基于工程橢球的地方坐標(biāo)系坐標(biāo)換算模型比較分析

王國祥

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

基于工程橢球的地方坐標(biāo)系坐標(biāo)換算模型比較分析

王國祥

(中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031)

精密工程測(cè)量中，為了減小投影變形，一般將國家坐標(biāo)系下的成果轉(zhuǎn)化到具有任意抵償面和任意中央子午線的地方坐標(biāo)系中。依據(jù)參考橢球的構(gòu)造原理，在對(duì)目前常用轉(zhuǎn)化計(jì)算方法分析比較的基礎(chǔ)上，通過選取不同的參數(shù)和變換模型構(gòu)造出9種不同的任意中央子午線任意投影面之間坐標(biāo)計(jì)算方法，并分析每個(gè)模型的特性及適用情況，編制了CREEC GPS數(shù)據(jù)處理軟件，并用工程實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算與比較。

抵償面 中央子午線 國家坐標(biāo)系 地方坐標(biāo)系 工程橢球

1 概述

國家高斯坐標(biāo)系采用的投影面為參考橢球面，而工程控制網(wǎng)采用的投影面為測(cè)區(qū)某一高程面(抵償面)。由于參考橢球面和工程控制網(wǎng)投影面不重合，高斯投影中產(chǎn)生長度變形，導(dǎo)致以國家高斯坐標(biāo)系中的坐標(biāo)反算出來的距離與工程控制網(wǎng)對(duì)應(yīng)長度不相等。為了消除長度變形對(duì)工程產(chǎn)生的影響，使高程歸化改正[1]和高斯投影變形之代數(shù)和盡可能小。在工程測(cè)量單位的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，既要求選取特定的中央子午線，用國家坐標(biāo)系已知點(diǎn)約束工程控制網(wǎng)，又要求投影面選用某一高程面。因此，計(jì)算時(shí)首先將國家橢球轉(zhuǎn)化為具有任意抵償面的工程橢球，即構(gòu)建工程橢球；其次是選取特定的中央子午線(測(cè)區(qū)的平均經(jīng)度值)將國家坐標(biāo)系成果轉(zhuǎn)化到地方坐標(biāo)系中，供現(xiàn)場施工使用，即坐標(biāo)投影換帶計(jì)算。針對(duì)這一問題，國內(nèi)外許多學(xué)者都做了比較深入的研究，但由于大家所選用的基準(zhǔn)、參數(shù)、模型都不一樣，從而使得換算出來的坐標(biāo)也不盡相同。首先討論我國常用的3種構(gòu)造工程橢球和3種加抵償高的坐標(biāo)換算(共9種)方法，其次提出每個(gè)計(jì)算模型的特性及適用情況，最后采用CREEC GPS數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

2 構(gòu)造工程橢球

構(gòu)造工程橢球的兩個(gè)原則：①工程橢球的中心與國家參考橢球的中心重合，沒有平移量，且使橢球的扁率保持不變。②國家橢球與地方橢球定向一致，沒有旋轉(zhuǎn)。構(gòu)造工程橢球就是將國家橢球的長半徑增大Δa，使半徑增大后的工程橢球面與實(shí)際地面大致吻合，使得a1=a+Δa。各參數(shù)的關(guān)系如圖1、圖2所示。

圖1 地形面、國家橢球面、大地水準(zhǔn)面和工程橢球面

圖2 大地高和正常高

其中:Bm——測(cè)區(qū)的平均緯度；

a——國家參考橢球的長半軸；

a1——工程橢球的長半軸；

ζ——測(cè)區(qū)平均高程異常；

Hr——投影面的正常高(平均高程面或抵償高程面)；

Hm——投影面大地高。

其中：Hm=Hr+ζ

長半軸改變量Δa的確定如下。

(1)高程直接補(bǔ)償法

將投影面的平均大地高直接加到國家橢球長半軸a，即Δa=Hm，a1=a+Hm。這種構(gòu)造方式適合測(cè)區(qū)的地形比較平坦時(shí)使用。

(2)法線方向增長法

假定長半軸是沿測(cè)區(qū)地面點(diǎn)的法線方向增加，則根據(jù)卯酉圈曲率半徑N等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，可通過測(cè)區(qū)的N確定；N與參考橢球長半軸a的關(guān)系如下

(1)

由(1)式得

(2)

(3)平均曲率半徑法

通過測(cè)區(qū)的平均曲率半徑確定Δa，國家參考橢球面一點(diǎn)的平均曲率半徑與參考橢球面長半軸a關(guān)系如下

(3)

設(shè)測(cè)區(qū)的平均曲率半徑為R測(cè)=Rm+Hm。由式(3)知，新橢球的長半軸的長度為

(4)

因此

(5)

根據(jù)構(gòu)造出的工程橢球參數(shù)值和選用的中央子午線重新計(jì)算高斯平面坐標(biāo)點(diǎn)的值，不同的Δa換算的結(jié)果也不相同。下面討論3種常用的加抵償高坐標(biāo)換算方法:空間直角坐標(biāo)過渡法、緯度增量法和長半軸補(bǔ)償法。

