中,rS是震源位置矢量,rR是接收點位置矢量．

通過適當?shù)牡葍r變換(見附錄),最后可得

(24)

其中

將式(24)對時間變量t求導,可得三維非均勻介質中波恩近似條件下的速度擾動波場,即

(25)

其中

圖1 高斯型三維隨機介質Fig.1 3D Gaussian random medium

1.2 波恩近似的適用范圍

震源有4個,為位錯源,位于y=-100 km的平面上． 震源時間函數(shù)的優(yōu)勢周期為2 s． 震源參數(shù)隨機選取,如表1所示． 接收點25個,位于y=100 km的平面上,位置坐標如表2所示． P波速度為5.7 km/s,S波速度為3.4 km/s,密度為2.8×103kg/m3．

表1 震源參數(shù)

表2 接收點參數(shù)

常用的震源時間函數(shù)有高斯型震源時間函數(shù)、 Ricker子波等． 這些函數(shù)的優(yōu)點是有無窮階連續(xù)導函數(shù),缺點是不滿足因果律,即在斷層滑動之前和斷層滑動停止以后速度都不為0． 這個缺點造成理論地震圖有一定的計算誤差． 為克服該缺點,本文提出九次多項式震源時間函數(shù)(其中Tm為優(yōu)勢周期),即

(26)

九次多項式震源時間函數(shù)的導函數(shù)為

(27)

式(27)嚴格滿足因果律,從而減小了數(shù)值計算誤差． 由于多項式的積分可以表達為有限形式,因而計算均勻初始模型中體波相關走時有限頻率Fréchet核函數(shù)時,可將多重積分化簡為單重積分,從而大大減小了計算量． 這種震源時間函數(shù)的四階導函數(shù)連續(xù),適于計算各種有限頻率Fréchet核函數(shù)．

圖2給出了目標模型的最大速度擾動分別為1%,2%,5%和10%的波恩近似相關走時誤差圖． 由圖可見,速度擾動越大,誤差越大． 最大速度擾動超過1%時,相關走時的誤差已不可忽略． 只有當最大速度擾動小于1%時,誤差才比較?。?本節(jié)只檢驗了走時的波恩近似條件． 若將幅度的波恩近似條件考慮進去,模型的最大速度擾動必須遠小于1%． 波恩近似的數(shù)學本質是一階線性近似． 這表明,對于實際的地震層析成像,波形反演是高度非線性的,這與地震學界一直以來的普遍認識相一致．

2 波恩近似佯謬

實際的地震層析成像,目標模型與初始模型的最大速度擾動一般都高于1%． 地殼上地幔的反演一般為3%—10%(Montellietal,2004; Yangetal,2006; Chenetal,2007; Gautieretal,2008; Tapeetal,2009,2010; Bezadaetal,2010; Fichtneretal,2010; Hungetal,2011; Liangetal,2011； Liuetal,2011)． 可見,對于實際地震層析成像來說,波恩近似一般是不成立的． 但是,目前的有限頻率層析成像線性理論又都以波恩近似為基礎． 究竟是有限頻率線性理論隱含著巨大的漏洞,還是波恩近似只是個美麗的誤會——佯謬？ 本節(jié)以體波的相關走時有限頻率方法為例,對其進行深入分析．

圖2 隨機擾動情形下的波恩近似相關走時誤差 初始模型為均勻介質,目標模型為高斯型三維隨機介質． 圖(a)—(d)的最大速度擾動分別為1%,2%,5%和10%

2.1 相關走時一階近似及其適用范圍

(28)

對式(28)左邊作泰勒展開,忽略二階以上的高階項,再令它等于0,作簡單的變換(Dahlenet al,2000),可得相關走時的一階近似公式,即

(29)

圖3 隨機擾動情形下相關走時泛函的一階近似誤差 模型和震源參數(shù)同圖2． 圖(a)—(d)的最大速度擾動為分別為1%,2%,5%和10%

圖3中,橫坐標同圖2,為相關走時的精確值; 縱坐標δT2為利用式(29)計算的一階近似值． 由圖3可見,當最大速度擾動超過1%時,相關走時的一階近似帶來的誤差比較大； 當最大速度擾動超過5%時,誤差比波恩近似誤差還要大．

2.2 有限頻率線性走時理論及其適用范圍

(30)

