歐拉運(yùn)動學(xué)方程的另一種推導(dǎo)方法

李文略

（湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

歐拉運(yùn)動學(xué)方程的推導(dǎo)，關(guān)鍵是確定本體坐標(biāo)系相對于空間坐標(biāo)系的方位，也就是這兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.傳統(tǒng)的推導(dǎo)方法是通過尋找并確定方向余弦矩陣來確定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而推導(dǎo)出歐拉運(yùn)動學(xué)方程的［1－3］.筆者分別以“歐拉運(yùn)動學(xué)方程”為篇名和關(guān)鍵詞在知網(wǎng)搜索了國內(nèi)近三十年的文獻(xiàn)，除了文獻(xiàn)［4］用向量回轉(zhuǎn)法推導(dǎo)出歐拉運(yùn)動學(xué)方程之外，沒有發(fā)現(xiàn)有用其他方法推導(dǎo)該方程的了.文獻(xiàn)［5］定義了方位矢量和轉(zhuǎn)換張量，并用轉(zhuǎn)換張量表示新舊坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系.受此啟發(fā)，筆者將應(yīng)用轉(zhuǎn)換張量確定坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而推導(dǎo)出歐拉運(yùn)動學(xué)方程.

1 用轉(zhuǎn)換張量表示新舊坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

設(shè)坐標(biāo)系χi為舊坐標(biāo)系，坐標(biāo)系χj為新坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)相同.根據(jù)歐拉轉(zhuǎn)動定理，新坐標(biāo)系χj的方位可以由舊坐標(biāo)系繞過原點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動一個有限的角度λ而得到.設(shè)單位矢量u與轉(zhuǎn)軸的方向相一致，可定義矢量λ（）u為坐標(biāo)系χj的方位矢量.規(guī)定λ的正負(fù)與矢量u之間構(gòu)成右手關(guān)系，λ與u為方位矢量λ（）u的兩個參數(shù).

文獻(xiàn)［5］基于歐拉轉(zhuǎn)動定理以及方位矢量的定義，定義了轉(zhuǎn)換張量

式中：I為二階單位張量，u＾是用矢量u構(gòu)造的升張量.并推導(dǎo)出了用轉(zhuǎn)換張量Λi，j描述新舊坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，為

式中：ΛTi，j是轉(zhuǎn)換張量Λi，j的轉(zhuǎn)置張量.文中用＊號表示點(diǎn)乘.

為了下文推導(dǎo)的簡潔，將轉(zhuǎn)換張量的定義式（1）用張量的解析形式寫出上式中的矩陣為轉(zhuǎn)換張量在坐標(biāo)系χj中的伴隨矩陣.矩陣中元素的上標(biāo)“j”指明單位矢量u所在的坐標(biāo)系，下標(biāo)指明單位矢量u在所在坐標(biāo)系下的分量.例如u（j）x表示的是單位矢量u在坐標(biāo)系χj中x軸的分量.

2 歐拉運(yùn)動學(xué)方程的推導(dǎo)

設(shè)作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的固定點(diǎn)為O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)建立兩個坐標(biāo)系：一個固定在空間的坐標(biāo)系，稱為空間坐標(biāo)系χg（O－XYZ）；一個是固定在剛體上的坐標(biāo)系，稱為本體坐標(biāo)系χb（O－xyz）.初始時空間坐標(biāo)系χg與本體坐標(biāo)系χb重合，剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的方位可以用本體坐標(biāo)系χb相對空間坐標(biāo)系χg的取向來表明.根據(jù)歐拉轉(zhuǎn)動定理，本體坐標(biāo)系χb的方位可以通過空間坐標(biāo)系χg按下面三個次序的連續(xù)轉(zhuǎn)動來獲得（圖1）.轉(zhuǎn)動的次序可用以下方式表示空間坐標(biāo)系χg繞OZ軸旋轉(zhuǎn)ψ角到達(dá)坐標(biāo)系χ1（O－x1y1z1）的位置，再繞x1軸轉(zhuǎn)動θ角至坐標(biāo)系χ2（O－x2y2z2）的位置，最后繞z2軸轉(zhuǎn)動φ角到達(dá)本體坐標(biāo)系χb（O－xyz）的位置.三個角度坐標(biāo)：ψ為進(jìn)動角，θ為章動角，φ為自轉(zhuǎn)角，統(tǒng)稱為歐拉角.要唯一確定剛體的方位，歐拉角的取值范圍為：0≤ψ＜2π，0≤θ≤π，0≤φ＜2π.

