借助幾何直觀教學積累數(shù)學活動經(jīng)驗

王衛(wèi)東+潘淑芬

數(shù)學活動經(jīng)驗是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的核心概念之一。重慶師范大學仲秀英教授認為，數(shù)學活動經(jīng)驗可以理解為學生從經(jīng)歷的數(shù)學活動過程中對活動的感受、體驗、感悟以及由此獲得的數(shù)學知識、技能、情感與觀念等組成的有機組合性經(jīng)驗。其實，就經(jīng)驗本身而言，它就是一種“感受、體驗、感悟”，具有較強的內(nèi)隱性，所以在教學過程中，教師有時難以把握、調(diào)控與評價。為此，教師有必要借助幾何直觀教學，使內(nèi)隱的數(shù)學活動經(jīng)驗得以外顯，進而再根據(jù)這些外顯的“證據(jù)”，對數(shù)學活動經(jīng)驗進行具化、調(diào)控與提升，從而實現(xiàn)數(shù)學活動經(jīng)驗的有效積累。

一、 借助幾何直觀“具化”數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學學習離不開直觀形象思維，而對于積累數(shù)學活動經(jīng)驗的過程來說更是如此。借助幾何直觀教學，我們可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，與此同時，也可以將學生在學習過程中的感受、體驗與感悟變得更具體、更直觀。在數(shù)與形、圖與形的溝通與聯(lián)系中，那些看似虛無飄渺的數(shù)學活動經(jīng)驗慢慢地變得看得見、摸得著了。

教學片段：在教學《倍數(shù)和因數(shù)》時，教師開展了這樣的教學活動：

師：你能找出12的因數(shù)嗎？請在數(shù)軸上表示出來。

師生交流，在數(shù)軸上標出12的因數(shù)。

師：同學們，仔細觀察數(shù)軸?？吹竭@些因數(shù)，你想到了什么？

學生討論后交流：

生1：我發(fā)現(xiàn)12最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是12，也就是它本身。

生2：為了做到不重復不遺漏，我們可以成雙成對地找出12的因數(shù)，比如說1、12；2、6；3、4。

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)成雙成對地找因數(shù)時，每組的兩個因數(shù)越來越接近。

師：同學們，你們認為呢？

……

生4：老師，我有一個問題：是不是所有的數(shù)，它的因數(shù)個數(shù)都是雙數(shù)個呢？

師：你的想法很有價值，那到底對不對呢？

生5：我們不妨再舉些例子來試一試。

……

很難想象，一個數(shù)的因數(shù)能與幾何直觀圖產(chǎn)生什么樣的化學反應，然而，在上述教學環(huán)節(jié)中，教師卻巧妙地借助數(shù)軸這個形象直觀的載體，將學生的數(shù)學活動經(jīng)驗進行了定格與凝結。通過數(shù)軸上點與點之間的關系描述，教師簡單而有效地捕獲到了學生思維成長軌跡：因數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)的特點、因數(shù)的分布特征、尋找因數(shù)的方法、因數(shù)個數(shù)的規(guī)律探究……更為重要的是，借助幾何直觀的“具化”作用，學生在思維的激烈碰撞過程中，從模糊到明晰、從簡單到復雜、從模仿到內(nèi)化，他們慢慢地積累了發(fā)現(xiàn)問題的經(jīng)驗、思考問題的經(jīng)驗以及解決問題的經(jīng)驗。

二、 借助幾何直觀調(diào)控數(shù)學活動經(jīng)驗

積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗的過程也是數(shù)學活動經(jīng)驗的內(nèi)涵之一。一般來說，積累基本數(shù)學經(jīng)驗的過程大致需要經(jīng)過經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移的過程。在這樣的過程中，我們需要借助幾何直觀來發(fā)揮教師的主導作用，適時對積累數(shù)學活動經(jīng)驗的過程加以調(diào)控。

