基于隨機優(yōu)勢關(guān)系的區(qū)間值信息系統(tǒng)

段晶晶，魏立力

寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，銀川 750021

基于隨機優(yōu)勢關(guān)系的區(qū)間值信息系統(tǒng)

段晶晶，魏立力

寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計算機學(xué)院，銀川 750021

1 引言

粗糙集理論是波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak Z.于1982年提出的一種數(shù)據(jù)表達和分析的數(shù)學(xué)工具[1]，粗糙集理論的主要思想是利用已知的知識庫，將不精確或不確定的知識用已知的知識庫中的知識來（近似）刻畫。該理論與其他處理不確定和不精確問題理論的最顯著的區(qū)別是它無需提供問題所需處理的數(shù)據(jù)集合之外的任何先驗信息，所以對問題的不確定性的描述或處理可以說是比較客觀的，由于這個理論未能包含處理不精確或不確定原始數(shù)據(jù)的機制，所以這個理論與概率論，模糊數(shù)學(xué)和證據(jù)理論等其他處理不確定或不精確問題的理論有很強的互補性[2-5]。

經(jīng)典粗糙集理論只針對屬性值已知并且單一的情況，即完備的信息系統(tǒng)。然而在現(xiàn)實生活中存在大量屬性值未知、缺失、模糊、不精確、不惟一的情形。因此，現(xiàn)有大量文獻對這些問題進行深入討論，提出了不完備信息系統(tǒng)[6]（文獻[6]中利用數(shù)據(jù)補充的方法把不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為完備的區(qū)間值信息系統(tǒng)，即區(qū)間端點的缺失值用對應(yīng)屬性的所有屬性值的最小下界或最大上界來代替），區(qū)間值信息系統(tǒng)[6-8]（文獻[7]在區(qū)間值信息系統(tǒng)中定義了可能概率，并在可能概率的基礎(chǔ)上定義了α-優(yōu)勢關(guān)系，給出了基于α-優(yōu)勢關(guān)系的擴充粗糙集模型；文獻[8]用新的方法定義了α-優(yōu)勢關(guān)系，采用相對熵最優(yōu)賦權(quán)準(zhǔn)則建立了α-優(yōu)勢關(guān)系的概率粗糙模型），集值信息系統(tǒng)[9]（文獻[9]提出了析取集值有序信息系統(tǒng)和合取集值有序信息系統(tǒng)，并給出了這兩種信息系統(tǒng)的屬性約簡方法）等粗糙集的擴充模型。其次，考慮到信息偏好有序，最早由Greco等人于1998年提出了基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集方法（DRSA）[10]。利用優(yōu)勢關(guān)系建立序信息系統(tǒng)有助于處理連續(xù)屬性和偏序關(guān)系的問題。相對于經(jīng)典粗糙集理論的基本概念，優(yōu)勢關(guān)系替代了不可辨識關(guān)系，推動了粗糙集理論的發(fā)展，構(gòu)成了不同的優(yōu)勢關(guān)系概念，并形成了一些應(yīng)用研究[6-11]。

然而利用優(yōu)勢關(guān)系對屬性域進行排序的結(jié)果以一定概率成立，得到的決策規(guī)則也以一定的概率成立。所以有序信息系統(tǒng)缺少屬性值區(qū)間上的概率分布信息。概率信息的丟失將導(dǎo)致建立對象之間的優(yōu)勢關(guān)系不符合實際情況，所以要建立一種體現(xiàn)屬性值區(qū)間上的概率分布信息的信息系統(tǒng)。由于隨機優(yōu)勢關(guān)系是定義在分布函數(shù)上的一種特殊的優(yōu)勢關(guān)系，因此利用隨機優(yōu)勢關(guān)系來研究有序信息系統(tǒng)將是以后研究的趨勢。例如文獻[11]中就分析了區(qū)間值有序信息系統(tǒng)沒有蘊含屬性值區(qū)間上的概率分布信息的缺點，建立了一種基于概率的有序信息系統(tǒng)；文獻[12]定義了隨機意義下的極小極大損失，給出決策的隨機優(yōu)勢粗糙集模型；文獻[13]利用近似隨機優(yōu)勢準(zhǔn)則，提出了近似隨機優(yōu)勢度，并對方案排序；文獻[14]提出了隨機優(yōu)勢指標(biāo)的概念，并對其合理性和優(yōu)越性作了論證。

