基于收縮估計(jì)法的廣義Pareto分布參數(shù)的估計(jì)*

陳兆仁，劉婉貞

基于收縮估計(jì)法的廣義Pareto分布參數(shù)的估計(jì)*

陳兆仁1，劉婉貞2

（1.湖南師范大學(xué)工程與設(shè)計(jì)學(xué)院，湖南長沙410081；2.長沙職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南長沙410010）

由于廣義Pareto分布在金融和保險(xiǎn)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，對于該分布的統(tǒng)計(jì)推斷成為研究的熱點(diǎn).將在參數(shù)的先驗(yàn)分布為倒伽瑪分布條件下研究廣義Pareto分布參數(shù)的Bayes估計(jì)問題，并在平方誤差和LINEX損失函數(shù)下，導(dǎo)出了參數(shù)的Bayes估計(jì)和Bayes收縮估計(jì).文末給出了Monte Carlo數(shù)值模擬試驗(yàn)和結(jié)論.

廣義Pareto分布；Bayes估計(jì)；收縮估計(jì)；損失函數(shù)

廣義Pareto分布（GPD）自Piekands［1］提出以來被廣泛地應(yīng)用于金融、保險(xiǎn)、災(zāi)害預(yù)測等諸多領(lǐng)域.關(guān)于其統(tǒng)計(jì)推斷研究引起了很多學(xué)者的關(guān)注.Rasmussen［2］提出了GPD參數(shù)估計(jì)的廣義概率加權(quán)法；趙旭等［3］針對截尾樣本提出了GPD參數(shù)估計(jì)的廣義有偏概率加權(quán)矩法；Ashkar等［4］對以前學(xué)者提出的最大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法、概率加權(quán)矩估計(jì)法以及廣義概率加權(quán)矩估計(jì)法進(jìn)行回顧總結(jié)，發(fā)現(xiàn)這些方法在形狀參數(shù)為正值時(shí)，廣義Pareto分布參數(shù)常有一個(gè)上界值.特別是在處理洪水?dāng)?shù)據(jù)時(shí)，這種情況常出現(xiàn)，以往的方法得到的估計(jì)值常高出這個(gè)上限值，于是其利用Monte Carlo數(shù)值模擬對幾類估計(jì)方法進(jìn)行比較，進(jìn)而提出了一些建議.在工程實(shí)踐中，很多學(xué)者意識到將有關(guān)未知參數(shù)的先驗(yàn)知識融入到參數(shù)的估計(jì)中將能改善原有的估計(jì)，如收縮估計(jì).Thompson［5］提出了估計(jì)總體均值參數(shù)的如下收縮估計(jì)：

這里θ0為參數(shù)先驗(yàn)值，＾θT稱為Thompson型估計(jì).關(guān)于收縮估計(jì)的更多的研究參見文獻(xiàn)［6－8］.基于收縮技術(shù)研究GPD參數(shù)估計(jì)問題還未見有文獻(xiàn)討論，因此本文討論GPD參數(shù)的Bayes收縮估計(jì)問題.由于在實(shí)際中用的最多的是兩參數(shù)GPD分布：

其中β＞0.且當(dāng)ξ≥0時(shí)，x∈［0，∞）；當(dāng)ξ＜0時(shí)，x∈［0，－］.于是本文接下來的研究中只考慮參數(shù)ξ＜0的情況.令θ＝－ξ，σ＝，則此時(shí)兩參數(shù)GPD分布變?yōu)椋?/p>

其中θ，σ＞0為參數(shù).

本文將在σ已知的情況下，在參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為倒伽瑪分布的條件下，研究在平方誤差損失、LINEX損失函數(shù)下廣義Pareto分布參數(shù)的Bayes收縮估計(jì)問題.

1 預(yù)備知識

引理1 設(shè)X1，X2，…，Xn為來自廣義Pareto分布（2）的簡單隨機(jī)樣本，記X＝（X1，X2，…，Xn），t的樣本觀測值，設(shè)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為逆伽瑪分布IΓ（α，β），相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

（iii）θ｜X～I(xiàn)Γ（n＋α，β＋T）.

證由（1）得到，在給定x＝（x1，x2，…，xn）下，參數(shù)θ的似然函數(shù)為：

由（3）、（4）及Bayes定理，參數(shù)θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為：

從而θ的后驗(yàn)分布為倒伽瑪分布IΓ（n＋α，t＋β）.即后驗(yàn)概率密度函數(shù)為：

引理得證.

2 Bayes估計(jì)和Bayes收縮估計(jì)

在這一部分，我們總設(shè)X＝（X1，X2，…，Xn）為來自分布（2）的容量為n的簡單隨機(jī)樣本，并設(shè)T為研究參數(shù)的Bayes估計(jì)問題，下面將在平方誤差損失函數(shù)和LINEX損失函數(shù)下研究參數(shù)的Bayes和Bayes收縮估計(jì)問題.

2.1平方誤差損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)和Bayes收縮估計(jì)

在平方誤差損失函數(shù)L1（＾θ，θ）＝（＾θ－θ）2下，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為其后驗(yàn)期望，即有：

現(xiàn)假設(shè)根據(jù)已有的工程經(jīng)驗(yàn)已知參數(shù)θ的先驗(yàn)估計(jì)值為θ0，采用文獻(xiàn)［8］的方法確定超參數(shù)α，β值：令E（＾θB）＝θ0，由引理1得β＝（α－1）θ0，將其代入（7）有：

這恰好具有（1）的形式，我們把通過這種方法得到的估計(jì)稱為Bayes收縮估計(jì).

