建立零長(zhǎng)彈簧傳熱等效模型

李德才，褚 寧，朱學(xué)毅

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

建立零長(zhǎng)彈簧傳熱等效模型

李德才，褚 寧，朱學(xué)毅

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

零長(zhǎng)彈簧作為高精度重力敏感器的核心元件，其溫度場(chǎng)分布直接影響重力敏感器的測(cè)量精度，由于彈簧結(jié)構(gòu)特殊，為了研究其傳熱特性，提出建立零長(zhǎng)彈簧傳熱的等效模型。首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得零長(zhǎng)彈簧電阻溫度系數(shù)，再設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量零長(zhǎng)彈簧的分段阻值變化來(lái)反求各段平均溫度變化，通過(guò)最優(yōu)化方法計(jì)算求解零長(zhǎng)彈簧的溫度分布曲線，結(jié)果表明，該曲線為冪函數(shù)曲線。為使零長(zhǎng)彈簧可以用等長(zhǎng)等直徑的圓柱體來(lái)代替，利用Ansys進(jìn)行仿真并建立了一個(gè)適于工程應(yīng)用的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化表格。仿真結(jié)果表明，該表格能夠達(dá)到用圓柱體代替零長(zhǎng)彈簧來(lái)研究其傳熱特性的目的，最大相對(duì)誤差為2.8%。

零長(zhǎng)彈簧；溫度場(chǎng)；導(dǎo)熱系數(shù)；傳熱等效模型

彈簧在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中通常作為連接件起到支承、阻尼的作用，在溫度場(chǎng)要求不高的前提下，熱分析中可以用桿代替，甚至忽略。但在高精度重力敏感器中，零長(zhǎng)彈簧作為核心敏感元件，受溫度場(chǎng)的影響極大，在這種情況下零長(zhǎng)彈簧的換熱將不能忽視。

此外，利用Pro/E建立的零長(zhǎng)彈簧實(shí)體模型在導(dǎo)入AWE（Ansys Workbench Environment）中時(shí)，破壞了原有的幾何拓樸，并且無(wú)法有效選出“接觸”（Contact），即考慮到零長(zhǎng)彈簧自身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，還需要對(duì)其幾何模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。故本文提出建立零長(zhǎng)彈簧的傳熱等效模型。

1 建立零長(zhǎng)彈簧傳熱等效模型

為了獲得零長(zhǎng)彈簧傳熱等效模型的導(dǎo)熱系數(shù)，需要知道其溫度分布。由于彈簧絲徑為0.5 mm，傳統(tǒng)的溫度傳感器都不能準(zhǔn)確測(cè)量出彈簧表面的溫度，故本文提出一種新的測(cè)量零長(zhǎng)彈簧溫度的方法，即通過(guò)測(cè)量零長(zhǎng)彈簧的電阻值反求其溫度。

已知電阻公式：

整理后得：

若要測(cè)得零長(zhǎng)彈簧的溫度分布，則應(yīng)當(dāng)測(cè)量不同區(qū)域的電阻值，即在彈簧中間選擇若干點(diǎn)，測(cè)量分段電阻值。由于整段零長(zhǎng)彈簧電阻值大小約35Ω ，分段電阻值的大小與其長(zhǎng)度成正比，分段越多理論上測(cè)量彈簧溫度分布的準(zhǔn)確度越高，但實(shí)際上分段電阻值的絕對(duì)值變小，造成相對(duì)測(cè)量誤差增大。綜合考慮上述因素，既要滿足測(cè)量溫度分布的要求，又要滿足測(cè)量準(zhǔn)確度的要求，則在整段彈簧OD上間隔均勻的選擇三個(gè)內(nèi)點(diǎn)A、B、C分別測(cè)量OA（上段）、AB（中上段）、BC（中下段）、CD（下段）、OD（全段）的電阻值，進(jìn)而得到相應(yīng)區(qū)間的平均溫度。再利用數(shù)學(xué)方法求得零長(zhǎng)彈簧的溫度分布曲線。

由熱力學(xué)第一定律可知，系統(tǒng)內(nèi)能的增量ΔU包括兩部分，即外界對(duì)系統(tǒng)所作的功A，和外界傳遞給系統(tǒng)的熱量Q。對(duì)于固體來(lái)說(shuō)，外界對(duì)系統(tǒng)所作的功可以忽略，則有：