教學片段：在教學《解決問題的策略——轉化》時，教師開展了這樣的教學活動：

師：你會計算■+■+■+■嗎？

生：■+■+■+■=■+■+■+■=■

師：很好，用的是通分的方法，這也是一種轉化的策略。那么還有沒有其他解決的方法呢？

（學生思考）

師：我們一起來觀察下面這幅圖（圖1），它與算式之間有什么聯(lián)系？

（學生討論）

師：現(xiàn)在計算■+■+■+■，你有好的解決方法嗎？

生：我認為可以這樣計算：1-■=■，因為陰影面積=總面積-空白面積。

師：觀察上面的幾種解決問題的方法，你認為哪些轉化策略的運用更為巧妙？為什么？

生：我認為是剛才的這幅圖運用得很巧妙！有了它，我們可以把加法算式轉化成了減法算式。

生：把算式用圖形來表示出來，很直觀，很好理解。

師：既然借助圖形來解決問題有這么好，那它是不是靈丹妙藥，什么時候都能運用呢？

（學生思考、討論）

生：我認為將算式轉化為圖形時，也有一定的局限性。大家看，這里陰影部分的面積之間都有著2倍的關系，也就是說，■是 ■的2倍， ■是■的2倍……

（學生們點頭表示贊同）

師：那是不是相鄰的加數(shù)是2倍關系的時候，我們都可以借助這樣的圖去思考呢？

生：可以，比如說■+■+■+■+■（學生邊說邊畫圖），就可以轉化為1-■=■。

生：我還可以舉個例子：■+■+■+■+■+……■。

師：大家的想法很精彩?？吹较旅娴膱D（圖2），你又有什么想法呢？

（圖2） （圖3）

生：這里的加法雖然不是從■開始加起的，但這里的加數(shù)仍然有著兩倍的關系，我認為可以這樣來轉化：1-■-■=■。

師：想得太好了！對于這樣的圖（圖3），你又有什么新想法呢？

生：老師，我發(fā)現(xiàn)這樣的轉化方法還能用在整數(shù)的加法上，只要這里的加數(shù)存在著兩倍的關系。

生：我想這里的轉化策略不僅適用于整數(shù)、分數(shù)的計算，小數(shù)也可以！

在上面的教學片斷中，教師借助幾何直觀開展了3次教學調(diào)控：在第一次調(diào)控中，教師引導學生將算式■+■+■+■與圖1相聯(lián)系，使學生認識到了這類分數(shù)算式中加數(shù)的特點，積累了數(shù)形結合的思考經(jīng)驗，感悟了“轉化策略也有局限”的探究經(jīng)驗；在第二次調(diào)控中，教師借助圖2，對■+■+■+■進行了變式與拓展，幫助學生積累了分析比較、靈活運用的經(jīng)驗；在第三次調(diào)控中，教師再次借助直觀圖（圖3）引導學生將數(shù)學活動經(jīng)驗進行正向遷移，幫助他們積累猜想驗證、歸納推理的經(jīng)驗。

從圖1、圖2到圖3，在教師的適時調(diào)控之下，學生經(jīng)歷了不同層次的經(jīng)驗積累，從知識經(jīng)驗到技能經(jīng)驗、再到數(shù)學思想方法的經(jīng)驗，他們在質(zhì)疑與反思中完成了自我內(nèi)化與自我建構。endprint

三、 借助幾何直觀提升數(shù)學活動經(jīng)驗

學生需要掌握什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗？是知識的經(jīng)驗、技能的經(jīng)驗，還是關于數(shù)學思想方法的經(jīng)驗？毫無疑問，這些數(shù)學活動經(jīng)驗我們都需要，數(shù)學教學離不開知識，在知識的學習過程中可以培養(yǎng)學生的能力，感悟數(shù)學的思想方法。然而，多年以后，知識可能會遺漏，技能可能會生疏，數(shù)學的思想方法也可能會淡忘，既然如此，那么什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗才是學生受用一生的經(jīng)驗呢？