2.2LINEX損失函數(shù)下的Bayes估計(jì)和Bayes收縮估計(jì)

本文采用的LINEX損失函數(shù)是由文獻(xiàn)［9］首先提出的，其函數(shù)表示形式為：

易證在LINEX損失函數(shù)下參數(shù)θ的Bayes估計(jì)由下式給出：

由于

則由（9）解得在LINEX損失函數(shù)下，參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為：

下面采用類似的方法確定先驗(yàn)分布中的超參數(shù)α，β值：

令E（＾θBL）＝θ0，由引理1得

將β值（12）代入（11）中，有：這里k2＝nw.這也具有（1）的形式，也稱為Bayes收縮估計(jì).

3 數(shù)值模擬例子

利用Monte Carlo數(shù)值模擬生成容量為n＝20的來自廣義Pareto分布（2）的簡單隨機(jī)樣本，其中σ＝1.0，θ＝1.0.重復(fù)試驗(yàn)N＝5000次，將估計(jì)的平均值即作為參數(shù)θ的估計(jì)值，利用均方誤差

來考察估計(jì)的優(yōu)良性，其中＾θi為第i次試驗(yàn)的參數(shù)θ的估計(jì)值.參數(shù)的最大似然估計(jì)（MLE）、Bayes估計(jì)以及Bayes收縮估計(jì)值見表1.

表1 參數(shù)的MLE、Bayes及Bayes收縮估計(jì)值和相應(yīng)的均方誤差（c＝1）

從表1及大量的數(shù)值模擬試驗(yàn)我們得到如下結(jié)論：

（1）當(dāng)Bayes估計(jì)受兩個(gè)超參數(shù)的影響，而Bayes收縮估計(jì)由于不但利用了參數(shù)先驗(yàn)值θ0，而且僅受一個(gè)超參數(shù)的影響時(shí)，若實(shí)際中我們得到的參數(shù)先驗(yàn)值θ0較接近真值，Bayes收縮估計(jì)相對Bayes估計(jì)而言穩(wěn)健性更好，因而推薦使用Bayes收縮估計(jì)方法對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)；

（2）當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，各類估計(jì)均較接近真實(shí)值.

本文在假定壽命分布服從廣義Pareto分布（2）情況下，取得了未知參數(shù)的最大似然估計(jì)，并在平方誤差以及LINEX損失函數(shù)下得到了參數(shù)的Bayes估計(jì)和Bayes收縮估計(jì).本文所提出的收縮估計(jì)法可以推廣到諸如指數(shù)分布、Weibull分布、Burr Type XII分布等壽命分布模型.

［1］Pickands J.Statistical inference using extreme order statistics［J］. Annals of Statistics，1975，（1）：119－131.

［2］Rasmussen P F.Generalized probability weighted moments：Application to the generalized pareto distribution［J］.Water Resources Research，2001，（6）：1745－1751.

［3］趙旭，程維虎，李婧蘭.廣義Pareto分布的廣義有偏概率加權(quán)矩估計(jì)方法［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，（2）：321－329.

［4］Ashkar F，Tatsambon N C.Revisiting some estimation methods for the generalized pareto distribution［J］.Journal of Hydrology，2007，（6）：136－143.

［5］Thompson JR.Some shrinkage techniques for estimating the mean［J］.Journal of American Statistical Association，1968，（321）：113－122.

［6］Qabaha M.Ordinary and Bayesian shrinkage estimation［J］.An－Najah University Journal for Research，2007，（1）：101－116.

［7］Prakash G，Singh D C.A Bayesian shrinkage approach in weibull type－II censored data using prior point information［J］.Revstat－Statistical Journal，2009，（2）：171－187.

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［9］Varian H R.A Bayesian approach to real estate assessment［A］. Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard JSavage［C］.Amsterdam，1975.

Estimation of Parameter of Generalized Pareto Distribution Based on Shrinkage Technique

CHEN Zhaoren1，LIUWanzhen2
（1.College of Engineering and Design，Hunan Normal University，Changsha Hunan 410081，China；2.Changsha Vocational＆Technology College，Changsha Hunan 410010，China）

The generalized Pareto distribution is extensively used in the field of finance，insurance，etc.The statistical inference for the distribution has been a hot spotof research.The aim of this paper is to study the Bayes estimation of the parameter of the parameter of the generalized Parato distribution based on the parameter prior is inverse Gamma distribution.Under squared error loss and LINEX functions，Bayes and shrinkage estimators are obtained，and Monte Carlo simulation experiment and conclusion is given at last.

generalized Pareto distribution；Bayes estimation；shrinkage estimator；loss function

O212.8

A

1008－4681（2014）02－0001－04

（責(zé)任編校：晴川）

2013－12－18

陳兆仁（1965－），男，湖南長沙人，湖南師范大學(xué)工程與設(shè)計(jì)學(xué)院副教授.研究方向：Bayes統(tǒng)計(jì)、模糊決策.