用數(shù)學(xué)的思想理解物理問題

摘要：數(shù)學(xué)是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，很多物理問題的解決是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和物理規(guī)律巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)與物理在方法和思想上的相互滲透，有助于學(xué)生深刻地正確理解物理量之間的關(guān)系。本文中涉及的高中物理教學(xué)中的兩個(gè)典型實(shí)例，分別從數(shù)學(xué)的函數(shù)思想和方程思想引導(dǎo)和幫助學(xué)生理解問題，透徹地看到問題的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；物理問題；構(gòu)造；線性函數(shù)思想；方程思想

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）27-0089-03

數(shù)學(xué)是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，很多物理問題的解決是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和物理規(guī)律巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)與物理在方法和思想上的相互滲透，有助于學(xué)生深刻地正確理解物理量之間的關(guān)系。下面跟大家交流自己在教學(xué)過程中的一些體會(huì)：

●之一：測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻實(shí)驗(yàn)關(guān)于構(gòu)造線性函數(shù)思想

一般來說，兩個(gè)物理量間的關(guān)系有很多都不是一次函數(shù)關(guān)系，若直接以這兩個(gè)物理量為坐標(biāo)，所畫出的圖像就不是直線，這樣就無法利用圖像方便地找出兩個(gè)物理量間的定量關(guān)系。在實(shí)驗(yàn)和解題中，如果兩個(gè)物理量間的關(guān)系不是一次函數(shù)關(guān)系，我們就需要去尋找呈一次函數(shù)關(guān)系的自變量和因變量，再以這兩個(gè)變量為坐標(biāo)畫圖，將圖像由曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€，進(jìn)而為我們解決問題掃清障礙，即為構(gòu)造線性函數(shù)思想，亦即“化曲為直”思想。（下述函數(shù)書寫均形如y=kx+b）下面對(duì)三種測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)進(jìn)行構(gòu)造線性函數(shù)小結(jié)。

（一）一電壓表一電阻箱測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

1.電路圖（圖1）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律：E=U+■（R0+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（■-■或■-■）。

構(gòu)造函數(shù)■-■：兩邊同除以EU，得■=■■+■斜率：■，與縱軸截距：■。

構(gòu)造函數(shù)■-■：可得■=■■-■斜率：■，與縱軸截距：-■。

3.線性函數(shù)圖（圖2、圖3）。

（二）一電流表一電阻箱測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

1.電路圖（圖4）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律E=I（R+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（構(gòu)造R-■或■-R）。

構(gòu)造函數(shù)R-■：兩邊同除以I，移項(xiàng)得：R=E■-r斜率：E，與縱軸截距：-r。

構(gòu)造函數(shù)■-R：可得：■=■R+■斜率：■，與縱軸截距■。

3.線性函數(shù)圖（圖5、圖6）。

（三）一理想電壓表一電阻箱一定值電阻測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

在測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中，由于所用的電壓表（視為理想電壓表）的量程較小，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖7所示的電路圖。

1.電路圖（圖7）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律E=R+■（R0+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（構(gòu)造■-R或R-■）。

構(gòu)造函數(shù)■-R：兩邊同除以EU移項(xiàng)得：■=■R+■斜率：■，與縱軸截距：■。

構(gòu)造函數(shù)R-■：可得：R=ER0■-（R0+r）斜率：ER0，與縱軸截距-（R0+r）。

3.線性函數(shù)圖（圖8、圖9）。

學(xué)法指導(dǎo)：對(duì)于測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻實(shí)驗(yàn)的處理，產(chǎn)生閉合電路歐姆定律是關(guān)鍵，有構(gòu)造形如y=kx+b的函數(shù)、化曲為直的思想，問題便迎刃而解，本實(shí)驗(yàn)要求解的E跟r都包含在函數(shù)的斜率與截距中。

●之二：用數(shù)學(xué)的方程思想理解物理電學(xué)實(shí)驗(yàn)兩個(gè)問題

（一）雙伏法測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻

1.電路圖。

2.步驟：（1）斷開S，測(cè)得電壓表的示數(shù)分別為U1、U2。

（2）閉合S，測(cè)得電壓表V1的示數(shù)為U1。

（3）列方程。E=U1+U2+■rE=U'1+■r

▲方程思想：U1、U2、U'1均為數(shù)據(jù)，在E、RV、r均未知的情況下，該方程組表面上是三個(gè)未知數(shù)，而實(shí)質(zhì)上是二元方程組。兩個(gè)元分別是E與■，因此兩組數(shù)據(jù)一定可以測(cè)得電動(dòng)勢(shì)E，而在RV未知的情況下得不到r，不是再多測(cè)一組數(shù)據(jù)再列一個(gè)方程的問題。