其中

同樣利用1.2節(jié)給出的震源和模型參數(shù),可以檢驗式(30)的適用條件． 計算結果見圖4．

圖4 隨機擾動情形下有限頻率方法的相關走時誤差 模型和震源參數(shù)同圖2． 圖(a)—(d)的最大速度擾動為分別為1%,2%,5%和10%Fig.4 The errors of the cross-correlation traveltime of finite-frequency theory with random perturbationsThe parameters of the model and seismic sources are the same as those in Fig.2. The maximumvelocity perturbations in Figs.(a)—(d) are separately 1%,2%,5% and 10%

由圖4可見,當最大速度擾動在5%以內時,式(30)的誤差可以忽略不計； 當最大速度擾動達到10%時,則有一定的誤差． 但在圖4d中,散點偏離斜率為1的直線的狀態(tài)表現(xiàn)出整體平移的特征． 實際反演中,一般使用差異相關走時,整體平移的系統(tǒng)誤差會被消除． 因此,圖4d的誤差仍然是可以忽略不計的．

Baig和Dahlen(2004)曾對聲波的有限頻率線性理論進行相關走時的誤差統(tǒng)計． 結果表明,對于高斯型三維非均勻目標模型,只要最大速度擾動在10%以內,有限頻率相關走時誤差都比較小,這與本節(jié)的檢驗結果基本一致．

2.3 波恩近似佯謬

式(30)是由式(25)和式(29)推導來的． 一般情況下,推導結果的適用條件比推導過程的適用條件苛刻． 式(25)和式(29)的適用范圍都是最大速度擾動不超過1%,但式(30)的適用范圍卻是最大速度擾動不超過10%,比前兩者大得多． 這種表面上的邏輯矛盾,是由波恩近似造成的,本文稱之為“波恩近似佯謬”． 造成波恩近似佯謬的原因,只有一種可能,那就是在任意一點上,式(25)引起的誤差都被式(29)的誤差基本抵消了． 從統(tǒng)計學的角度來看,隨機誤差逐點抵消是不可能的,只可能是系統(tǒng)誤差的抵消． 因此,造成這種情況的原因,必定是推導過程存在理論錯誤． 若能繞過波恩近似,用另一種更嚴謹?shù)姆椒ㄍ茖С鍪?30),那么波恩近似佯謬就能獲得圓滿解釋．

3 波恩近似佯謬的解決

3.1 泛函的Fréchet導算子

積分形式的多元泛函是多元非線性算子的一種形式,形如

(31)

其Fréchet導算子是如下線性積分算子：

(32)

式中,i=1, 2, …,n；h1(r),h2(r), …,hn(r)是給定的任意有界函數(shù)序列． 省略hi(r),可寫為

(33)

式中,i=1, 2, …,n. 式(31)是具有解析表達式的顯泛函,故可以直接求導． 對于沒有解析表達式的隱泛函,無法直接求導,需要使用隱函數(shù)定理．

多元算子隱函數(shù)定理的推論(郭大鈞,2001)如下：

考察多元算子方程

(34)

(35)

式中,i=1, 2, …,n. 若P的秩為1,則上式變?yōu)?/p>

(36)

3.2 波形Fréchet導算子

將式(12)等號右邊關于δu的項移到左邊,得

(37)

初始條件仍為式(13)． 依據(jù)式(14)和自由表面邊條件,有

(38)

(39)

式(37)等號右邊都是已知量,應用表示定理,得

(40)

式中G(rR,τ; r)是目標模型中點源的格林函數(shù)．

參照附錄式(A1)—(A18)的推導過程,最后可得

(41)

其中, G=G(rR, τ;r),u0=u0(r,t-τ;rS).

對于確定的rS,rR,t,α0(r), β0(r)和ρ0(r),從式(41)可知擾動波形δu是δα(r), δβ(r)和δρ(r)的多元泛函,也就是α(r), β(r)和ρ(r)的多元泛函． 經(jīng)化簡,可將式(41)寫為

其中

(42)

由式(42)可見,式(41)是具有式(31)形式的顯泛函．

利用式(33)和式(42),可求出δu(α,β,ρ)的Fréchet導算子,即

(43)

(44)

(45)

在點(α0,β0,ρ0)處,有

由式(42)—(45)可求出δu(α,β,ρ)在點(α0,β0,ρ0)處的Fréchet導算子,即

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

3.3 相關走時Fréchet導算子

波形泛函δu(α,β,ρ)具有解析表達式,可直接求導． 而由式(28)確定的相關走時泛函δT(α,β,ρ)卻沒有解析表達式,只能用隱函數(shù)定理求導． 將式(28)視為多元算子方程

(52)