教學片段：在教學《乘法分配律》時，教師開展了這樣的教學活動：

師：同學之間相互說說什么是乘法分配律。（學生互相交流）

師：大家已經(jīng)知道了乘法分配律，那你還能用更簡單的方法表示出來嗎？（提示：可以用漢字、圖形、字母或者你喜歡的方式來表示。）

學生嘗試用不同的方法表示：

生1：（我+愛）×學=我×學+愛×學；

生2：（△+□）×○=△×○+□×○；

生3：（a+b）×c=a×c +b×c。

師：比較一下，哪種方法最好？為什么？

生4：第三種方法好，因為用字母來表示這個規(guī)律很簡潔。

……

出示：

師：你能用兩種不同的方法表示出這個圖形的面積嗎？

生1：（a+b）×c（教師板書）

生2：a×c +b×c（教師板書）

聯(lián)系這個圖和算式，你想到了什么？

生3：（a+b）×c =a×c +b×c

生4：這就是乘法分配律。

師：對！其實這幅圖中就蘊涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用這幅圖來表示。大家看，同樣是乘法分配律，從不同的角度來審視，卻有著不一樣的精彩。其實，在生活中也是如此，我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！

在上面的教學中，為了闡述乘法分配律，教師設計了三個教學階段：先用語言描述規(guī)律，然后用漢字、圖形、字母符號來表示規(guī)律，最后用求長方形面積的圖形來表示規(guī)律。其中，教師巧妙地借助幾何直觀將乘法分配律與圖形進行了有機結合，實現(xiàn)了乘法分配律表達層次由低級到高級、表達形式由單一到多元的經(jīng)驗積累。與此同時，教師還引導學生從知識的文本中跳出來，引領他們用數(shù)學的眼光來觀察世界、認識世界——“我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！”

數(shù)學是一種智慧。成尚榮認為：數(shù)學教育要“為智慧的生長而教”。因此，數(shù)學活動經(jīng)驗的提升不能禁錮于知識與技能的經(jīng)驗，也不能止步于思想與方法的經(jīng)驗，我們理應給予學生造就智慧人生的經(jīng)驗。在上述的三個教學階段中，教師引導學生跳出了數(shù)學知識的文本經(jīng)驗，跨過了數(shù)學思想方法的經(jīng)驗，感悟了人生智慧的經(jīng)驗。從知識走進方法，從思想走近智慧，借助幾何直觀，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累由此得到了質(zhì)的提升與飛躍。

【責任編輯：陳國慶】endprint

三、 借助幾何直觀提升數(shù)學活動經(jīng)驗

學生需要掌握什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗？是知識的經(jīng)驗、技能的經(jīng)驗，還是關于數(shù)學思想方法的經(jīng)驗？毫無疑問，這些數(shù)學活動經(jīng)驗我們都需要，數(shù)學教學離不開知識，在知識的學習過程中可以培養(yǎng)學生的能力，感悟數(shù)學的思想方法。然而，多年以后，知識可能會遺漏，技能可能會生疏，數(shù)學的思想方法也可能會淡忘，既然如此，那么什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗才是學生受用一生的經(jīng)驗呢？

教學片段：在教學《乘法分配律》時，教師開展了這樣的教學活動：

師：同學之間相互說說什么是乘法分配律。（學生互相交流）

師：大家已經(jīng)知道了乘法分配律，那你還能用更簡單的方法表示出來嗎？（提示：可以用漢字、圖形、字母或者你喜歡的方式來表示。）

學生嘗試用不同的方法表示：

生1：（我+愛）×學=我×學+愛×學；

生2：（△+□）×○=△×○+□×○；

生3：（a+b）×c=a×c +b×c。

師：比較一下，哪種方法最好？為什么？

生4：第三種方法好，因為用字母來表示這個規(guī)律很簡潔。

……

出示：

師：你能用兩種不同的方法表示出這個圖形的面積嗎？

生1：（a+b）×c（教師板書）

生2：a×c +b×c（教師板書）

聯(lián)系這個圖和算式，你想到了什么？

生3：（a+b）×c =a×c +b×c

生4：這就是乘法分配律。

師：對！其實這幅圖中就蘊涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用這幅圖來表示。大家看，同樣是乘法分配律，從不同的角度來審視，卻有著不一樣的精彩。其實，在生活中也是如此，我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！

在上面的教學中，為了闡述乘法分配律，教師設計了三個教學階段：先用語言描述規(guī)律，然后用漢字、圖形、字母符號來表示規(guī)律，最后用求長方形面積的圖形來表示規(guī)律。其中，教師巧妙地借助幾何直觀將乘法分配律與圖形進行了有機結合，實現(xiàn)了乘法分配律表達層次由低級到高級、表達形式由單一到多元的經(jīng)驗積累。與此同時，教師還引導學生從知識的文本中跳出來，引領他們用數(shù)學的眼光來觀察世界、認識世界——“我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！”

