利用函數(shù)知識(shí)巧解探索規(guī)律問題

邢培玲

【摘要】規(guī)律探究問題也是歸納猜想型問題，此題型一直是讓學(xué)生比較頭痛的一類題型。解決這類問題要求學(xué)生具有一定的觀察、歸納、比較、猜想、論證等能力，從函數(shù)的角度去研究可能會(huì)使問題更容易解決。

【關(guān)鍵詞】規(guī)律探究；函數(shù)

規(guī)律探究問題也是歸納猜想型問題，解決這類問題要求學(xué)生具有一定的觀察、歸納、比較、猜想、論證等能力。此題型一直是讓學(xué)生比較頭痛的一類題型。但如果從函數(shù)的角度來研究，可能會(huì)使問題更容易解決，求解的步驟可以歸納為：①確定自變量和因變量，并列出表格填上這些變量的對應(yīng)值。②通過對應(yīng)值發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系，試列出函數(shù)解析式，或者在坐標(biāo)系畫出函數(shù)圖像(散點(diǎn)圖)，猜想是什么類型的函數(shù)，并用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式。③驗(yàn)證并化簡得到的函數(shù)解析式，得到規(guī)律。

一、當(dāng)相鄰兩數(shù)的差為一定值時(shí)，考慮用一次函數(shù)

例1、如圖所示：每張長桌單獨(dú)擺放可坐6人(如圖1)，并排擺放兩張長桌可坐10人（如圖2）,若按這種方式擺放3張長桌可坐14人（如圖3），按這種方式擺放n張長桌可坐( )人 。

圖1圖2 圖3

解析：（1）由題意可知：每個(gè)圖中的人數(shù)隨著圖形的序號(hào)的變化而變化，可以推測圖形序號(hào)為自變量，人數(shù)為因變量。列表：

圖形編號(hào)n 1 2 3 …

人數(shù)個(gè)數(shù)S 6 10 14 …

（2）由表可知相鄰兩個(gè)圖形人數(shù)的差為定值4，由此可設(shè)s＝kn＋b，把n=1, s=6; n=2, s=10 代入, { k＋b＝6 得 {k=4

2k＋b＝10b=2

所以函數(shù)解析式為：s＝4n+2

（3）驗(yàn)證：將n＝3，s＝14代入，解析式成立。

即按這種方式擺放n張長桌可坐 (4n+2)個(gè)人

二、當(dāng)相鄰兩數(shù)的差為一組連續(xù)自然數(shù)、連續(xù)奇數(shù)、連續(xù)偶數(shù)等組連續(xù)有規(guī)律的數(shù)時(shí)，考慮用二次函數(shù)

例2、圖1是棱長為1的小正方體，圖2、圖3由這樣的小正方體擺放而成．按照這樣的方法繼續(xù)擺放，由上而下分別叫第一層、第二層、…、第n層，第n層的小正方體的個(gè)數(shù)S為（）。

解析：（1）由題意可知：小正方體的個(gè)數(shù)隨層數(shù)的變化而變化，圖形的層數(shù)n為自變量，小正方體的個(gè)數(shù)S為因變量，列表得

圖形的層數(shù)n 1 2 3 4 …

小正方體的個(gè)數(shù)S 1 3 6 10 …

（2）由表可知；層數(shù)n依次增加時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)S相鄰兩數(shù)的差為一組連續(xù)自然數(shù)，故可考慮用二次函數(shù)。

由此可設(shè)s＝an2＋bn+c，把n=1, s=1; n=2, s=3; n=3, s=6;

a+b+c=1 a= 1-2

代入 {4a＋2b+c=3解得{b= 1-2

9a＋3b+c=6 c= 0

所以s＝ 1-2 n2＋ 1-2 n

（3）驗(yàn)證：當(dāng)n＝4時(shí)，s＝10代入，解析式成立。

即第n層的小正方體的個(gè)數(shù)為（ 1-2 n2+ 1-2 n）個(gè)。

三、當(dāng)自變量與因變量的積為一常數(shù)時(shí)，考慮用反比例函數(shù)

例3、資料顯示,近視眼鏡的度數(shù)Y(度)與鏡片焦距X(米)的關(guān)系如下表所示：

鏡片焦距X(米) 1 0.5 1- 3 0.25 …

眼鏡度數(shù)Y(度) 100 200 300 400 …

這張表是怎樣刻畫近視眼鏡的度數(shù)Y(度)與鏡片焦距X(米)之間的變化規(guī)律的，用一個(gè)表達(dá)式表示出來是（）

解析：（1）由表可知眼鏡度數(shù)隨著鏡片焦距的變化而變化，鏡片焦距X為自變量，近視眼鏡的度數(shù)Y為因變量，且自變量與因變量乘積為一個(gè)常數(shù)100，所以可以考慮用反比例函數(shù)。

由此可設(shè)y= K-x , 把x=1,y=100 代入，得： k=100,

所以解析式為：y= 100-x

（2）驗(yàn)證：當(dāng)x＝0.5，y＝200時(shí)代入成立,其它值代入也成立。

所以，表達(dá)式為y= 100-x

對于探究數(shù)形結(jié)合規(guī)律的題目，如果從函數(shù)的角度來考慮，往往使問題更容易解決。