弱數(shù)學(xué)要求的數(shù)字圖像處理教學(xué)

張慶豐

［摘要］數(shù)字圖像處理是一門重要的專業(yè)課程，該課程涉及較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，如何面向數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足的學(xué)生教好這門課是一個(gè)重要的問(wèn)題。作者提出適當(dāng)減少教學(xué)中使用的數(shù)學(xué)、使用課堂定制的演示軟件、增強(qiáng)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)環(huán)節(jié)的教學(xué)等措施，來(lái)提高數(shù)字圖像處理課程的教學(xué)效果。實(shí)踐表明這些措施確實(shí)有效。

［關(guān)鍵詞］教學(xué)方法數(shù)字圖像處理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)項(xiàng)目教學(xué)

［中圖分類號(hào)］G642.423［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2014）02-0075-03

數(shù)字圖像處理課程是一門重要的計(jì)算機(jī)專業(yè)選修課，和數(shù)學(xué)的聯(lián)系非常緊密，要求也比較高，從傳統(tǒng)的教材中就可以看到這一點(diǎn)。但是選修該課程的學(xué)生很多，有相當(dāng)一部分學(xué)生來(lái)自于非計(jì)算機(jī)專業(yè)。另外作者所在學(xué)校有不少的外招生，他們對(duì)這個(gè)課程也比較感興趣，愿意選修。從整體看，一班學(xué)生中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠好的人數(shù)超過(guò)一半。

課程之初的調(diào)查還發(fā)現(xiàn)七成以上的學(xué)生不愿意涉及深入的數(shù)學(xué)公式，同時(shí)，多數(shù)學(xué)生愿意在這個(gè)課程中學(xué)習(xí)關(guān)于圖像處理的程序開(kāi)發(fā)技術(shù)。基于這樣的基礎(chǔ)背景和興趣取向，作者在該課程的教學(xué)中除了采用一些常規(guī)教學(xué)方法之外，還注意了以下三個(gè)方面的工作：第一，課程中減少數(shù)學(xué)的使用，盡量不用高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)來(lái)解釋數(shù)字圖像處理中的問(wèn)題。第二，在教學(xué)中定制開(kāi)發(fā)了一些演示軟件，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)算法的理解和感性認(rèn)識(shí)。第三，增強(qiáng)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)環(huán)節(jié)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力。

下面詳細(xì)談?wù)勅绾卧谶@三個(gè)方面加強(qiáng)教學(xué)引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

一、課程中盡量減少?gòu)?fù)雜數(shù)學(xué)公式的使用

眾所周知，數(shù)字圖像處理和數(shù)學(xué)關(guān)系密切，需要用到不少高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。如果將涉及深入數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容全部刪減，則大大減少了數(shù)字圖像處理課程的內(nèi)容，降低了課程的專業(yè)價(jià)值。如何使用較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)講授課程，同時(shí)保持課程的專業(yè)價(jià)值，這是一個(gè)需要認(rèn)真考慮的問(wèn)題。

首先，要對(duì)講授的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行認(rèn)真規(guī)劃，原則是減少數(shù)學(xué)知識(shí)的使用，同時(shí)也讓同學(xué)領(lǐng)略數(shù)字圖像處理的專業(yè)含義。規(guī)劃后的主要教學(xué)內(nèi)容包括：數(shù)字圖像處理中的一些基本概念、灰度變換、圖像的頻域變換、空域?yàn)V波、頻域?yàn)V波、腐蝕與膨脹、圖像恢復(fù)、圖像編碼、邊緣檢測(cè)、色彩表達(dá)等知識(shí)點(diǎn)。應(yīng)該說(shuō)上面的內(nèi)容和一般的數(shù)字圖像處理課程內(nèi)容并無(wú)很大的不同。主要的不同在于減少了一些需要較多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)容，如：KL變換、小波變換、維納濾波的原理、信息熵的原理等內(nèi)容。一般來(lái)說(shuō)，這些內(nèi)容的數(shù)學(xué)推導(dǎo)是困難的，因此，課程進(jìn)行了削減。但是對(duì)于傅里葉變換、離散余弦變換、逆濾波、Hough變換、算術(shù)編碼等內(nèi)容，還是保留了下來(lái)，這些內(nèi)容雖然數(shù)學(xué)偏難，但是專業(yè)意味濃厚，因此，需要講授。