（二）伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻誤差分析

方法一：電流表“外”接法。

1.把兩表看作理想表列出的存在系統(tǒng)誤差的方程組，獲得測(cè)量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把兩表看作非理想表列出的不存在系統(tǒng)誤差的方程組獲得真實(shí)值E0、r0。

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ②

3.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：電壓表分流。

▲方程思想：換元法。

整理方程組②

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ？圯 E0=U1■+I1r0E0=U2■+I2r0 ？圯

■E0=U1+I1■■E0=U2+I2■

換元思想得到物理結(jié)論：

E=■E0

方法二：電流表“內(nèi)”接法。

1.把兩表看作理想表列出的存在系統(tǒng)誤差的方程組，獲得測(cè)量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把兩表看作非理想表列出的不存在系統(tǒng)誤差的方程組獲得真實(shí)值E0、r0。

E0=U1+I1（r0+RA）E0=U2+I2（r0+RA） ②

3.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：電流表分壓。

▲方程思想：換元法。

換元思想得到物理結(jié)論：E=E0r=r0+RA>r0

編后語：物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門學(xué)科。教學(xué)實(shí)踐證明：在處理物理問題時(shí)，若能充分借助數(shù)學(xué)的工具作用，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生透徹理解物理問題會(huì)起到事半功倍的作用。

作者簡介：李建麗（1969-），女，山西省汾陽市人，畢業(yè)于山西師范大學(xué)物理系，現(xiàn)為汾陽市第五高級(jí)中學(xué)物理教師，中學(xué)特級(jí)教師。

摘要：數(shù)學(xué)是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，很多物理問題的解決是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和物理規(guī)律巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)與物理在方法和思想上的相互滲透，有助于學(xué)生深刻地正確理解物理量之間的關(guān)系。本文中涉及的高中物理教學(xué)中的兩個(gè)典型實(shí)例，分別從數(shù)學(xué)的函數(shù)思想和方程思想引導(dǎo)和幫助學(xué)生理解問題，透徹地看到問題的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；物理問題；構(gòu)造；線性函數(shù)思想；方程思想

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）27-0089-03

數(shù)學(xué)是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，很多物理問題的解決是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和物理規(guī)律巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)與物理在方法和思想上的相互滲透，有助于學(xué)生深刻地正確理解物理量之間的關(guān)系。下面跟大家交流自己在教學(xué)過程中的一些體會(huì)：

●之一：測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻實(shí)驗(yàn)關(guān)于構(gòu)造線性函數(shù)思想

一般來說，兩個(gè)物理量間的關(guān)系有很多都不是一次函數(shù)關(guān)系，若直接以這兩個(gè)物理量為坐標(biāo)，所畫出的圖像就不是直線，這樣就無法利用圖像方便地找出兩個(gè)物理量間的定量關(guān)系。在實(shí)驗(yàn)和解題中，如果兩個(gè)物理量間的關(guān)系不是一次函數(shù)關(guān)系，我們就需要去尋找呈一次函數(shù)關(guān)系的自變量和因變量，再以這兩個(gè)變量為坐標(biāo)畫圖，將圖像由曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€，進(jìn)而為我們解決問題掃清障礙，即為構(gòu)造線性函數(shù)思想，亦即“化曲為直”思想。（下述函數(shù)書寫均形如y=kx+b）下面對(duì)三種測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)進(jìn)行構(gòu)造線性函數(shù)小結(jié)。

（一）一電壓表一電阻箱測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

1.電路圖（圖1）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律：E=U+■（R0+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（■-■或■-■）。

構(gòu)造函數(shù)■-■：兩邊同除以EU，得■=■■+■斜率：■，與縱軸截距：■。

構(gòu)造函數(shù)■-■：可得■=■■-■斜率：■，與縱軸截距：-■。

3.線性函數(shù)圖（圖2、圖3）。

（二）一電流表一電阻箱測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

1.電路圖（圖4）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律E=I（R+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（構(gòu)造R-■或■-R）。

構(gòu)造函數(shù)R-■：兩邊同除以I，移項(xiàng)得：R=E■-r斜率：E，與縱軸截距：-r。

構(gòu)造函數(shù)■-R：可得：■=■R+■斜率：■，與縱軸截距■。

3.線性函數(shù)圖（圖5、圖6）。

（三）一理想電壓表一電阻箱一定值電阻測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

在測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中，由于所用的電壓表（視為理想電壓表）的量程較小，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖7所示的電路圖。

1.電路圖（圖7）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律E=R+■（R0+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（構(gòu)造■-R或R-■）。