3 工程橢球下的坐標(biāo)換算

3.1 空間直角坐標(biāo)過渡法

由工程橢球的性質(zhì)可知，不同工程橢球下的空間直角坐標(biāo)系是完全重合的；對(duì)于地面同一點(diǎn)，其在不同工程橢球下算出的空間直角坐標(biāo)完全相同。其計(jì)算過程如下：

(1)以國家參考E為基準(zhǔn)，由國家坐標(biāo)系坐標(biāo)(x,y)，通過高斯坐標(biāo)反算公式計(jì)算出經(jīng)緯度(B,L)。

(2)以國家參考橢球E為基準(zhǔn)，由大地坐標(biāo)(B,L,H)按式(6)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)(X,Y,Z)。有

(6)

(3)以工程橢球E1的參數(shù)為基準(zhǔn)，取a1=a+Δa，由空間直角坐標(biāo)(X,Y,Z)按式(7)計(jì)算出大地坐標(biāo)(B1,L1,H1)，計(jì)算B1要用迭代方法。

(7)

(4)以工程橢球E1的參數(shù)為基準(zhǔn)，取a1=a+Δa，由經(jīng)緯度(B1,L1)，通過高斯投影坐標(biāo)公式計(jì)算出平面直角坐標(biāo)(x1,y1)，即地方坐標(biāo)系坐標(biāo)。

以上實(shí)現(xiàn)了由國家坐標(biāo)系坐標(biāo)通過空間直角坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)了到地方坐標(biāo)系的換算；由地方坐標(biāo)系到國家坐標(biāo)系的換算只要逆向運(yùn)算就可。

在步驟(2)中，計(jì)算空間直角坐標(biāo)(X,Y,Z)時(shí)，必須知道測(cè)點(diǎn)的大地高。但在實(shí)際計(jì)算過程中，可假定換算點(diǎn)的大地高為零(見表1)。選取3個(gè)具有代表性的點(diǎn)，再將這些點(diǎn)從國家坐標(biāo)系換算到大地坐標(biāo)系中，逐一變化大地高，得到不同的結(jié)果(見表2)。

與大地高H=0 m時(shí)求得的坐標(biāo)結(jié)果相比，Y坐標(biāo)沒有發(fā)生變化，而X坐標(biāo)差值最大的點(diǎn)在點(diǎn)1中，H=5 000 m時(shí)相差1.3 mm，H=10 000時(shí)也僅相差2.5 mm。由此可知，采用空間直角坐標(biāo)過渡法，將國家坐標(biāo)系中坐標(biāo)換算到地方坐標(biāo)系坐標(biāo)時(shí)，將換算點(diǎn)的大地高假設(shè)為零，當(dāng)精度滿足要求時(shí)是可行的，也可用點(diǎn)位高程代替大地高。

表1 3個(gè)不同的具有代表性的點(diǎn)

表2 坐標(biāo)隨大地高變化比較表 m

3.2 緯度增量法

地面點(diǎn)在橢球面上的位置，是由一定的元素和定位橢球所規(guī)定的，如果選擇的橢球元素和定位發(fā)生變化，地面點(diǎn)在橢球面上的大地坐標(biāo)必將隨之變化。根據(jù)橢球元素和定位變化推求點(diǎn)的大地經(jīng)緯度和大地高變化的公式，叫大地坐標(biāo)微分公式

(8)

(9)

式中，da、df表示橢球元素(長半徑、扁率)的變化；

dX,dY,dZ表示橢球中心變化，即橢球定位的變化。

由于工程橢球中心與國家參考橢球中心重合，橢球的扁率保持不變，由大地坐標(biāo)微分公式知：測(cè)區(qū)同一點(diǎn)其經(jīng)度不會(huì)發(fā)生變化，僅緯度將隨之發(fā)生改變，隨長半徑而變化的緯度改變量

ΔB=Δa(Ne2sinBcosB)/(aM)=

(10)

緯度增量法的計(jì)算過程如下：

①以國家參考橢球E為基準(zhǔn)，將點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)通過高斯投影反算公式計(jì)算出坐標(biāo)經(jīng)緯度(B,L)。

②計(jì)算出各點(diǎn)在新橢球E1上的緯度B1=B+ΔB。

③用(B1,L)和a1，用高斯投影坐標(biāo)正算公式計(jì)算出高斯平面直角坐標(biāo)(x1,y1)，即地方坐標(biāo)系坐標(biāo)。

3.3 長半軸補(bǔ)償法

對(duì)于地面同一點(diǎn)，假設(shè)換算前后經(jīng)緯度保持不變，因此在計(jì)算時(shí)只改變長半軸a而保持投影后的經(jīng)緯度值不變，通過高斯投影計(jì)算出地方坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x1,y1)。

4 算例分析

根據(jù)任意中央子午線和任意投影面的國家參考橢球長半軸的3種增大方法和坐標(biāo)換算3種方法，編制了CREEC GPS數(shù)據(jù)處理軟件包，并對(duì)某實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，見表3。