數(shù)學是一種智慧。成尚榮認為：數(shù)學教育要“為智慧的生長而教”。因此，數(shù)學活動經(jīng)驗的提升不能禁錮于知識與技能的經(jīng)驗，也不能止步于思想與方法的經(jīng)驗，我們理應給予學生造就智慧人生的經(jīng)驗。在上述的三個教學階段中，教師引導學生跳出了數(shù)學知識的文本經(jīng)驗，跨過了數(shù)學思想方法的經(jīng)驗，感悟了人生智慧的經(jīng)驗。從知識走進方法，從思想走近智慧，借助幾何直觀，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累由此得到了質(zhì)的提升與飛躍。

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三、 借助幾何直觀提升數(shù)學活動經(jīng)驗

學生需要掌握什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗？是知識的經(jīng)驗、技能的經(jīng)驗，還是關于數(shù)學思想方法的經(jīng)驗？毫無疑問，這些數(shù)學活動經(jīng)驗我們都需要，數(shù)學教學離不開知識，在知識的學習過程中可以培養(yǎng)學生的能力，感悟數(shù)學的思想方法。然而，多年以后，知識可能會遺漏，技能可能會生疏，數(shù)學的思想方法也可能會淡忘，既然如此，那么什么樣的數(shù)學活動經(jīng)驗才是學生受用一生的經(jīng)驗呢？

教學片段：在教學《乘法分配律》時，教師開展了這樣的教學活動：

師：同學之間相互說說什么是乘法分配律。（學生互相交流）

師：大家已經(jīng)知道了乘法分配律，那你還能用更簡單的方法表示出來嗎？（提示：可以用漢字、圖形、字母或者你喜歡的方式來表示。）

學生嘗試用不同的方法表示：

生1：（我+愛）×學=我×學+愛×學；

生2：（△+□）×○=△×○+□×○；

生3：（a+b）×c=a×c +b×c。

師：比較一下，哪種方法最好？為什么？

生4：第三種方法好，因為用字母來表示這個規(guī)律很簡潔。

……

出示：

師：你能用兩種不同的方法表示出這個圖形的面積嗎？

生1：（a+b）×c（教師板書）

生2：a×c +b×c（教師板書）

聯(lián)系這個圖和算式，你想到了什么？

生3：（a+b）×c =a×c +b×c

生4：這就是乘法分配律。

師：對！其實這幅圖中就蘊涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用這幅圖來表示。大家看，同樣是乘法分配律，從不同的角度來審視，卻有著不一樣的精彩。其實，在生活中也是如此，我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！

在上面的教學中，為了闡述乘法分配律，教師設計了三個教學階段：先用語言描述規(guī)律，然后用漢字、圖形、字母符號來表示規(guī)律，最后用求長方形面積的圖形來表示規(guī)律。其中，教師巧妙地借助幾何直觀將乘法分配律與圖形進行了有機結合，實現(xiàn)了乘法分配律表達層次由低級到高級、表達形式由單一到多元的經(jīng)驗積累。與此同時，教師還引導學生從知識的文本中跳出來，引領他們用數(shù)學的眼光來觀察世界、認識世界——“我們要學會從不同的角度來分析問題、解決問題，只有這樣，我們的認識才會更全面，思考才會更有價值！”

數(shù)學是一種智慧。成尚榮認為：數(shù)學教育要“為智慧的生長而教”。因此，數(shù)學活動經(jīng)驗的提升不能禁錮于知識與技能的經(jīng)驗，也不能止步于思想與方法的經(jīng)驗，我們理應給予學生造就智慧人生的經(jīng)驗。在上述的三個教學階段中，教師引導學生跳出了數(shù)學知識的文本經(jīng)驗，跨過了數(shù)學思想方法的經(jīng)驗，感悟了人生智慧的經(jīng)驗。從知識走進方法，從思想走近智慧，借助幾何直觀，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累由此得到了質(zhì)的提升與飛躍。

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