構(gòu)造函數(shù)■-R：兩邊同除以EU移項(xiàng)得：■=■R+■斜率：■，與縱軸截距：■。

構(gòu)造函數(shù)R-■：可得：R=ER0■-（R0+r）斜率：ER0，與縱軸截距-（R0+r）。

3.線性函數(shù)圖（圖8、圖9）。

學(xué)法指導(dǎo)：對(duì)于測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻實(shí)驗(yàn)的處理，產(chǎn)生閉合電路歐姆定律是關(guān)鍵，有構(gòu)造形如y=kx+b的函數(shù)、化曲為直的思想，問題便迎刃而解，本實(shí)驗(yàn)要求解的E跟r都包含在函數(shù)的斜率與截距中。

●之二：用數(shù)學(xué)的方程思想理解物理電學(xué)實(shí)驗(yàn)兩個(gè)問題

（一）雙伏法測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻

1.電路圖。

2.步驟：（1）斷開S，測(cè)得電壓表的示數(shù)分別為U1、U2。

（2）閉合S，測(cè)得電壓表V1的示數(shù)為U1。

（3）列方程。E=U1+U2+■rE=U'1+■r

▲方程思想：U1、U2、U'1均為數(shù)據(jù)，在E、RV、r均未知的情況下，該方程組表面上是三個(gè)未知數(shù)，而實(shí)質(zhì)上是二元方程組。兩個(gè)元分別是E與■，因此兩組數(shù)據(jù)一定可以測(cè)得電動(dòng)勢(shì)E，而在RV未知的情況下得不到r，不是再多測(cè)一組數(shù)據(jù)再列一個(gè)方程的問題。

（二）伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻誤差分析

方法一：電流表“外”接法。

1.把兩表看作理想表列出的存在系統(tǒng)誤差的方程組，獲得測(cè)量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把兩表看作非理想表列出的不存在系統(tǒng)誤差的方程組獲得真實(shí)值E0、r0。

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ②

3.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：電壓表分流。

▲方程思想：換元法。

整理方程組②

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ？圯 E0=U1■+I1r0E0=U2■+I2r0 ？圯

■E0=U1+I1■■E0=U2+I2■

換元思想得到物理結(jié)論：

E=■E0

方法二：電流表“內(nèi)”接法。

1.把兩表看作理想表列出的存在系統(tǒng)誤差的方程組，獲得測(cè)量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把兩表看作非理想表列出的不存在系統(tǒng)誤差的方程組獲得真實(shí)值E0、r0。

E0=U1+I1（r0+RA）E0=U2+I2（r0+RA） ②

3.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：電流表分壓。

▲方程思想：換元法。

換元思想得到物理結(jié)論：E=E0r=r0+RA>r0

編后語：物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門學(xué)科。教學(xué)實(shí)踐證明：在處理物理問題時(shí)，若能充分借助數(shù)學(xué)的工具作用，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生透徹理解物理問題會(huì)起到事半功倍的作用。

作者簡介：李建麗（1969-），女，山西省汾陽市人，畢業(yè)于山西師范大學(xué)物理系，現(xiàn)為汾陽市第五高級(jí)中學(xué)物理教師，中學(xué)特級(jí)教師。

摘要：數(shù)學(xué)是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，很多物理問題的解決是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和物理規(guī)律巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)與物理在方法和思想上的相互滲透，有助于學(xué)生深刻地正確理解物理量之間的關(guān)系。本文中涉及的高中物理教學(xué)中的兩個(gè)典型實(shí)例，分別從數(shù)學(xué)的函數(shù)思想和方程思想引導(dǎo)和幫助學(xué)生理解問題，透徹地看到問題的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；物理問題；構(gòu)造；線性函數(shù)思想；方程思想

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）27-0089-03

數(shù)學(xué)是物理學(xué)科的基礎(chǔ)，很多物理問題的解決是數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和物理規(guī)律巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)與物理在方法和思想上的相互滲透，有助于學(xué)生深刻地正確理解物理量之間的關(guān)系。下面跟大家交流自己在教學(xué)過程中的一些體會(huì)：

●之一：測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻實(shí)驗(yàn)關(guān)于構(gòu)造線性函數(shù)思想

一般來說，兩個(gè)物理量間的關(guān)系有很多都不是一次函數(shù)關(guān)系，若直接以這兩個(gè)物理量為坐標(biāo)，所畫出的圖像就不是直線，這樣就無法利用圖像方便地找出兩個(gè)物理量間的定量關(guān)系。在實(shí)驗(yàn)和解題中，如果兩個(gè)物理量間的關(guān)系不是一次函數(shù)關(guān)系，我們就需要去尋找呈一次函數(shù)關(guān)系的自變量和因變量，再以這兩個(gè)變量為坐標(biāo)畫圖，將圖像由曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€，進(jìn)而為我們解決問題掃清障礙，即為構(gòu)造線性函數(shù)思想，亦即“化曲為直”思想。（下述函數(shù)書寫均形如y=kx+b）下面對(duì)三種測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)進(jìn)行構(gòu)造線性函數(shù)小結(jié)。

