經典相空間與希爾伯特空間對比淺析

王杰芳 李玉曉 賈 瑜 趙維娟 胡 行 楊德林 梁二軍

（鄭州大學物理工程學院，河南 鄭州 450001）

最早接觸到相（Phase）這個詞，應該是在做簡諧振動物體的運動方程中。相位(ωt+)φ描述了做簡諧振動物體的運動狀態(tài)，初相φ描述了做簡諧振動物體的初始運動狀態(tài)。同相和反相是說兩個做簡諧振動物體的步調相同或相反。顧名思義，相空間（Phase Space）是描述運動狀態(tài)的空間。經典質點的運動狀態(tài)由坐標和動量(r,p)共同決定；而微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描述，任何時刻微觀粒子的位置和動量都不能同時精確測量，二者滿足不確定原理。這就決定了描述經典質點運動狀態(tài)的相空間（經典相空間）與描述微觀粒子運動狀態(tài)的相空間（希爾伯特空間）一定是截然不同的兩個相空間。

我們知道，量子力學有3種等價表述形式，分別是：薛定諤的波動力學表述[1-3]、海森堡的矩陣力學表述[2,3]和費曼的路徑積分形式[4]。此外，還有一種量子相空間理論，這個理論憑借其自身的優(yōu)勢，也被作為一種表述形式在統(tǒng)計物理、量子光學和非線性物理等科學領域有著廣泛的應用[5,6]。這個所謂的量子相空間理論表述，指的是把量子力學算符以一定的規(guī)則（例如Weyl對應規(guī)則）對應到 q-p 相空間經典的坐標-動量函數(shù)，導出量子態(tài)的 Wigner 函數(shù)，建立相似于薛定諤波動方程的Wigner函數(shù)的時間演化方程，建立經典力學與量子力學之間的對應關系。這個量子力學的量子相空間理論適合具有一定的經典力學和量子力學理論基礎的讀者進一步學習和應用參考，對于初學量子物理的學生或讀者來說有一定難度。本文著重基本概念和基本物理思想的理解，從經典相空間通過類比過渡到量子的希爾伯特空間，目的是能幫助我們更容易、更深刻地理解波函數(shù)所處的希爾伯特空間。

1 描述經典質點運動狀態(tài)的空間——經典相空間

用笛卡兒直角坐標系能夠完全描述某時刻經典質點的確切位置 r( x,y,z)，但不能完全描述某時刻經典質點的運動狀態(tài)。某時刻經典質點的運動狀態(tài)由該時刻質點的坐標和動量(r,p)共同描述。為了能夠完全描述經典質點的力學運動狀態(tài)，由質點的坐標變量和動量變量作為坐標軸而構成的空間，稱為經典相空間。某時刻質點的運動狀態(tài)一定是相空間中的一點，稱為相點。當質點的運動狀態(tài)隨時間改變時，代表運動狀態(tài)的相點在相空間移動，會描繪出一條曲線，稱為相軌跡。比如，一個質點在做三維運動，要完全描述質點在任意時刻的運動狀態(tài)，就選擇(x,y,z,px,py,pz)6個變量為坐標軸，構成一個6維相空間。推廣到由N個大量經典質點組成的系統(tǒng)，每個經典質點的自由度是3，那么，由3N個坐標和3N個動量可以完全描述這N個質點組成系統(tǒng)的運動狀態(tài)。由3N個坐標和3N個動量為坐標軸構成了可以完全描述經典系統(tǒng)運動狀態(tài)的相空間，這是一個描述由N個質點組成的經典系統(tǒng)的6N維抽象空間。

一個系統(tǒng)的相空間通常具有極大的維數(shù)，相空間中每一個點代表了包括系統(tǒng)所有細節(jié)的整個物理態(tài)（系統(tǒng)每個粒子的位置坐標和動量坐標）。作為一個巨大維數(shù)的空間，它上面的每個點代表我們考慮的系統(tǒng)全部可能的態(tài)。不管一個系統(tǒng)有多復雜，該系統(tǒng)隨時間的整體演化在相空間中被描述成一個相點沿著哈密頓正則方程所確定的軌道運動[7]。

2 微觀粒子運動狀態(tài)的表示空間——希爾伯特空間（Hilbert Space）

在微觀領域中，微觀粒子的運動狀態(tài)由波函數(shù)描述，故又叫態(tài)函數(shù)。描述微觀粒子運動狀態(tài)的量子相空間將是由所有在特定區(qū)域平方可積的態(tài)函數(shù)組成的復函數(shù)空間，是一個滿足態(tài)疊加原理的線性函數(shù)空間。每一個態(tài)函數(shù)對應一個物理上可實現(xiàn)的客觀存在的微觀粒子的運動狀態(tài)。所謂在特定區(qū)域平方可積的函數(shù)ψ(x)是指滿足下列條件的函數(shù)[8,9]，

其中，積分上下限x1，x2在量子力學中通常是指勢函數(shù)定義區(qū)間的左右邊界坐標，這個區(qū)間可以是某個特定范圍，比如(a,b)，也可以是整個空間（-∞+∞）。這個條件是波函數(shù)可以歸一化所必需的。在這個線性函數(shù)空間中，定義兩個波函數(shù)的內積為

