基于快速傅里葉變換的地震波加速度構(gòu)成及其幅頻特性研究*

付 榮 傅榮華 付安生

1) 中國山西晉中030620山西省第三地質(zhì)工程勘察院 2) 中國成都610059成都理工大學(xué)環(huán)境與土木工程學(xué)院

基于快速傅里葉變換的地震波加速度構(gòu)成及其幅頻特性研究*

1) 中國山西晉中030620山西省第三地質(zhì)工程勘察院 2) 中國成都610059成都理工大學(xué)環(huán)境與土木工程學(xué)院

根據(jù)2008年汶川MS8.0地震廣元曾家臺(GYZJ)的強(qiáng)震記錄,運(yùn)用Matlab軟件對東西向55—75 s的加速度時程進(jìn)行快速傅里葉變換,得到有限復(fù)傅里葉系數(shù),從而將離散的加速度記錄轉(zhuǎn)化為加速度隨時間變化的函數(shù)表達(dá)式． 該表達(dá)式中包含了50組不同頻率的正弦波和余弦波,由此確定了地震波加速度的主要構(gòu)成． 經(jīng)回歸分析可知, 函數(shù)計(jì)算值與原始記錄的相關(guān)系數(shù)R為0.9,擬合程度良好； 利用SeismoSignal軟件對地震波加速度時程進(jìn)行譜分析,結(jié)果表明在原來的波中頻率約為2.8 Hz的諧振分量振幅最大且0—10 Hz這一頻段的波最為豐富. 這一結(jié)果與函數(shù)表達(dá)式中頻率與振幅的分布基本吻合, 為深入研究汶川地震的動力特性及其對山體動力效應(yīng)的分析提供了重要的理論依據(jù),具有廣闊的應(yīng)用前景．

強(qiáng)震記錄 加速度 快速傅里葉變換 幅頻特性

引言

2008年汶川MS8.0地震誘發(fā)了數(shù)以萬計(jì)的次生地質(zhì)災(zāi)害,大量斜坡的變形破壞反映出許多動力特征, 如青川東河口特大型滑坡的臨空拋射現(xiàn)象. 斜坡在地震作用下的動力響應(yīng)特征與斜坡所遭受的地震動特性(振幅、 頻譜、 持續(xù)時間)密切相關(guān)(祁生文,2006)． 因此,深入研究強(qiáng)震記錄中地震波振幅與頻率的組合特征及其動力輸入,是研究地震作用下斜坡動力響應(yīng)問題的一個重要方面．

汶川地震后,布設(shè)在龍門山斷裂帶附近的強(qiáng)震觀測儀獲得了大量的強(qiáng)震記錄,這些記錄為研究地震誘發(fā)地質(zhì)災(zāi)害與強(qiáng)震記錄地震動參數(shù)之間的關(guān)系提供了寶貴的數(shù)據(jù)資料． 研究人員利用強(qiáng)震記錄進(jìn)行了多方面研究(王秀英等,2009； 于海英等,2009； 劉曉,2010； 周榮軍等,2010； 張冬麗等,2010； 郭曉云,2011； 羅永紅,2011; 謝俊舉等,2011)． 本文對廣元曾家臺(GYZJ)獲得的汶川地震加速度記錄進(jìn)行快速傅里葉變換,研究該臺記錄到的地震波加速度的主要構(gòu)成及其幅頻特性,旨在為研究汶川地震的地震波特性及其對斜坡的影響提供理論依據(jù)．

1 強(qiáng)震記錄

廣元曾家臺觀測場地條件為土層,儀器型號為MR2002,位于汶川地震發(fā)震斷層下盤(圖1),震中距為311.38 km(中國地震局震害防御司,2008)．

圖2給出了廣元曾家臺在汶川地震時記錄的未校正加速度時程(東西向),數(shù)據(jù)記錄點(diǎn)為1萬9356個,采樣時間間隔為0.01 s,最大峰值加速度為4.24 m/s2．

地震動能量與加速度、 速度或位移幅值的平方成正比(謝禮立,周雍年,1984)． 圖3為廣元曾家臺接收到的汶川地震加速度能量在時域上的分布圖． 從圖3中可以看出55—75 s是該記錄能量最強(qiáng)的時間段． 為避免表達(dá)式冗長,對地震波加速度時程進(jìn)行了截取,選擇55—75 s時間段內(nèi)東西向的加速度記錄作為有限傅里葉近似的加速度數(shù)據(jù)(圖4),數(shù)據(jù)點(diǎn)為1001個,時間間隔為0.02 s．

2 地震波加速度時程的有限傅里葉近似

2.1 有限傅里葉近似

廣元曾家臺記錄的地震波加速度是按等時間間隔讀取的離散采樣點(diǎn),本文采用大崎順彥(1980)的有限傅里葉近似方法,用離散的采樣值求取原光滑曲線的表達(dá)式． 其近似表達(dá)式為