其次，則是很重要的一點(diǎn)：在教學(xué)中減少高深數(shù)學(xué)知識(shí)的使用，用簡(jiǎn)單直觀的方法來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)算式的原因和含義。下面以傅里葉變換和邊緣檢測(cè)為例子來(lái)說(shuō)明如何減少數(shù)學(xué)知識(shí)的使用。

（一）利用少量的數(shù)學(xué)來(lái)解釋傅里葉變換

在數(shù)字圖像處理中，傅里葉變換是數(shù)學(xué)公式較多，學(xué)起來(lái)最難的內(nèi)容之一。考慮到傅里葉變換的重要性，課程必須講解。針對(duì)此內(nèi)容，作者按照下面的教學(xué)順序來(lái)進(jìn)行。

1.簡(jiǎn)單的傅里葉變換的背景知識(shí)介紹，以引起學(xué)生的興趣。傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家（1768-1830）,他對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，應(yīng)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)有爭(zhēng)議的說(shuō)法：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)論文審查者中有兩位著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日（1736-1813）和拉普拉斯（1749-1827），當(dāng)拉普拉斯和其他審查者投票通過(guò)，并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，他認(rèn)為傅里葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。

2.寫(xiě)出一維傅里葉級(jí)數(shù)。即明確告訴學(xué)生，任何周期函數(shù)可以被一系列三角函數(shù)表達(dá)出來(lái)，給出相關(guān)公式，并給出一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

3.這個(gè)思想被直接擴(kuò)展到兩維。也就是說(shuō)，一個(gè)圖像可以被認(rèn)為是一個(gè)二維函數(shù)，它應(yīng)該可以用一系列褶皺函數(shù)來(lái)表達(dá)出來(lái)，例如類似圖1的一系列褶皺函數(shù)。

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圖1一個(gè)二維褶皺函數(shù)的例子

4.每個(gè)褶皺函數(shù)可以用三個(gè)參數(shù)來(lái)定義：每個(gè)褶皺水平方向的距離、垂直方向的距離以及褶皺的高度。

5.如果規(guī)定每個(gè)皺褶之間的水平距離和垂直距離是1/i和1/j。也就是說(shuō)褶皺隨著i和j的變化而變化，i、j越大，褶皺越窄。這樣褶皺的類型和數(shù)目都是固定的，只要給出這些褶皺的高度，就完全固定了這些褶皺。

6.所有這些褶皺疊加在一起可以逼近一個(gè)真實(shí)的圖像的灰度，當(dāng)然疊加褶皺的參數(shù)應(yīng)適當(dāng)?shù)亟o出。

通過(guò)這種類比，我們直接給出圖像的傅里葉變換表達(dá)，以及逆變換的表達(dá)式。

上面的講解，沒(méi)有從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明或者說(shuō)明傅里葉變換，但是形象地給出了傅里葉變換的一種解釋。這種解釋學(xué)生容易接受、理解，同時(shí)沒(méi)有大的偏差。避開(kāi)了繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。

當(dāng)然對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的同學(xué)，我們也給出了詳盡的資料，讓同學(xué)們課下研讀。

（二）邊緣檢測(cè)中用直觀替代數(shù)學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新思考

在邊緣檢測(cè)中少不了要用到一階偏微分、二階偏微分這樣的表達(dá)，并以此來(lái)講授像素點(diǎn)和邊緣關(guān)系的判斷，有些學(xué)生覺(jué)得不直觀。在講課中，作者直接用直觀的例子來(lái)講述如何判斷邊緣的像素點(diǎn)，避開(kāi)了數(shù)學(xué)表達(dá)。

圖2介紹邊緣檢測(cè)方法的例子。（a）表達(dá)了某一行圖像在x方向的灰度變化情況，（b）反映了像素灰度在該方向的一階差分值，（c）表達(dá)了像素灰度在該方向的二階差分值。

