NLS方程的一種新解

毛春華

（湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 長沙 410205）

NLS方程的一種新解

毛春華

（湖南財政經(jīng)濟學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 長沙 410205）

非線性薛定諤方程(NLS方程)是描述玻色愛因斯坦凝聚(BEC)演化的重要方程.本文利用待定系數(shù)法,求出了NLS方程一個新的精確解.

非線性薛定諤方程(NLS方程)；待定系數(shù)法；精確解

1 引言

尋求非線性方程的精確解一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的重要課題.近幾十年來,人們已經(jīng)找到了多種求解非線性演化方程的有效方法,如backlund變換法[1],Darboux變換法[2],反散射法[3], Hirota雙線性法[4],齊次平衡法[5]等.非線性薛定諤方程(NLS方程)是一個重要的非線性演化方程.它可以用來描述玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的演化.本文采用待定系數(shù)法,求出了NLS方程的一個新解.

描述玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的演化的非線性薛定諤方程(NLS方程)[6]:

圖1 模型勢(1.2)(實線)能模擬現(xiàn)實實驗外勢(原點附近的虛線)

這里V(x)為外部囚禁勢,g表示原子的相互作用強度.在準(zhǔn)一維BEC實驗中，囚禁勢的中心附近與諧振子勢V(x)=mω2x2/2一致，所以通常都是用諧振子勢表示囚禁勢.事實上，我們可以用下面的近簡諧勢來更好地模擬囚禁勢,這是因為,在中心處,它可以擬合諧振子勢,另外,它不會隨x的增大趨向無窮大,而是趨于一個常數(shù)(見圖1).

下面我們來求NLS方程（1.1）在外勢(1.2)下的精確解.

2 方程的求解

將NLS方程（1.1）的精確解寫成Ψ(x,t)=R(x)exp [iθ(x)-iμt],其中R(x),θ(x)都是實函數(shù),μ為實常數(shù).將指數(shù)形式代入方程(1.1),并將實部和虛部分離,可得

方程(2.3)是一個可積方程,很容易得到它的精確解.設(shè)R=R0(x)和J=J0滿足方程(2.3)，可得到熟知的精確特解[7]

這里J=θx(x)R2(x).

當(dāng)外勢V(x)不存在時,方程(2.1)可以寫成

將(2.4)式代入(2.3),可得常數(shù)A,B和J0的關(guān)系為A=-3B+2μ/g,J02=-2hB3+2μB2.

對于大多數(shù)外勢，方程(2.1)不能得到精確解.但是，如果將后，不難發(fā)現(xiàn)勢(1.2)的形式與(2.4)式中R0-4相似.這暗示了方程(2.1)的精確解R(x)和外勢V(x)有如下關(guān)系

這里α和β都是待定常數(shù).將(2.5)代入(2.1)得

方程(2.6)的形式與(2.1)很相似.這兩式的差別僅在于其中的J和μ分別用μ-β取代.因此，方程(2.6)也能給出類似于(2.3)的精確解

將解(2.7)和勢函數(shù)(1.2)代入外勢和解之間的關(guān)系(2.5)，得到一組關(guān)于待定常數(shù)α，β，A'，B'的方程

求解方程組(2.8)可以確定待定常數(shù)

將得到的常數(shù)A'，B'代入解(2.7)，就得到了方程(2.1)的精確解為

注意到參數(shù)關(guān)系A(chǔ)'=-3B'+2μE/g，μE=μ-B，可得到μ的表達(dá)式

考慮到參數(shù)關(guān)系JE2=-2gB'3+2μEB'2，A'=-3B' +2μE/g和JE2=J2+2α，可得J的表達(dá)式為

因為J=θx(x)|R(x)|2，再結(jié)合(2.12)可得

〔1〕李翊神.孤子與可積系統(tǒng)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1999.

〔2〕谷超豪,胡和生,周子翔.孤子理論中的達(dá)布變換及其幾何應(yīng)用[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社, 1999.

〔3〕Gardner C S,Greene JM,Kruskal MD,ea al.Method for solving the Korteweg-deVries equation.Phys.Rev.Lett.,1967,19(19):1095-1097.

〔4〕Hirota R.The direct method in soliton theory [M].Cambridge:Cambridge University Press, 2004.

〔5〕Wang Mingliang, Exact solutions for a compound KdV-Burgers equation[J].Physics LettersA,1996,213(5):279-287.

〔6〕G.Theocharis,et al.Controlling the motion of dark solitons by means of periodic potentials: Application to Bose -Einstein condensates in optical lattices[J].Phys.Rev.E, 2005,71(1):017602-017605.

〔7〕G Chong,WHai and Q Xie.Spatial chaos of trapped Bose-Einstein condensate in onedimensional weak optical lattice potential[J]. Chaos,2004,14(2):217-239.

O175.2

A

1673-260X（2014）10-0007-02