利用因式分解解決問題

李圣春

因式分解是把一個多項式寫成幾個整式乘積的形式，如果從運算角度上考慮，也就是把一個和在保持大小不變的條件下，寫成一個乘積的形式。在解決問題時，如能靈活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁為簡，方便快捷的效果。

例1.某商場銷售三種不同的的運動鞋。十·一假期，為增加銷售量，現(xiàn)在對三種運動鞋實行降價讓利活動。已知甲種運動鞋每雙售價a元，讓利10%；乙種運動鞋每雙售價2a元，讓利15%；丙種運動鞋每雙售價3a元，讓利30%。如果各銷售一雙，則三種運動鞋共讓利多少元？

【分析】要求三種運動鞋商場共讓利多少，只要求出甲、乙、丙三種運動鞋讓利的和即可?？紤]到都含有百分號，運算不方便，所以，可以將相同的因數(shù)提取，利用因式分解來簡化計算。

解：W=a×10%+2a×15%+3×35%

=a（10%+30%+90%）

=a×130%= a（元）

答：三種運動鞋商場共讓利 a元.

例2.某公園計劃砌一個圓形如圖（1）的噴水池，后來有人建議改成如圖（2）的形狀且外圓直徑不變，只是擔(dān)心原來備好的材料不夠，請你比較兩種方案，哪一種用的材料多？

【分析】比較兩種方案，哪一種用的材料多？也就是比較哪個周長更長。假設(shè)第一個方案的大圓直徑是d，那么方案一的兩個大圓的總周長是2dπ，設(shè)三個小圓的直徑分別為a、b、c，則a+b+c=d，再利用提公因式法因式分解，很簡單就解決了問題。

解：C1=2dπ C2=（aπ+bπ+cπ）+dπ=（a+b+c）π+dπ= 2dπ

所以C1= C2

答：兩種方案需要的材料一樣多.

歸納：某些問題，如果列出代數(shù)式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能夠湊整，用提取公因式計算較簡單。

例3：老李師傅在制作零件時，要在半徑為Rcm的圓形鋼板上鉆四個相同的半徑為rcm的圓孔，老李師傅測量出R=7.8cm，r=1.1cm時，請你幫他計算一下圓形鋼板的剩余面積。（結(jié)果保留π）

【分析】剩余部分的面積，即為大圓的面積減4個小圓的面積。因為數(shù)字為小數(shù)，計算起來不方便。先因式分解，后計算，就簡單多了。

解：根據(jù)題意，S=πR?-4πr?

當(dāng)R=7.8，r=1.1時

S=π（R?-4 r?）=π（R+2r）（R-2r）=π（7.8+2×1.1）（ 7.8-2×1.1）

=π10×5.6=56π（cm2）

答：剩余部分的面積為56πcm2.

例4.小明制作了一個房子模型，如圖所示，要把其中的這一面墻涂上顏色（小正方形窗戶除外），那么涂色的面積是多少？

【分析】涂色的面積應(yīng)該是三角形的面積加正方形的面積再減去小正方形的面積.可利用平方差公式對部分式子進行因式分解，從而簡化計算。

解：S涂色=

=

= 答：涂色的面積是143.

歸納：如果由實際問題得到的代數(shù)式，滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，而且分解后，兩個數(shù)的和或兩個數(shù)的差運算較簡單，通常應(yīng)用平方差公式。

例5.如左圖，開發(fā)商要在原來小區(qū)（正方形）的基礎(chǔ)上進行征地擴建，且使擴建后的小區(qū)平面仍舊是正方形。如果土地的成本價1500元/m2，開發(fā)商在整個小區(qū)的土地成本投資應(yīng)是多少萬元？

【分析】根據(jù)題意可知，土地的總面積=原居民區(qū)面積+新建住房區(qū)面積，可發(fā)現(xiàn)整個式子是一個完全平方式，可利用因式分解簡化計算過程。

解：S=642+36×64×2+362=（64+36）2=1002=10000

所以土地的投資成本為：10000×1500=1500（萬元）

答：土地成本投資應(yīng)是1500萬元.

例6.某公園有一塊長為51.2m的

正方形綠地，為了便于游人通行，決定修

兩條互相垂直的小路，如下圖小路寬1.2m，

問剩余綠地的面積是多少？

【分析】用整塊綠地的面積減去小路的面積，就是剩余綠地的面積。因為數(shù)字含有小數(shù)，計算較繁。如用完全平方公式因式分解，就簡單多了。

解： S=51.22-（2×1.2×51.2-1.22）=51.22-2×1.2×51.2+1.22

=（51.2-1.2）2=502=2500

答：剩余綠地的面積為2500m2.