式中

對算子P求一階偏導算子,得

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

將式(49)代入上式,交換積分次序,得

(58)

其中

類似地,由式(36)、 式(55)和式(57)可得

(59)

其中

類似地,由式(36)、 式(56)和式(57)可得

(60)

其中

3.4 有限頻率線性走時理論

由Fréchet微分的定義知

注意到δT(α0,β0,ρ0)=0,對上式作一階近似,再將式(58)—(60)代入,并應用式(32)得

(61)

式(61)與式(30)完全一致． 從彈性動力學方程式(1)和相關走時的定義式(28),用泛函的Fréchet微分法則得到式(61)的過程,沒有用到波恩近似和相關走時一階近似． 因此,圖2和圖3對于式(61)不構成約束． 式(61)是泛函δT(α,β,ρ)的一階近似,與波恩近似和相關走時一階近似無關． 其適用條件,亦即圖4所示結果,與圖2和圖3無關．

至此,波恩近似佯謬獲得圓滿解決．

4 討論與結論

從波恩近似的源頭上分析,與地震波的擾動問題相對應的微觀粒子碰撞,應該是入射粒子在路徑上發(fā)生一系列連續(xù)碰撞的波恩近似問題． 這種情形的波恩近似條件比單次碰撞要苛刻得多． 不加分析的概念借用,造成了波恩近似佯謬．

經(jīng)過數(shù)值統(tǒng)計分析,可見波恩近似的適用范圍和相關走時的一階近似適用范圍都很窄． 以P波走時為例,目標模型相對于初始模型的最大速度擾動不能超過1%,但有限頻率線性理論的適用范圍,卻允許最大擾動達10%． 從邏輯上來說,推導過程的適用范圍反而比推導結果的適用范圍窄,這是一個悖論． 經(jīng)過深入的分析,發(fā)現(xiàn)應用泛函的Fréchet微分,可以繞過波恩近似,直接導出有限頻率線性走時理論． 因此,這個悖論是由于不恰當?shù)厥褂昧瞬ǘ鹘圃斐傻?是一個佯謬． 波恩近似佯謬表明,近十余年來,在有限頻率層析成像線性走時理論中,普遍使用的波恩近似概念是不必要的誤用． 對于最大速度擾動不超過10%的實際反演,波恩近似不成立,但有限頻率層析成像線性理論是成立的． 由于有限頻率非線性理論早已摒棄了波恩近似,因此波恩近似概念在有限頻率層析成像理論中完全沒有必要．

為了簡化計算,本文初始模型選取均勻介質,只計算了P波的情形,選取有限頻率相關走時方法進行統(tǒng)計分析． 對于其它類型的波,如S波、 面波,只需將P波格林函數(shù)換成相應類型波的格林函數(shù)即可． 對于體波幅度、 面波走時等有限頻率方法,泛函的Fréchet微分法則一樣適用． 因此,波恩近似佯謬在有限頻率層析成像線性理論中具有普遍意義．

中國科學技術大學張偉為本文提供了有限差分程序,北京大學蓋增喜和南京大學石亞龍與作者進行了有益的交流討論,北京大學張獻兵在并行計算程序方面提供了很多幫助,在此一并表示感謝．

郭大鈞. 2001. 非線性泛函分析[M]. 第2版. 濟南： 山東科學技術出版社: 77--82.

Guo D J. 2001.NonlinearFunctionalAnalysis[M]. 2nd ed. Ji’nan: Shandong Science and Technology Press: 77--82 (in Chinese).

Aki K,Richards P G. 1980.QuantitativeSeismology:TheoryandMethods[M]. San Francisco: W H Freeman and Company: 721--751.Baig A M,Dahlen F A. 2004. Statistics of traveltimes and amplitudes in random media[J].GeophysJInt,158(1): 187--210.

Baig A M,Dahlen F A,Hung S H. 2003. Traveltimes of waves in three-dimensional random media[J].GeophysJInt,153(2): 467--482.

Bezada M J,Levander A,Schmandt B. 2010. Subduction in the southern Caribbean: Images from finite-frequency P wave tomography[J].JGeophysRes,115(B12): B12333. doi:10.1029/2010JB007682.

Chen P,Zhao L,Jordan T H. 2007. Full 3D tomography for the crustal structure of the Los Angeles region[J].BullSeismolSocAm,97(4): 1094--1120.

Coates R T,Chapman C H. 1990. Ray perturbation theory and the Born approximation[J].GeophysJInt,100(3): 379--392.