圖1 地震臺站分布與2008年汶川MS8.0地震地質(zhì)災(zāi)害區(qū)劃的對應(yīng)關(guān)系(據(jù)王秀英等 (2010)修改)

圖2 廣元曾家臺(GYZJ)記錄到的汶川地震未校正加速度時程(東西向)

圖3 廣元曾家臺接收到的汶川地震 加速度能量在時域上的分布圖

圖4 廣元曾家臺記錄的55—75 s時段 汶川地震東西向加速度時程

(1)

其中，

(2)

式中,Ak和Bk為傅里葉系數(shù),m為采樣點(diǎn)序號(m=0, 1, 2, …,N-1),xm為采樣值,N為采樣數(shù),Δt為采樣點(diǎn)的時間間隔．

利用廣元曾家臺記錄的加速度隨時間變化的離散值,進(jìn)行有限傅里葉近似． 令k=0,則

(3)

顯然,A0代表的是全體采樣值的平均值,即整個波形對零線的漂移． 本文對廣元曾家臺在截取時段55—75s記錄的1001個加速度采樣值求平均得0.14,所以東西向A0/2=0.14．

從式(1)可以看出,原來的波形表現(xiàn)為正弦與余弦的集合． 因此,可把原來的波形看成已被分解的正弦波和余弦波．

若令

(4)

則式(1)可寫成

(5)

由式(5)可知,原來的振動被分解成(N-1)/2個不同頻率的波,即f1,f2, …,f(N-1)/2. 這里稱f1為1次頻率(基本頻率),f2為2次頻率,一般項(xiàng)fk為k次頻率,并把k次頻率的振動波稱為原來波形的k次諧振分量．

2.2 有限傅里葉系數(shù)

欲求波形的有限傅里葉系數(shù),按照式(2)作傅里葉變換是最簡單明了的． 但是,該方法計(jì)算過于費(fèi)時,而且隨著采樣數(shù)N的增大,計(jì)算時間將以N2的比例增加． 為了克服這個缺點(diǎn),Gooley與Tukey研究出一種非常快速的傅里葉分析方法,稱為Gooley-Tukey法或快速傅里葉變換(fast Fourier transform,簡寫為FFT)(大崎順彥,1980). 該方法是對等間隔采樣點(diǎn)的N個采樣值xm(m=0, 1, 2, …,N-1),求其有限復(fù)傅里葉系數(shù)Ck(k=0, 1, 2, …,N-1)． 采用這種傅里葉變換方法計(jì)算速度非?？?所需要的計(jì)算時間不再與數(shù)據(jù)個數(shù)的平方成比例,而是當(dāng)N=2p時,與pN成比例(大崎順彥,1980)． 這為將采樣點(diǎn)極多的地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式,從而研究地震波的構(gòu)成提供了方便快捷的方法．

本文利用Matlab軟件對截取時段的采樣值進(jìn)行快速傅里葉變換,得到有限復(fù)傅里葉系數(shù)Ck,根據(jù)下式(大崎順彥,1980)求得Ak和Bk：

(6)

式中,Re(·)表示實(shí)部,Im(·)表示虛部．

按k次分量的振幅由大到小排序,得到前50個正弦波與余弦波的組合(表1)．

表1 廣元曾家臺加速度記錄的有限復(fù)傅里葉系數(shù)

圖5 廣元曾家臺在截取時段上的原始加速度 時程與擬合函數(shù)曲線的對比圖 Fig.5 Comparison of uncorrected acceleration observation curve (bule) and fitted function curve (red) recorded at GYZJ station in the time period 55—75 s

為觀察函數(shù)表達(dá)式的擬合效果,將表1中的系數(shù)Ak和Bk及其所對應(yīng)的頻率fk代入式(5),得到加速度隨時間變化的擬合函數(shù)； 再將55—75 s(Δt=0.02 s)的時間值代入該擬合函數(shù),即可得到計(jì)算后的加速度值. 加速度擬合曲線與原始曲線的對比可以看出擬合結(jié)果與原始數(shù)據(jù)基本吻合(圖5)．

為進(jìn)一步檢驗(yàn)擬合效果,利用Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的regress函數(shù)命令計(jì)算實(shí)測值x與公式計(jì)算值Y之間的線性回歸方程,并將其殘差的置信區(qū)間不包括零點(diǎn)的異常數(shù)據(jù)剔除,最終得Y=-0.4+0.8x,相關(guān)系數(shù)R=0.9,擬合效果良好． 其殘差及置信區(qū)間見圖6．

從圖6可以看出,除少數(shù)數(shù)據(jù)(紅線及圓圈所對應(yīng)的數(shù)據(jù))外,其余數(shù)據(jù)的殘差值(藍(lán)點(diǎn))均較接近零點(diǎn),且殘差的置信區(qū)間(綠線)均包含零點(diǎn). 這說明回歸模型能較好地?cái)M合原始數(shù)據(jù),即計(jì)算值與實(shí)測值比較接近．