內(nèi)能是個(gè)態(tài)函數(shù)，即它的數(shù)值由系統(tǒng)的狀態(tài)唯一地確定，由分子動(dòng)理論知道，溫度反映的是分子的動(dòng)能的多少，即其平均值是溫度的函數(shù)；而分子間的勢(shì)能與體積有關(guān)，所以內(nèi)能是由體積V和溫度T所決定，則內(nèi)能可表示為U=U(V,T)。已知內(nèi)能公式：

式中，c為物體的比熱容，單位為 J/(kg?℃)；m為物體質(zhì)量，單位為kg；ΔT為物體初末狀態(tài)的溫度變化，單位為℃。式(4)還可寫(xiě)成：

式中，N表示彈簧的圈數(shù)；表示第i圈數(shù)的平均溫度變化；mN表示平均每圈的質(zhì)量，大小為m/N。

由此可知，待擬合的零長(zhǎng)彈簧溫度分布曲線具有一個(gè)最基本的性質(zhì)，即與實(shí)驗(yàn)測(cè)量出的平均溫度曲線對(duì)應(yīng)區(qū)間線下面積近似相等，判定標(biāo)準(zhǔn)可由最小二乘法求得。

2 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量零長(zhǎng)彈簧電阻溫度系數(shù)

將零長(zhǎng)彈簧置于不同的恒溫環(huán)境中，對(duì)測(cè)得的電阻值和設(shè)定的溫度值進(jìn)行線性回歸得到式(2)中的“斜率”和“截距”，二者相除即可得到電阻溫度系數(shù)，將多次實(shí)驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果繪于圖1中。

圖1 電阻溫度系數(shù)實(shí)驗(yàn)值Fig.1 Experimental data of resistance’s temperature coefficient

由于在一定范圍內(nèi)電阻溫度系數(shù)可以近似看作常數(shù)，故求其平均值得到電阻溫度系數(shù)為4.978 13×10-4/℃，標(biāo)準(zhǔn)差為 7.776 22×10-5。根據(jù)格羅布斯準(zhǔn)則，將數(shù)據(jù)作為粗大誤差剔除。剩下的43個(gè)數(shù)據(jù)，平均值為0.000 493 209，標(biāo)準(zhǔn)差為4.403 98×10-5。則得到零長(zhǎng)彈簧的電阻溫度系數(shù)為4.9×10-4/℃。

2.2 設(shè)計(jì)零長(zhǎng)彈簧傳熱實(shí)驗(yàn)

將零長(zhǎng)彈簧與導(dǎo)熱率較高的銅塊相連，電加熱帶對(duì)其進(jìn)行加熱，用鉑熱電阻測(cè)量銅塊與彈簧連接處的溫度。加熱功率為9.6 W，取溫度上升至穩(wěn)定段的數(shù)據(jù)并進(jìn)行濾波，結(jié)果如圖2。

將間接熱源的溫度，即彈簧頂部的溫度視為輸入，記作Tin；測(cè)量的彈簧電阻值視為輸出，則二者存在函數(shù)關(guān)系：

將式(6)進(jìn)行多項(xiàng)式展開(kāi)，則有：

圖2 零長(zhǎng)彈簧傳熱實(shí)驗(yàn)濾波后曲線Fig.2 Curves after filtering in heat transfer experiment of the zero-length spring

在滿足計(jì)算精度的前提下，為了盡可能簡(jiǎn)化函數(shù)關(guān)系，僅保留上式常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)，則式(7)變?yōu)镽與Tin的線性函數(shù)，即。

根據(jù)公式可知，當(dāng)彈簧平均溫度發(fā)生變化時(shí)，則有：

整理后，可得：

在經(jīng)過(guò)線性關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)后，可以判定忽略式(7)二次及以上高次項(xiàng)是可以滿足要求的。由線性回歸的值可以得到因Tin引起的阻值變化，分別為0.052Ω、0.010Ω、0.003Ω、0.001Ω和0.066Ω。再利用回歸方程的截距，由式（9）分別求得各段彈簧的平均溫度變化為 12.199℃、2.339℃、0.682℃、0.233℃和3.829℃。以彈簧圈數(shù)為x軸，溫度變化為y軸，畫(huà)出溫度曲線，如圖3所示。