2 隨機優(yōu)勢關(guān)系

定義1[15]（隨機小于）令X和Y分別是兩個隨機變量，滿足：稱X隨機小于Y，記作X?SY。

顯然上式等價于：

隨機優(yōu)勢關(guān)系實際上就是定義在概率分布集合上的一個二元關(guān)系。

下面先介紹如何在區(qū)間值有序信息系統(tǒng)中引入對應(yīng)屬性的概率分布。

例1表1是高三某班部分同學(xué)月考估分情況。

表1 月考估分情況

由例1可以看出：

所以，a同學(xué)的語文月考成績要隨機優(yōu)于b。顯然，不通過計算也可看出a同學(xué)的語文成績要比b好。

為了敘述簡便，以下提到的區(qū)間值信息系統(tǒng)均指區(qū)間值有序信息系統(tǒng)。

顯然，當(dāng)aL(x)=aU(x)時，f(x，a)退化成單值形式?？梢?，單值信息系統(tǒng)是區(qū)間值信息系統(tǒng)的一種特殊形式。

定義3[11]（區(qū)間值有序信息系統(tǒng)）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，若區(qū)間值信息系統(tǒng)S中所有的條件屬性都是偏好有序的（即屬性值之間存在優(yōu)劣關(guān)系），則稱區(qū)間值信息系統(tǒng)S為有序信息系統(tǒng)。

定義4（區(qū)間值有序信息系統(tǒng)的分布函數(shù)）給定區(qū)間值有序信息系統(tǒng)S=(U，A，V，f)，對?a∈A，令Ma= maxi{aU(xi)}，ma=mini{aL(xi)}，則稱對象xi在屬性a下取值的概率為：

定理2（隨機優(yōu)勢的判定定理1）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U,A,V，f)，若aL(xi)≤aL(xj)＜aU(xi)≤aU(xj)(xi，xj∈U，i≠j，a∈A)，則對象xj在屬性a下隨機優(yōu)于對象xi。

證明由式（3）可以得到：

定理3（隨機優(yōu)勢的判定定理2）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)，若aU(xi)≤aL(xj)(xi，xj∈U，i≠j，a∈A)，則對象xj在屬性a下隨機優(yōu)于對象xi。

證明同定理2。

3 基于Lévy距離的α-隨機優(yōu)勢

文獻[8]通過對區(qū)間值信息系統(tǒng)進行假設(shè)，定義了普通優(yōu)勢關(guān)系下各屬性對象之間的概率，建立了α-優(yōu)勢關(guān)系的概率粗糙模型。本章將利用分布函數(shù)這一基本工具，對區(qū)間值信息系統(tǒng)進行深入研究，建立α-隨機優(yōu)勢關(guān)系。

在介紹α-隨機優(yōu)勢關(guān)系的概念之前，先了解一下Lévy距離的概念。

定義6[16]（Lévy距離）設(shè)D={F|F是一維分布函數(shù)}，對?F，G∈D定義：

L(F，G)=inf{ε＞0|F(x-ε)-ε≤G(x)≤F(x+ε)+ε}則L是D上的距離，稱為Lévy距離。

定理4[16]（Lévy距離的幾何意義）分布函數(shù)列G(x)，F(xiàn)(x)之間的最大Lévy距離是2L(F，G)，它的測量沿x軸135°方向。如圖1。

圖1 Lévy距離的幾何表示圖

定義7（α-隨機優(yōu)勢）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)以及屬性子集B，L(Fa，Ga)是屬性a下對象x和y分別對應(yīng)的分布函數(shù)之間的Lévy距離，α是閾值，稱為區(qū)間值信息系統(tǒng)的α-隨機優(yōu)勢。稱

為α-隨機優(yōu)勢類。

由α-隨機優(yōu)勢關(guān)系的定義可以看到，α不僅屬于[0，1]這個范圍，它還可能比1大。此時的α衡量了兩個一維分布函數(shù)之間的Lévy距離程度。α越小，兩個分布函數(shù)越接近，表明對象y隨機優(yōu)于對象x的程度越?。沪猎酱?，兩個分布函數(shù)之間的Lévy距離越大，對象y越是隨機優(yōu)于對象x，作為決策，選擇y的可能性就越大。

定理5（α-隨機優(yōu)勢關(guān)系的性質(zhì)）給定區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)，B?A，L(Fa，Ga)是對象x和y之間的Lévy距離，則

證明（1）～（4）由定義可證，證明略。（5）證明過程類似于定理1（5），略。

利用定理4計算例1的Lévy距離如表2。從表2中可以看到，用隨機優(yōu)勢關(guān)系得到元素之間的優(yōu)劣性，再用Lévy距離衡量元素之間的優(yōu)勢度就不再具有明顯的優(yōu)勢關(guān)系了。比如，f在數(shù)學(xué)學(xué)科中隨機優(yōu)于g，但利用Lévy距離計算的結(jié)果就不再具有隨機優(yōu)勢關(guān)系了，隨機優(yōu)勢度為0。