為了介紹邊緣檢測(cè)的方法是怎么樣的，作者使用了如圖2所示的例子。如圖2（a）所示，某一行圖像在x方向的一些像素點(diǎn)，它們的灰度分別是30、30、30、30、30、30、120、210、210、210、210。作者利用這張圖首先給學(xué)生介紹了差分的概念，其計(jì)算非常簡(jiǎn)單，就是像素灰度之間的差值。

這樣對(duì)每個(gè)像素點(diǎn)在x方向做一階差分，就可以得到0、0、0、0、0、90、90、0、0、0、0，即如圖2（b）所示。然后在此基礎(chǔ)之上，再做一階差分，可以得到各個(gè)像素的二階差分值為：0、0、0、0、90、0、90、0、0、0，即如圖2（c）所示。

從圖2（b）中可以看邊緣處的像素在一階差分處取極值。在非邊緣處趨向于0。因此，可以直觀得到一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論：一階差分為極值的像素點(diǎn)就是邊緣的點(diǎn)，或者接近邊緣的點(diǎn)。

從圖2（c）中也可以看出圈起來(lái)的圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是邊緣像素。因此，直觀得到結(jié)果，二階差分的零點(diǎn)就是圖像的邊緣，同時(shí)兩邊的像素的差分符號(hào)有改變。

利用上面的圖2（b）和圖2（c）很容易理解如何通過(guò)一階差分或者二階差分來(lái)判斷邊界像素。

實(shí)際計(jì)算中可能是兩方面的差分都要進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算一般使用線性濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，由此可以給學(xué)生引出梯度算子的濾波模板。

事實(shí)上，在這里還可以讓學(xué)生注意觀察圖2（b），引導(dǎo)學(xué)生得出一階差分能起到增強(qiáng)邊緣顯示的效應(yīng)，而其它區(qū)域的圖像像素的一階差分趨向于0，這些像素被弱化。

基于這個(gè)結(jié)論，可以讓學(xué)生進(jìn)一步討論，能否利用這種特點(diǎn)對(duì)圖像進(jìn)行灰度增強(qiáng)處理？該如何做才合適？

學(xué)生比較容易想到將邊緣增強(qiáng)的效果疊加到原圖上就有可能在原圖效果的基礎(chǔ)上突出邊緣顯示。經(jīng)過(guò)討論和完善，可以得到下面的圖像增強(qiáng)方法。如果原圖是F，邊緣圖是E，那么增強(qiáng)的圖則為：F+E/k。其中k是標(biāo)量系數(shù)，適當(dāng)選取則可以增強(qiáng)圖像效果。

通過(guò)上面的例子，一方面直觀介紹邊緣像素的檢測(cè)方法，還啟發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步思考圖像增強(qiáng)的方法。

二、借助定制軟件增強(qiáng)學(xué)生理論的掌握

在數(shù)字圖像處理的教學(xué)中，通過(guò)定制的教學(xué)軟件能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論的把握和處理效果的理解。這一點(diǎn)為不少教師認(rèn)同。本課程教學(xué)中作者也開(kāi)發(fā)了一些定制軟件來(lái)動(dòng)態(tài)地展示圖像處理的效果。

以頻域?yàn)V波為例，課堂上使用了如圖3所示的一個(gè)演示軟件。這個(gè)軟件演示幾種主要的低通濾波、高通濾波和帶通濾波的圖像處理效果。這種演示軟件相比于靜態(tài)圖像展示更有利于學(xué)生的直觀體驗(yàn)和動(dòng)態(tài)對(duì)比處理效果。

比如：在講巴特沃斯帶通濾波的時(shí)候，學(xué)生可以任意選擇要處理的圖像，然后拖動(dòng)圖3中的滑動(dòng)條來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整帶通濾波的上下截止頻率以及巴特沃斯濾波的階數(shù)，處理后的圖像也同時(shí)跟隨變化，動(dòng)態(tài)顯示出來(lái)。這樣學(xué)生對(duì)參數(shù)如何影響處理結(jié)果就有了動(dòng)態(tài)的對(duì)比和感受。這一點(diǎn)是靜止圖像的展示所無(wú)法達(dá)到的，這也是定制軟件演示所具有的優(yōu)勢(shì)。另外需要說(shuō)明的是，因?yàn)槎ㄖ栖浖抢肕atlab開(kāi)發(fā)的，所以其過(guò)程并不很復(fù)雜，相對(duì)容易。