（一）一電壓表一電阻箱測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

1.電路圖（圖1）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律：E=U+■（R0+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（■-■或■-■）。

構(gòu)造函數(shù)■-■：兩邊同除以EU，得■=■■+■斜率：■，與縱軸截距：■。

構(gòu)造函數(shù)■-■：可得■=■■-■斜率：■，與縱軸截距：-■。

3.線性函數(shù)圖（圖2、圖3）。

（二）一電流表一電阻箱測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

1.電路圖（圖4）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律E=I（R+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（構(gòu)造R-■或■-R）。

構(gòu)造函數(shù)R-■：兩邊同除以I，移項(xiàng)得：R=E■-r斜率：E，與縱軸截距：-r。

構(gòu)造函數(shù)■-R：可得：■=■R+■斜率：■，與縱軸截距■。

3.線性函數(shù)圖（圖5、圖6）。

（三）一理想電壓表一電阻箱一定值電阻測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻

在測(cè)量電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中，由于所用的電壓表（視為理想電壓表）的量程較小，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖7所示的電路圖。

1.電路圖（圖7）。

2.基本思維程序。

①寫出閉合電路歐姆定律E=R+■（R0+r）。

②構(gòu)造函數(shù)：（構(gòu)造■-R或R-■）。

構(gòu)造函數(shù)■-R：兩邊同除以EU移項(xiàng)得：■=■R+■斜率：■，與縱軸截距：■。

構(gòu)造函數(shù)R-■：可得：R=ER0■-（R0+r）斜率：ER0，與縱軸截距-（R0+r）。

3.線性函數(shù)圖（圖8、圖9）。

學(xué)法指導(dǎo)：對(duì)于測(cè)定電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻實(shí)驗(yàn)的處理，產(chǎn)生閉合電路歐姆定律是關(guān)鍵，有構(gòu)造形如y=kx+b的函數(shù)、化曲為直的思想，問題便迎刃而解，本實(shí)驗(yàn)要求解的E跟r都包含在函數(shù)的斜率與截距中。

●之二：用數(shù)學(xué)的方程思想理解物理電學(xué)實(shí)驗(yàn)兩個(gè)問題

（一）雙伏法測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻

1.電路圖。

2.步驟：（1）斷開S，測(cè)得電壓表的示數(shù)分別為U1、U2。

（2）閉合S，測(cè)得電壓表V1的示數(shù)為U1。

（3）列方程。E=U1+U2+■rE=U'1+■r

▲方程思想：U1、U2、U'1均為數(shù)據(jù)，在E、RV、r均未知的情況下，該方程組表面上是三個(gè)未知數(shù)，而實(shí)質(zhì)上是二元方程組。兩個(gè)元分別是E與■，因此兩組數(shù)據(jù)一定可以測(cè)得電動(dòng)勢(shì)E，而在RV未知的情況下得不到r，不是再多測(cè)一組數(shù)據(jù)再列一個(gè)方程的問題。

（二）伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻誤差分析

方法一：電流表“外”接法。

1.把兩表看作理想表列出的存在系統(tǒng)誤差的方程組，獲得測(cè)量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把兩表看作非理想表列出的不存在系統(tǒng)誤差的方程組獲得真實(shí)值E0、r0。

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ②

3.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：電壓表分流。

▲方程思想：換元法。

整理方程組②

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ？圯 E0=U1■+I1r0E0=U2■+I2r0 ？圯

■E0=U1+I1■■E0=U2+I2■

換元思想得到物理結(jié)論：

E=■E0

方法二：電流表“內(nèi)”接法。

1.把兩表看作理想表列出的存在系統(tǒng)誤差的方程組，獲得測(cè)量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把兩表看作非理想表列出的不存在系統(tǒng)誤差的方程組獲得真實(shí)值E0、r0。

E0=U1+I1（r0+RA）E0=U2+I2（r0+RA） ②

3.系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：電流表分壓。

▲方程思想：換元法。

換元思想得到物理結(jié)論：E=E0r=r0+RA>r0

編后語：物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法最充分、最成功的一門學(xué)科。教學(xué)實(shí)踐證明：在處理物理問題時(shí)，若能充分借助數(shù)學(xué)的工具作用，對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生透徹理解物理問題會(huì)起到事半功倍的作用。

作者簡介：李建麗（1969-），女，山西省汾陽市人，畢業(yè)于山西師范大學(xué)物理系，現(xiàn)為汾陽市第五高級(jí)中學(xué)物理教師，中學(xué)特級(jí)教師。