圖1 空間坐標(biāo)系的三次繞軸轉(zhuǎn)動（y1，y2軸未畫出）

根據(jù)方位矢量的定義，可知坐標(biāo)系χ1相對于空間坐標(biāo)系χg的方位矢量為（ψu(yù)1）.單位矢量u1在坐標(biāo)系χ1中三個分量為：u（1）x＝0，u（1）y＝0，＝1.代入式（3）中，可得空間坐標(biāo)系χ 與坐標(biāo)g系χ1之間的轉(zhuǎn)換張量為

坐標(biāo)系χ2相對于坐標(biāo)系χ1的方位矢量為（θu2）.單位矢量u2在坐標(biāo)系χ2中三個分量為：.代入式（3）中，可得坐標(biāo)系χ1與坐標(biāo)系χ2之間的轉(zhuǎn)換張量為

坐標(biāo)系χb相對于坐標(biāo)系χ2的方位矢量為（φu3）.單位矢量u3在坐標(biāo)系χb中三個分量為：.代入式（3）中，可得坐標(biāo)系χ2與本體坐標(biāo)系χb之間的轉(zhuǎn)換張量為

由式（2）中的第一個等式，可得空間坐標(biāo)系χg與本體坐標(biāo)系χb的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

由式（7），可知空間坐標(biāo)系χg與本體坐標(biāo)系χb之間的轉(zhuǎn)換矩陣為

空間坐標(biāo)系χg和本體坐標(biāo)系χb用單位基矢量的矩陣形式寫出

將式（8）、式（9）代入式（7）中，并進(jìn)行一般的矩陣運(yùn)算，可以得到空間坐標(biāo)系與本體坐標(biāo)系坐標(biāo)系單位基矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

現(xiàn)在尋找單位矢量u2在本體坐標(biāo)系χb中的解析表示.單位矢量u2在坐標(biāo)系χ2和本體坐標(biāo)系χb中的解析表達(dá)式滿足下面的關(guān)系

式中u′x、u′y、u′z分別表示單位矢量u2在本體坐標(biāo)系χb中三個對應(yīng)坐標(biāo)軸上的分量是坐標(biāo)系χ2與本體坐標(biāo)系χb之間轉(zhuǎn)換關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.

由式（12）可解出

將式（13）代入式（11）中取第二個等號關(guān)系，可得到單位矢量u2在本體坐標(biāo)系χb中的解析表達(dá)式為

剛體在空間中作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度ω可用歐拉角表示出來.剛體三次繞軸轉(zhuǎn)動的角速度分別為、θ、.根據(jù)角速度的矢量合成法則，剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度為

由圖1可知：u1＝k，u3＝k′.將這兩個關(guān)系、式（10）的第三個等式和式（14）代入式（15）中，整理得到角速度ω為

上式改寫為角速度ω在本體坐標(biāo)系χb中的分量式

角速度ω在空間坐標(biāo)系χg和本體坐標(biāo)系χb中用矢量的解析形式寫出

將式（8）、式（17）代入式（18）中，得到

對式（19）進(jìn)行一般的矩陣運(yùn)算，整理可得

式（20）即為角速度ω在空間坐標(biāo)系χg中分量式，即為在空間坐標(biāo)系χg中的歐拉運(yùn)動學(xué)方程.至此，剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的歐拉運(yùn)動學(xué)方程已推導(dǎo)完畢.

3 結(jié)語

確定方位矢量的兩個參數(shù)，由式（3）即能確定空間坐標(biāo)系和本體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換張量，從而能確定這兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這是推導(dǎo)歐拉運(yùn)動學(xué)方程的關(guān)鍵.根據(jù)歐拉定理，剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動后的方位，可以通過剛體三次連續(xù)定軸轉(zhuǎn)動來確定.依據(jù)方位矢量和轉(zhuǎn)換張量的定義，通過確定三次定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)軸即能確定空間坐標(biāo)系和本體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而推導(dǎo)出歐拉運(yùn)動學(xué)方程，這要比用傳統(tǒng)的方法形象直觀.

［1］ 李俊峰，張雄.理論力學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2010：46－48.

［2］ 沈惠川，李書民.經(jīng)典力學(xué)［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006：38－41.

［3］ 吳大猷.古典動力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1983：58－59.

［4］ 堯國慶，邱聲書.推導(dǎo)歐拉運(yùn)動學(xué)方程的向量回轉(zhuǎn)法［J］.大學(xué)物理，1985（7）：12.

［5］ 李洲圣，唐長紅.三位空間張量分析的矩陣方法［M］.北京：航空工業(yè)出版社，2010：32－34.