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圖3 頻域?yàn)V波算法的演示軟件

該軟件提供了各種常用頻域?yàn)V波的效果演示，同時(shí)對(duì)各算法的參數(shù)可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，及時(shí)顯示調(diào)整的效果。給學(xué)生帶來(lái)動(dòng)態(tài)對(duì)比的效果體驗(yàn)。

三、增加項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的教學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)字圖像處理課程是一個(gè)實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，不少教師對(duì)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)在教學(xué)中的使用進(jìn)行了有益的探索。本課程中也引入了項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在Matlab環(huán)境中對(duì)給定的項(xiàng)目進(jìn)行了開(kāi)發(fā)。在整個(gè)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施中，除了常見(jiàn)的措施外，我們還注意了以下兩點(diǎn)：

（一）項(xiàng)目題目的精選和設(shè)計(jì)

首先，項(xiàng)目的設(shè)計(jì)要有綜合性，能覆蓋大多數(shù)的教學(xué)內(nèi)容；其次，項(xiàng)目不能太多，否則學(xué)生時(shí)間不足。因此，在整個(gè)學(xué)期中只設(shè)計(jì)了了兩個(gè)項(xiàng)目讓學(xué)生來(lái)完成。一個(gè)是車牌識(shí)別系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)，一個(gè)是圖像壓縮系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)。之所以使用這兩個(gè)項(xiàng)目由同學(xué)來(lái)練習(xí)，是因?yàn)檫@兩個(gè)項(xiàng)目基本覆蓋了圖像處理課程中的所有技術(shù)，同時(shí)它們的規(guī)模適中，學(xué)生可以不用太多的時(shí)間完成。

（二）加強(qiáng)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)中的檢查和督促

傳統(tǒng)的小組項(xiàng)目開(kāi)發(fā)模式有許多優(yōu)點(diǎn)，但是也存在一個(gè)問(wèn)題：部分同學(xué)不積極參與，工作由小組內(nèi)他人代勞。為了調(diào)動(dòng)同學(xué)積極性，對(duì)每個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行一次課堂上的書(shū)面考查，這種考查非常簡(jiǎn)短，只要20分鐘?？疾閮?nèi)容主要包括項(xiàng)目計(jì)劃、進(jìn)展情況、相關(guān)技術(shù)、完成情況、個(gè)人所發(fā)揮的作用等。這種考查可以督促每個(gè)同學(xué)在項(xiàng)目中發(fā)揮作用。

以上兩個(gè)方面的細(xì)致處理，增強(qiáng)了項(xiàng)目開(kāi)發(fā)教學(xué)環(huán)節(jié)的效能，促進(jìn)了學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)，收到了良好的效果。

四、總結(jié)

數(shù)字圖像處理是一門數(shù)學(xué)要求較高，實(shí)踐要求較強(qiáng)的課程，面對(duì)弱數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生，數(shù)學(xué)上需要降低難度，編程上需要著重鍛煉。作者在教學(xué)中采用了用直觀替代數(shù)學(xué)，用動(dòng)態(tài)演示增強(qiáng)直觀體驗(yàn)，用項(xiàng)目開(kāi)發(fā)引領(lǐng)學(xué)生編程實(shí)踐的培養(yǎng)等措施，這些方法和措施的使用確實(shí)為弱基礎(chǔ)的同學(xué)帶來(lái)較好的教學(xué)效果。我們采用這些措施已有四年的歷史，教學(xué)實(shí)踐表明，這種措施是合理有效的，增強(qiáng)了同學(xué)們的興趣和信心，提高了同學(xué)的圖像處理編程能力，同時(shí)較好地掌握了圖像處理知識(shí)。

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［責(zé)任編輯：左蕓］