Dahlen F A,Baig A M. 2002. Fréchet kernels for body-wave amplitudes[J].GeophysJInt,150(2): 440--466.

Dahlen F A,Hung S H,Nolet G. 2000. Fréchet kernels for finite-frequency traveltimes: I. Theory[J].GeophysJInt,141(1): 157--174.

Fichtner A,Kennett B L N,Igel H,Bunge H P. 2008. Theoretical background for continental- and global-scale full-waveform inversion in the time-frequency domain[J].GeophysJInt,175(2): 665--685.

Fichtner A,Kennett B L N,Igel H,Bunge H P. 2010. Full waveform tomography for radially anisotropic structure: New insights into present and past states of the Australasian upper mantle[J].EarthPlanetSciLett,290(3/4): 270--280.

Frankel A. 1986. Finite difference simulations of seismic scattering: Implications for the propagation of short-period seismic waves in the crust and models of crustal heterogeneity[J].JGeophysRes,91(B6): 6465--6489.

Gautier S,Nolet G,Virieux J. 2008. Finite-frequency tomography in a crustal environment: Application to the western part of the Gulf of Corinth[J].GeophysProspect,56(4): 493--503.

Gee L S,Jordan T H. 1992. Generalized seismological data functionals[J].GeophysJInt,111(2): 363--390.

Graves R W. 1996. Simulation seismic wave propagation in 3D elastic media using staggered-grid finite differences[J].BullSeismolSocAm,86(4): 1091--1085.

Hudson J A. 1977. Scattered waves in the coda of P[J].JGeophys,43(1/2): 359--374.

Hung S H,Garnero E J,Chiao L Y,Kuo B Y,Lay T. 2005. Finite frequency tomography of D″ shear velocity heterogeneity beneath the Caribbean[J].JGeophysRes,110(B7): B07305. doi:10.1029/2004JB003373.

Hung S H,Chen W P,Chiao L Y. 2011. A data-adaptive,multiscale approach of finite-frequency,traveltime tomography with special reference to P and S wave data from central Tibet[J].JGeophysRes,116(B6): B06307. doi:10.1029/2010JB008190.

Knopoff L. 1959. Scattering of compression waves by spherical obstacles[J].Geophysics,24(1): 30--39.

Liang X F,Shen Y,Chen Y J,Ren Y. 2011. Crustal and mantle velocity models of southern Tibet from finite frequency tomography[J].JGeophysRes,116(B2): B02408. doi:10.1029/2009JB007159.

Liu K J,Levander A,Niu F L,Miller M S. 2011. Imaging crustal and upper mantle structure beneath the Colorado Plateau using finite frequency Rayleigh wave tomography[J].GeochemGeophyGeosy,12(7): Q07001. doi:10.1029/2011GC003611.

Liu Q Y,Tromp J. 2006. Finite-frequency kernels based on adjoint methods [J].BullSeismolSocAm,96(6): 2383--2397.

Luo Y,Schuster G T. 1991. Wave-equation traveltime inversion[J].Geophysics,56(5): 645--653.

Miles J W. 1960. Scattering of elastic waves by small inhomogeneities[J].Geophysics,25(3): 642--648.

Montelli R,Nolet G,Dahlen F A,Masters G,Engdahl E R,Hung S H. 2004. Finte-frequency tomography reavels a variety of plumes in the mantle[J].Science,303(5656): 338--343.

Rayleigh B,Strutt J W. 1945.TheTheoryofSound[M]. New York: Dover Publications: 415--421.

Snieder R. 1986. 3-D linearized scattering of surface waves and a formalism for surface wave holography[J].GeophysJInt,84(3): 581--605.

Tape C,Liu Q Y,Maggi A,Tromp J. 2009. Adjoint tomography of the southern California crust[J].Science,325: 988--992.

Tape C,Liu Q Y,Maggi A,Tromp J. 2010. Seismic tomography of the southern California crust based on spectral-element and adjoint methods [J].GeophysJInt,180(1): 433--462.

Tromp J,Tape C,Liu Q Y. 2005. Seismic tomography,adjoint methods,time reversal and banana-doughnut kernels[J].GeophysJInt,160(1): 195--216.

Wolf A. 1945. Motion of a rigid sphere in an acoustic wave field[J].Geophysics,10(1): 91--109.

Wu R,Aki K. 1985. Scattering characteristics of elastic waves by an elastic heterogeneity[J].Geophysics,50(4): 582--595.