圖3 彈簧分段及全段平均溫度曲線Fig.3 Average temperatures of the whole and each part

彈簧的內(nèi)能變化可由上圖溫度曲線的線下面積作為度量。經(jīng)計(jì)算，分段平均溫度曲線的線下面積分別為609.95、116.95、35.464、11.65，四段之和為774.014，全段平均溫度線下面積為773.458，二者相差0.556，可以認(rèn)為測(cè)量結(jié)果是有效且準(zhǔn)確的。需要說(shuō)明的是，零長(zhǎng)彈簧與銅塊接觸的部分不在此傳熱模型計(jì)算的有效范圍內(nèi)，即有效圈數(shù)為10～212。

3 零長(zhǎng)彈簧傳熱等效模型的建立

3.1 求解零長(zhǎng)彈簧溫度分布函數(shù)

接下來(lái)的任務(wù)是要作出一條溫度曲線T(x)，能夠表示出彈簧的溫度分布。對(duì)于理想的待求曲線有以下幾個(gè)要求：

① 待求溫度曲線的線下面積與全段平均溫度曲線的線下面積相等。

② 與分段平均溫度曲線各段相對(duì)應(yīng)的待求溫度曲線的線下面積分別與分段平均溫度曲線各段線下面積相等。

③ 在分段平均溫度曲線的溫度階躍點(diǎn)處，要求待求溫度曲線連續(xù)。

首先，先出寫(xiě)圖中兩條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，全段溫度曲線：

分段溫度曲線：

由實(shí)際傳熱特性可知，溫度曲線必定是單調(diào)遞減的，所以根據(jù)分段溫度曲線，先對(duì)每一段分別用一條斜率為負(fù)的直線代替，使其滿足要求②和③，當(dāng)T(212) =0℃時(shí)，則有：

分段直線逼近的溫度曲線如圖4所示。

由分段直線逼近曲線的圖像可知，與其相似的函數(shù)圖形有雙曲線、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式等，由此提出待求曲線的另一個(gè)要求，即：

圖4 分段直線逼近曲線Fig.4 Approximate curve of each part

④ 當(dāng)x∈[10,212]時(shí)，有，。

以雙曲線為例，其一般形式為：

式中，a、b為待求系數(shù)。定義：

根據(jù)要求②則有：

由于該方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)少于方程個(gè)數(shù)，無(wú)解的可能性很大。根據(jù)實(shí)際情況改變求解方法，即對(duì)于要求②，采用最優(yōu)化方法進(jìn)行求解。

首先對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行分析可知，待求曲線的特點(diǎn)是各段線下面積盡可能接近于實(shí)驗(yàn)值，即令盡可能小，式中為實(shí)驗(yàn)得到的分段積分值。然后利用最小二乘法，構(gòu)造函數(shù)：

該問(wèn)題的多維無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)形式可寫(xiě)作：

通過(guò)求解可得：a=310.6917，b=0，此時(shí)F(a,b)=20297。

分別對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次多項(xiàng)式、三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式進(jìn)行求解計(jì)算，F(xiàn)分別為37.900、39.475、35 874、11 433和85 300。所以當(dāng)擬合函數(shù)為冪函數(shù)時(shí)，其最小二乘函數(shù)F的值最小，故得出結(jié)論：通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的彈簧溫度場(chǎng)滿足冪函數(shù)分布。其回歸圖線如圖5所示。

圖5 冪函數(shù)擬合曲線Fig.5 Fitting curve of power function

3.2 建立彈簧傳熱的等效模型

利用Ansys Workbench進(jìn)行仿真，已知加熱功率為9.6 W，熱載荷施加在銅塊的圓周面上，模型外表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)設(shè)為，環(huán)境溫度 22℃。當(dāng)設(shè)定彈簧的導(dǎo)熱系數(shù)分別為 1.4 W/(m· K)、4.5 W/(m· K)、20 W/(m· K)，得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同導(dǎo)熱系數(shù)的彈簧傳熱等效模型仿真結(jié)果Fig.6 Simulating results of the equivalent model of the spring with different thermal conductivities