其中，∫dτ是對描述系統(tǒng)的全空間進行積分；dτ是空間體積元；,ψφ代表描述微觀粒子運動狀態(tài)的任意兩個波函數(shù)。這個定義了內積的抽象線性函數(shù)空間，物理學家稱為希爾伯特空間（Hilbert Space）[8]。在柯善哲編著的《量子力學》中也稱為量子態(tài)空間[10]。

把每一個態(tài)函數(shù)ψ作為一個態(tài)矢量。當然，態(tài)矢量并非三維空間中的幾何矢量，而是物理狀態(tài)的抽象描述。全體態(tài)矢構成態(tài)矢空間，內積具有如下性質：

希爾伯特空間是一個完備的內積空間，平方可積函數(shù)的集合只是希爾伯特空間的一個例子，每一個有限維的矢量空間都是一個希爾伯特空間[8,11]。數(shù)學上的n維歐幾里得（Euclidean）空間就是一個定義了內積的實數(shù)域上的有限維向量空間。希爾伯特空間是n維歐氏空間向無窮維的推廣。每一個描述微觀粒子運動狀態(tài)的態(tài)函數(shù)在某確定時刻都是希爾伯特空間中的一點，當態(tài)函數(shù)隨著時間演化時，將在希爾伯特空間描繪出一條曲線。

希爾伯特空間是量子力學的表示空間，很自然線性代數(shù)成為量子力學的描述語言。在線性代數(shù)中，存在于矢量空間的矢量可以通過平移、轉動等操作從而變?yōu)樵摽臻g的另外一個矢量，每一個操作過程相當于對矢量進行的一個線性變換；同樣，在量子力學中，存在于希爾伯特空間中的態(tài)矢量也可以通過平移、轉動等操作而變?yōu)樵摽臻g的另外一個態(tài)矢量，每一個操作過程相當于對態(tài)矢量進行的一個線性變換，每一個線性變換對應一個量子力學中的力學量算符。

力學量算符的本征函數(shù)組可以有有限個、無數(shù)個，或者是連續(xù)的，那么以該力學量算符的本征函數(shù)組作為正交基矢的空間就是有限維、無窮維或連續(xù)維的。所以，希爾伯特空間可以是有限維、無窮維或連續(xù)維的。希爾伯特空間可以把任何一個力學量算符的本征函數(shù)組作為一組基矢，用來組合描述微觀粒子的任何態(tài)矢量，因此態(tài)函數(shù)可以有坐標表象、動量表象或能量表象等。

在非相對論量子力學中，薛定諤(Schrodinger)方程是一個基本方程，在量子力學中其地位相當于牛頓動力學方程在經典力學中的地位。薛定諤方程的形式如下：

希爾伯特空間是量子力學的表示空間，波函數(shù)處于希爾伯特空間中，力學量算符相當于線性變換，作用于波函數(shù)之上，波函數(shù)隨時間的演化遵從薛定諤方程。波函數(shù)和力學量算符是希爾伯特空間中的重要角色，它們是量子力學的兩塊理論基石。

3 結語

無論是經典相空間還是希爾伯特空間，共同點都是描述物體的運動狀態(tài)。但是兩者的不同點是顯著的。本文通過對比的方式重點描述了經典相空間與希爾伯特空間的截然不同，有助于更深刻地理解描述微觀世界的這套理論。它是一套完全不同于經典物理學的全新理論，必須用全新的物理思想和數(shù)學表述工具武裝頭腦，用全新的邏輯思維方式改變自己，才能深刻理解微觀系統(tǒng)的行為。

[1] Feynman R P, Leighton R B, Sands M. The Feynman Lectures on Physics(Volume III)[M]. U.S.A.:Pearson Education, INC., 1989.潘篤武, 李洪芳, 譯. 費恩曼物理學講義(第3卷) [M]. 上海: 上?？茖W技術出版社, 2005.

[2] 周世勛. 量子力學教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

[3] 曾謹言. 量子力學教程[M]. 北京: 科學出版社, 2008.

[4] 曾謹言. 量子力學(卷Ⅱ) [M]. 北京: 科學出版社, 2007.

[5] 呂翠紅. 用IWOP技術和糾纏態(tài)表象發(fā)展量子相空間理論[D]. 合肥: 中國科學技術大學, 2011.

[6] 呂立強, 賈春霞, 隗功民, 等. 量子相空間中微擾理論[J]. 分子科學學報, 2006, 22(4): 231-237.

[7] 汪志誠. 熱力學統(tǒng)計物理[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2008.

[8] David J. Griffiths著. 量子力學概論[M]. 賈瑜, 胡行, 李玉曉,譯. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2009.

[9] 柯善哲, 鞠國興, 王均義, 等. 量子力學朝花夕拾(第二輯)[M]. 北京: 科學出版社, 2007: 48.

[10] 柯善哲, 肖福康, 江興方. 量子力學[M]. 北京: 科學出版社, 2006: 84.

[11] 吳亞敏. 希爾伯特空間H中兩種維數(shù)的比較[J]. 太原師范學院學報(自然科學版), 2013, 12(3): 36-37.