圖6 廣元曾家臺記錄的原始加速度值與擬合函數(shù)值的殘差分布圖

3 地震波的譜分析

譜分析為研究地震波頻率的構(gòu)成提供了一種有效的手段(劉曉,2010)． 利用SeismoSignal軟件(SeismoSoft Ltd, 2013)即可得到傅里葉幅值譜和功率譜． 從圖7的地震波傅里葉幅值譜中可以看出地震波的主頻率值約為2.8 Hz． 從圖8的傅里葉功率譜可以看出廣元曾家臺所獲得的東西向強(qiáng)震記錄的能量主要集中在10 Hz以內(nèi)的低頻范圍內(nèi)． 這一結(jié)果與表1中頻率fk和振幅Xk的分布情況基本吻合,從另一方面檢驗(yàn)了函數(shù)表達(dá)式

的擬合效果,其中,Ak,Bk和fk由表1給出．

圖7 廣元曾家臺加速度記錄的傅里葉幅值譜

圖8 廣元曾家臺加速度記錄的傅里葉功率譜

4 討論與結(jié)論

為研究地震波加速度的主要構(gòu)成,本文對廣元曾家臺(GYZJ)記錄到的汶川MS8.0地震的強(qiáng)震記錄進(jìn)行快速傅里葉變換,得到有限復(fù)傅里葉系數(shù),從而將離散的加速度記錄轉(zhuǎn)化為加速度隨時間變化的函數(shù)表達(dá)式,并利用SeismoSignal軟件對地震波加速度時程進(jìn)行了譜分析,得到以下結(jié)論：

1) 廣元曾家臺在汶川地震時監(jiān)測到的東西向地震波(55—75 s)主要由表1中所列的50項(xiàng)不同頻率的正弦波和余弦波構(gòu)成． 通過分析可知,所得結(jié)果與原始數(shù)據(jù)擬合良好,表明利用快速傅里葉變換從強(qiáng)震記錄中獲取地震波加速度振幅和頻率的構(gòu)成特征是一個很好的方法,為深入研究汶川地震的動力特性及其對山體動力效應(yīng)的分析提供了理論依據(jù),具有廣闊的應(yīng)用前景．

2) 通過譜分析可得,廣元曾家臺記錄的東西向地震波中頻率約為2.8 Hz的諧振分量振幅最大且0—10 Hz這一頻段的波最為豐富． 這一結(jié)果與表1中頻率fk和振幅Xk的分布情況基本吻合,從另一方面檢驗(yàn)了函數(shù)表達(dá)式的適用性．

中國強(qiáng)震動觀測臺網(wǎng)為本研究提供了強(qiáng)震記錄數(shù)據(jù),審稿專家為本文的完善提出了許多寶貴的意見,在此一并表示感謝．

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Composition and amplitude-frequency characteristics of ground motion acceleration based on fast Fourier transform analysis

1)TheThirdInstituteofGeologicalEngineeringReconnaissance,ShanxiJinzhong030620,China2)CollegeofEnvironmentandCivilEngineering,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China

This paper analyzed the strong ground motion records of the 2008 WenchuanMS8.0 earthquake at the station GYZJ, and used Matlab software to carry on the fast Fourier transform on the acceleration records of E--W component in 55—75 s, and then obtained a function expression of the acceleration variation with time. The expression contains 50 groups of sine and cosine waves with different frequencies, which are the main composition of the seismic wave. A correlation coefficient of 0.9 deduced from regression analysis shows well fitting between the calculated values and observed records. In addition, we used the SeismoSignal software to analyze the spectrum of the ground motion acceleration. Our results show that the harmonic component with frequency of 2.8 Hz in the original wave has the maximum amplitude and a dominant range of seismic waves has a frequency band of 0—10 Hz. These results generally agree well with the frequency and amplitude distribution of the functional expression. This paper provides an important theoretical basis for the research of wave characteristics and the analysis on the dynamic effect of slope in Wenchuan earthquake.

strong ground motion record； acceleration； fast Fourier transform； amplitude-frequency characteristic

10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.007.

國家自然科學(xué)基金(41072228)資助.

2013-04-18收到初稿,2013-09-02決定采用修改稿.

e-mail: fu-rong20080808@163.com

10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.007

P315.3+1

A

付榮, 傅榮華, 付安生. 2014. 基于快速傅里葉變換的地震波加速度構(gòu)成及其幅頻特性研究. 地震學(xué)報, 36(3): 417--424.

Fu R, Fu R H, Fu A S. 2014. Composition and amplitude-frequency characteristics of ground motion acceleration based on fast Fourier transform analysis.ActaSeismologicaSinica, 36(3): 417--424. doi:10.3969/j.issn.0253-3782.2014.03.007.