為了檢查程序計(jì)算的精度，進(jìn)行逆運(yùn)算，即將地方坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到國家坐標(biāo)系中，并與國家坐標(biāo)系中的已知點(diǎn)值進(jìn)行比較，見表4。

由表3、表4可以得出：

①對(duì)于同一種換算方法，在對(duì)長半軸增量Δa的取值模型不同的情況下，計(jì)算的結(jié)果也不相同。由換算前和換算后的坐標(biāo)較差結(jié)果可以看出，取值模型的不同對(duì)X坐標(biāo)的變化影響較大，而對(duì)Y坐標(biāo)的變化影響較小。如對(duì)空間直角坐標(biāo)過渡法，ΔX相互間的差值較大，最大為424.9 mm;而ΔY相互間的差值較小，最大為20.8 mm。

②對(duì)于不同的換算方法，在對(duì)長半軸增量Δa取值模型相同的情況下，空間直角坐標(biāo)過渡法和緯度增量法計(jì)算出來的結(jié)果相同，而與長半軸補(bǔ)償法計(jì)算出來的結(jié)果不相同。由換算方法的模型可知，對(duì)于地面同一點(diǎn)，在前兩種方法中，該點(diǎn)相對(duì)于不同的工程橢球，其緯度是發(fā)生變化的；而在長半軸補(bǔ)償法中，點(diǎn)緯度是假設(shè)固定不變的。該假設(shè)本身不嚴(yán)格，不符合工程橢球構(gòu)造的原理，故該方法不宜采用。

③在所有的計(jì)算方法中，Δa選取的計(jì)算模型不同，其計(jì)算的結(jié)果也不相同，X坐標(biāo)之間的較差大，而對(duì)Y坐標(biāo)影響小。在不同的計(jì)算方法中選取不同的取值模型，產(chǎn)生的X較差為1.340 m，Y較差為0.034 m。

表3 基于工程橢球的地方坐標(biāo)換算成果 m

表4 正算與逆算比較

④在工程橢球的構(gòu)造方法中，法線方向增長法與平均曲率半徑法都與測(cè)區(qū)的平均緯度Bm有關(guān)，隨著Bm的取值不同，獲得結(jié)果也不相同。因此，在實(shí)際使用時(shí)，應(yīng)注意Bm的取值。

⑤根據(jù)程序正算和逆運(yùn)算的差值可以看出，該程序計(jì)算出的坐標(biāo)值精度可以達(dá)到0.05 mm，完全滿足工程施工需要。

5 結(jié)論

利用工程橢球的設(shè)想，通過不同的模型構(gòu)造出了9種不同的計(jì)算方法，基本上涵蓋了目前各種工程中所采用的換帶換投影面方法，通用性強(qiáng)。在由國家坐標(biāo)系中的坐標(biāo)向地方坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換過程中，所選取的模型方法不同，導(dǎo)致求得的轉(zhuǎn)化坐標(biāo)也不相同。為此，提出如下建議：

(1)實(shí)際工作中，一個(gè)測(cè)區(qū)由不同的施工單位施測(cè)時(shí)，容易產(chǎn)生由于坐標(biāo)不一致而導(dǎo)致施測(cè)邊處出現(xiàn)交叉不吻合的情況；應(yīng)采用相同的坐標(biāo)換算模型，統(tǒng)一處理方案，避免產(chǎn)生標(biāo)段間銜接不平順問題。

(2)在由國家坐標(biāo)系坐標(biāo)到地方坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換過程中，所選取的工程橢球不同、計(jì)算模型方法不同，求得的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)結(jié)果也不相同。選取不同的工程橢球和不同計(jì)算模型方法主要造成X坐標(biāo)方向的差異，對(duì)東西走向的線路產(chǎn)生大的橫向偏差，對(duì)南北走向的線路產(chǎn)生大的縱向偏差，所以東西走向的線路更需要注意工程橢球的構(gòu)建和計(jì)算模型選取方法。

(3)測(cè)區(qū)高程異常值往往不能準(zhǔn)確確定，當(dāng)實(shí)施轉(zhuǎn)換時(shí)，必須注明它的取值。高程異常值一般情況下不能忽略，若確實(shí)無法獲得而忽略不計(jì)時(shí)，要特別給予說明。

(4)構(gòu)造工程橢球的平均曲率半徑法，工程橢球下坐標(biāo)換算的緯度增量法，建議優(yōu)先采用。

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ComparativeAnalysisonCoordinationConversionModelBasedonLocalCoordinateSystemofEngineeringEllipsoid

WANG Guo-xiang

2014-02-27

中鐵二院工程精調(diào)有限責(zé)任公司科研項(xiàng)目07185103(07-07)。

王國祥(1973—)，男，1996年畢業(yè)于西南交通大學(xué)攝影測(cè)量與遙感專業(yè)，高級(jí)工程師。

1672-7479(2014)03-0001-04

P282.2

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