為了得到和冪函數(shù)曲線更為接近的曲線，就要尋找合適的導(dǎo)熱系數(shù)，這里的導(dǎo)熱系數(shù)不是常數(shù)，而是隨溫度的改變而改變的函數(shù)，即λ=λ(T)。而精確求解導(dǎo)熱系數(shù)關(guān)于溫度的函數(shù)是復(fù)雜且計(jì)算量龐大的，這里只需通過(guò)改變某些溫度點(diǎn)的導(dǎo)熱系數(shù)，得到一個(gè)能夠滿足工程需求的近似解。

基于圖6中的規(guī)律，應(yīng)在40℃～70℃范圍內(nèi)使導(dǎo)熱系數(shù)降低，在22℃～30℃范圍內(nèi)使導(dǎo)熱系數(shù)增大。經(jīng)多次計(jì)算得到λ(T)，其值見(jiàn)表1。

表1 彈簧傳熱等效模型導(dǎo)熱系數(shù)表Tab.1 Thermal conductivity of equivalent model of the spring

利用此表中的導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果云圖和與冪函數(shù)曲線的對(duì)比分別如圖7和圖8所示。

仿真結(jié)果曲線中各點(diǎn)與對(duì)應(yīng)圈數(shù)的冪函數(shù)值比較結(jié)果如表2所示。由表2中數(shù)值可以看出，最大誤差絕對(duì)值不超過(guò)0.7℃，相對(duì)誤差絕對(duì)值不超過(guò)2.8%。綜合考慮各方面因素，該結(jié)果可以滿足工程需求。至此，彈簧傳熱等效模型建立完成。

圖7 仿真結(jié)果云圖Fig.7 Simulating results

圖8 仿真結(jié)果曲線對(duì)比圖Fig.8 Comparison between theory solution and simulation

表2 仿真結(jié)果與冪函數(shù)值對(duì)比表Tab.2 Comparison between power function and simulation

4 結(jié) 論

本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了零長(zhǎng)彈簧電阻值與溫度的線性關(guān)系，利用其關(guān)系測(cè)出了零長(zhǎng)彈簧在一端輸入熱流時(shí)的溫度分布，并通過(guò)最優(yōu)化方法確定了零長(zhǎng)彈簧的溫度分布函數(shù)，最后，利用Ansys進(jìn)行有限元仿真，在將其幾何模型簡(jiǎn)化為圓柱體的同時(shí)，確定了簡(jiǎn)化模型的導(dǎo)熱系數(shù)和溫度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為有限元分析中研究彈簧傳熱提供了新的方法，對(duì)進(jìn)一步研究零長(zhǎng)彈簧的傳熱特性提供了全新并且有效的方法，對(duì)研究零長(zhǎng)彈簧其他與溫度有關(guān)的特性提供了基礎(chǔ)，具有一定的工程指導(dǎo)價(jià)值。

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Establishment of an equivalent model of heat transfer of zero-length spring

LI De-cai,CHU Ning,ZHU Xue-yi
(Tianjin Navigation Instruments Research Institute,Tianjin 300131,China)

The zero-length spring is the core element of the high-precision gravimeter.The temperature distribution of the spring directly affects the measuring accuracy of gravimeters.For the sake of studying the heat transfer characteristic of the spring,an equivalent model of heat transfer of the spring was studied by considering its particular structure.The temperature coefficient of resistance was obtained by the experiment,and an experiment was designed to measure the resistance of different parts of the spring,so the average temperature change of every part was obtained.Then the curve of the temperature distribution was obtained from calculation by the means of an optimization method,and it is shown that the curve satisfies the power function.In order that the zero-length spring could be replaced by a cylinder with equal length and diameter,a simulation was made by Ansys software,and a thermal-conductivity vs.temperature table suitable for engineering application was built.The simulation results show that the cylinder can be replaced by the spring in studying its heat transfer characteristic,and the maximum relative error is 2.8%.

zero-length spring; temperature distribution; thermal conductivity; equivalent heat transfer model

U666.1

：A

1005-6734(2014)02-0248-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.02.020

2011-11-14；

：2012-01-20

國(guó)防重點(diǎn)預(yù)研項(xiàng)目（51309040701）

李德才（1964—），男，研究員，碩士生導(dǎo)師。E-mail：LDC_mail@yahoo.com