表2 例1的Lévy距離

4 不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)

如果區(qū)間值信息系統(tǒng)里的屬性值有未知值時，這樣的區(qū)間值信息系統(tǒng)就是不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)。不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)有三種情形：已知上界，未知下界；已知下界，未知上界；上下界都是未知值。下面就來舉例說明不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)。

例2對于學(xué)生成績，有下面不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)，如表3。

表3 不完備信息系統(tǒng)

例2中“*”表示屬性取值的上界或下界未知。在這里未知值是存在的，只不過屬性取值的上界或下界缺失。處理這種不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)的常見方法是把這些未知值補充完整，轉(zhuǎn)化成完備區(qū)間值信息系統(tǒng)。這種數(shù)據(jù)補充的常用方法是求區(qū)間端點的平均值。

定義8（區(qū)間端點的平均值法）給定不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)(U，A，V，f)，則填充的不完備區(qū)間值信息系統(tǒng)的屬性值記為：

其中||aL(U)||，||aU(U)||分別表示屬性a下U中屬性值不等于*的對象個數(shù)。稱這種數(shù)據(jù)補充的方法為求區(qū)間端點的平均值法。

表4是經(jīng)過補充的信息系統(tǒng)。

表4 填充的不完備信息系統(tǒng)

表5是例2得出的Lévy距離，得到的隨機優(yōu)勢類為：

利用Lévy距離的概念得到的區(qū)間值信息系統(tǒng)的隨機優(yōu)勢類，在整體上反映了對象之間的優(yōu)劣關(guān)系，比對象間點態(tài)的優(yōu)劣比較更具客觀性。

當(dāng)α=5.6時，α-隨機優(yōu)勢類為：

表5 例2的Lévy距離

與上面的隨機優(yōu)勢類相比較，這里的α-隨機優(yōu)勢類是隨機優(yōu)勢類的子集，給出了閾值為5.6時的隨機優(yōu)勢類。當(dāng)決策者需要篩選出優(yōu)勢程度不同的對象時，可以調(diào)整優(yōu)勢類的閾值，這樣可以根據(jù)對象間的Lévy距離很容易得到結(jié)果。

當(dāng)α=6.2時，α-隨機優(yōu)勢類為：

5 結(jié)束語

在已有的文獻中主要研究了各種基于優(yōu)勢關(guān)系的信息系統(tǒng)，沒有考慮信息系統(tǒng)本身的概率分布情況。本文討論了基于隨機優(yōu)勢關(guān)系的區(qū)間值信息系統(tǒng)。首先，在區(qū)間值信息系統(tǒng)中引入了分布函數(shù)，繼而應(yīng)用隨機優(yōu)勢關(guān)系的概念，提出了基于隨機優(yōu)勢關(guān)系的區(qū)間值信息系統(tǒng)。由于在分布函數(shù)組成的集合中，最為常用的度量之一是Lévy距離，因此，文章在Lévy距離的基礎(chǔ)上構(gòu)造了α-隨機優(yōu)勢。最后通過實例進行計算，說明了本文方法的有效性。

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DUAN Jingjing,WEI Lili

School of Mathematics and Computer Science,Ningxia University,Yinchuan 750021,China

The distribution function is introduced to interval-valued information systems.And the stochastic dominancebased interval-valued information system is proposed.Theα-stochastic dominance relation is constructed in inter-valued information system.Theα-stochastic dominance relation is calculated by the Lévy distance and some numerical examples are shown for the efficiency of the method.

stochastic dominance;interval-valued information system;rough set

在區(qū)間值信息系統(tǒng)中引入了分布函數(shù)，得到了基于隨機優(yōu)勢關(guān)系的區(qū)間值信息系統(tǒng)，構(gòu)造了區(qū)間值信息系統(tǒng)的α-隨機優(yōu)勢關(guān)系。利用Lévy距離，對α-隨機優(yōu)勢關(guān)系進行了計算，實例說明了方法的有效性。

隨機優(yōu)勢；區(qū)間值信息系統(tǒng)；粗糙集

A

TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1209-0322

DUAN Jingjing,WEI Lili.Stochastic dominance-based interval-valued information systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（18）：85-88.

國家自然科學(xué)基金（No.11261044）；寧夏高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究項目。

段晶晶（1987—），女，碩士生，主要研究領(lǐng)域為統(tǒng)計學(xué)、人工智能；魏立力（1965—），男，通訊作者，教授，主要研究領(lǐng)域為應(yīng)用統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析、人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。E-mail：weill866@163.com

2012-09-27

2013-01-18

1002-8331（2014）18-0085-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-02-07，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130207.1420.013.html

◎網(wǎng)絡(luò)、通信、安全◎