Yamakawa N. 1956. Investigation of the disturbance produced by spherical obstacles on elastic waves (I)[J].QuartJSeism,21(1): 1--12.

Yang T,Shen Y,van der Lee S,Solomon S C,Hung S H. 2006. Upper mantle structure beneath the Azores hotspot from finite-frequency seismic tomography[J].EarthPlanetSciLett,250(1/2): 11--26.

Zhang W,Chen X F. 2006. Traction image method for irregular free surface boundaries in finite difference seismic wave simulation[J].GeophysJInt,167(1): 337--353.

Zhang W,Zhang Z G,Chen X F. 2012. Three-dimensional elastic wave numerical modeling in the presence of surface topography by a collocated-grid finite-difference method on curvilinear grids[J].GeophysJInt,190(1): 358--378.

Zhao L,Jordan T H,Chaptman C H. 2000. Three-dimensional Fréchet differential kernels for seismic delay time[J].GeophysJInt,141(3): 558--576.

Zhao L,Jordan T H,Olsen K B,Chen P. 2005. Fréchet kernels for imaging regional earth structure based on three-dimensional reference models[J].BullSeismolSocAm,95(6): 2066--2080.

附錄 弱擾動問題波恩近似解的詳細推導

下面給出本文1.1節(jié)中從式(23)到式(24)的詳細推導過程．

(A1)

(A2)

(A3)

根據(jù)式(15)、 式(16)和式(A3),在式(23)等號右邊加上零項,則有

(A4)

由式(11)減去式(10),應用波恩近似條件,得

即

(A5)

類似地,由式(8)減去式(4),式(A2)減去式(A1),作波恩近似,可得

(A6)

(A7)

將式(A5)—(A7)代入式(A4),并注意到在負界面上ν=n,在正界面上ν=-n,得

(A8)

上式中Sg是由斷層邊界、 間斷面和自由表面構成的總邊界． 不妨將⊕視為被Sg分割成的若干個閉區(qū)域的總和,則由高斯定理可證明

(A9)

證明如下：

不妨記A=G0(rR,τ; r),B=δC∶u0(r, t-τ; rS), 則式(A9)等價于

(A10)

由高斯定理知

(A11)

將式(A11)代入(A10),則式(A9)等價于

(A12)

易證式(A12)恒成立,故式(A9)得證．

將式(A9)代入式(A8),得

(A13)

根據(jù)

得

(A14)

(A15)

各向同性介質中

(A16)

將式(A14)和式(A15)代入式(A16),化簡后得

(A17)

因此

(A18)

故

(A19)

因格林函數(shù)G0(rR,τ; r)在邊界上滿足齊次邊界條件,由互易定理知

(A20)

將式(A20)代入式(A19),得

(A21)

將式(A21)代入式(A13),交換時間和空間變量的積分次序,忽略關于δα,δβ和δρ的二階以上高階項,即得式(24)．

Born approximation paradox of linear finite-frequency theory

1)InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China2)SchoolofEarthandSpaceSciences,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China

After reviewing the Born approximation problem of linear finite-frequency tomography theory, its scope of application is statistically analyzed by numerical method. The result indicates that the maximum velocity perturbation should not exceed 1% for Born approximation. Then the statistical analyses on the first-order approximation of cross-correlation travel-time also show that it only meets the case of the maximum velocity perturbation less than 1%. However, the maximum velocity perturbation can be 10% for linear finite-frequency theory, which combines Born approximation with the first-order approximation of cross-correlation travel-time. This apparent logic paradox is called “Born approximation paradox”, which is caused by misusage of Born approximation. Thus, Born approximation is discarded in this study; Fréchet derivative and implicit functional theorem are used to deduce linear finite-frequency theory. As a result, Born approximation paradox is explained thoroughly. Since Born approximation has been discarded early in nonlinear finite-frequency theory, this concept is unnecessary in finite-frequency tomography theory.

finite-frequency tomography; Born approximation; cross-correlation traveltime; Fréchet derivative; implicit function theorem

10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.004.

國家自然科學基金(41090292)和中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務費專項(DQJB13B15)共同資助.

2013-05-27收到初稿,2013-12-15決定采用修改稿.

e-mail: jiang_yan4216@263.net

10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.004

P315.3+1

A

江燕,陳曉非. 2014. 有限頻率線性理論的波恩近似佯謬. 地震學報, 36(3): 372--389.

Jiang Y, Chen X F. 2014. Born approximation paradox of linear finite-frequency theory.ActaSeismologicaSinica, 36(3): 372--389. doi:10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.004.