單擺法測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)的影響因子分析及修正公式

王志璽 楊曉榮 達(dá)瓦 賈永張

摘 要 文中就單擺測(cè)重力加速度的影響因子進(jìn)行分析，并對(duì)用單擺測(cè)重力加速度的計(jì)算公式作出修正。

關(guān)鍵詞 重力加速度 單擺 精確度 修正

中圖分類號(hào)：Q311.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Pendulum Impact Factor Analysis and Revision

Formula of Acceleration of Gravity

WANG Zhixi， YANG Xiaorong， Dawa， JIA Yongzhang

（Department of Physics， Academy of Natural Sciences， Tibet University， Lhasa， Tibet 850000）

Abstract Analysis Pendulum impacting factor of acceleration of gravity ， the revised formula for measuring acceleration of gravity with simple pendulum experiment.

Key words acceleration of gravity； simple pendulum； impacting factor； revision

0 引言

單擺測(cè)重力加速度是物理學(xué)中較為簡(jiǎn)單和傳統(tǒng)的一種方法，但其實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性受到了實(shí)驗(yàn)和計(jì)算公式的影響，本文對(duì)影響單擺法測(cè)重力加速度的精確度進(jìn)行分析并對(duì)單擺法測(cè)重力加速度的計(jì)算公式加以修正。

1 單擺測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)的影響因子分析

單擺法測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)原理①： = 4

將看做與的函數(shù)，由此可得到 （ ，） = 4 ，對(duì)該函數(shù)求全微分

= + = = （）

由此可知將看作常數(shù)則函數(shù) （ ，）只與、有關(guān)，故誤差來源于擺長(zhǎng)和時(shí)間周期，從上式可知周期對(duì)函數(shù) （ ，）的影響為主要因素。

1.1 實(shí)驗(yàn)過程中儀器與操作的影響

設(shè)為擺線長(zhǎng)，為擺球的半徑，為小球的質(zhì)量，為擺線的質(zhì)量，考慮操作時(shí)擺球作圓錐運(yùn)動(dòng)和復(fù)擺效應(yīng)則單擺運(yùn)動(dòng)方程為：

（ + ）

= [ + + ]

解得近似解

（<5埃鄭？=

= 2

= （ + ）[1 + （1 + + ）]

由上式可知擺線的質(zhì)量和長(zhǎng)度、擺球的質(zhì)量和半徑、擺角、實(shí)驗(yàn)的操作都影響著周期的測(cè)量，進(jìn)而影響對(duì)重力加速度的測(cè)量。

1.2 地球的高度及緯度對(duì)單擺測(cè)重力加速的影響

高度影響設(shè)擺球離地表面的高度為，地球的半徑為，地球的質(zhì)量為，擺球的質(zhì)量為，依據(jù)萬有引力可知：②

擺球在地表的某一高度

= ，

由此 = ，

周期 = 2，

則擺球離地表高度時(shí)單擺的周期與的比值為

= = 1 + ，

由此可知隨著擺球離地面的高度的增大而增大。

緯度影響設(shè)地球某一點(diǎn)緯度為，測(cè)量重力加速的經(jīng)驗(yàn)公式為

= 9.78030（1 + 0.005302 + 0.0000072）·。

當(dāng) = 0笆保？= 9.7803·，

周期 = 2，

則單擺在地球某一點(diǎn)緯度為的周期與的比值，

= = 9.78030，

由此可知重力加速度在[0，]的區(qū)間內(nèi)隨著緯度的增大而減小。

2 測(cè)量時(shí)對(duì)周期產(chǎn)生影響的項(xiàng)進(jìn)行修正③

擺線長(zhǎng)，忽略圓錐擺的影響，擺線的質(zhì)量，擺球的半徑，擺球的質(zhì)量。

2.1 復(fù)擺對(duì)周期的影響修正

依據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理可得

（ + ） = [ + + ]

當(dāng)很小時(shí)，≈，可解得該方程的近似解為

由此可得考慮到復(fù)擺對(duì)重力加速度修正為

2.2 擺角對(duì)周期的影響修正

設(shè)為任意時(shí)刻的擺角，由單擺的運(yùn)動(dòng)方程可知

=

解得方程的周期（擺角不是很小）

= {1 + + + …+}

由此可得考慮到擺角對(duì)重力加速度修正為

= {1 + + + …+}

2.3 空氣浮力對(duì)周期的影響修正

設(shè)空氣的阻力為，空氣的密度為，擺球的密度為，則（ + ） （ + ）= [ + + ]

解得該方程的近似解為

（浮力公式： = ）

由此可得考慮到空氣浮力對(duì)重力加速度修正為

2.4 阻尼運(yùn)動(dòng)周期的影響修正

設(shè)球所受空氣阻力為，空氣的黏度，物體運(yùn)動(dòng)的速度，阻尼因素，在雷諾數(shù)小于1的情況下，由斯托克斯公式可知：④

= （ = ）

其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫為（≤5埃？

+ = （ + ）

令 = ， = ，≈，

+ 2 + = 0

解得該方程的近似解

由此可得考慮到阻尼運(yùn)動(dòng)對(duì)重力加速度修正為

= （ + ）（） = （） +

2.5 總體修正

把復(fù)擺、擺角、浮力及阻尼運(yùn)動(dòng)對(duì)重力加速度修正綜合到一起考慮到 ， ，≤5埃厙蛭扯燃案叨齲僮魘弊緞偉謨跋歟勻ジ嘰蝸羈傻彌亓鈾俁鵲男拚轎？

= {（）[2 + （ + ） + + ] + }（2 + + ）

3 總結(jié)

通過分析地球的緯度及高度、復(fù)擺、擺角、空氣浮力、阻尼運(yùn)動(dòng)和實(shí)驗(yàn)操作中對(duì)測(cè)重力加速度的影響，對(duì)重力加速度公式做了修正，使實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)在該修正公式下計(jì)算得更加精確。

注釋

① 孫丙西.單擺測(cè)重力加速度的修正公式[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005.20（6）.

② 梁紹榮等.普通物理學(xué)·力學(xué)（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：135-137.

③ 張存恕等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)（第1版）[M].四川科學(xué)技術(shù)出版社，1986：249-252.

④ 梁紹榮等.普通物理學(xué)·力學(xué)（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：270-305.