關(guān)于數(shù)學(xué)初高中銜接的若干知識(shí)點(diǎn)

潘東忠

一、因式分解的初高中銜接

1.因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（也叫作分解因式）。

2.因式分解的方法

初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法、求根公式法、換元法等。

初中所學(xué)習(xí)的因式分解方法是針對(duì)形如x2+（p+q）x+pq這樣的二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，注意在x2+（p+q）x+pq中x的可以是一個(gè)字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。與初中相比，只是常數(shù)項(xiàng)還含有字母，方法都是一樣的。

十字相乘法在解題時(shí)是一個(gè)很好用的方法，也很簡(jiǎn)單。這種方法有兩種情況：

（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

（2）kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。

二、不等關(guān)系與不等式的初高中銜接

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)＞、≥、≤、≠連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式。

2.不等式的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：a＞b?圳b＜a

（2）傳遞性：a＞b，b＞c?圳a＞c

（3）可加性：a＞b?圳a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?圯a＋c＞b＋d；

（4）可乘性：a＞b，c＞0?圯ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd

（5）可乘方：a＞b＞0?圯an＞bn（n∈N，n≥2）

（6）可開方：a＞b＞0?圯■＞■（n∈N，n≥2）

3.兩條常用性質(zhì)

（1）倒數(shù)性質(zhì)：若a＞b，ab＞0?圯■＜■；若a＜0＜b?圯■＜■；若a＞b＞0,0＜c＜d?圯■＞■；若0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?圯■＜■＜■。

（2）若a＞b＞0，m＞0，則①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：■＜■；■＞■（b－m＞0）；②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：■＞■；■＜■（b－m＞0）。

三、一元二次不等式解法的初高中銜接

1.一元二次不等式

一元二次不等式經(jīng)過變形，標(biāo)準(zhǔn)形式：①ax2+bx+c＞0（a＞0）；②ax2+bx+c＜0（a＞0）。

2.一元二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的根、一元二次不等式的關(guān)系

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于零或小于零時(shí)x的取值范圍，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要畫與之對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像。

3.一元二次不等式解法步驟

（1）化簡(jiǎn)（將不等式化為不等號(hào)右邊為0，左邊的最高次項(xiàng)系數(shù)為正）

（2）首先考慮分解因式；不易分解則判斷，當(dāng)時(shí)解方程（利用求根公式）

（3）畫圖寫解集（能取的根打?qū)嵭狞c(diǎn)，不能去的打空心）

四、絕對(duì)值不等式的初高中銜接

初中知識(shí)回顧：

1.含絕對(duì)值不等式的解法（關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值）

（1）利用絕對(duì)值的定義：（零點(diǎn)分段法）

|x|= x x≥0-x x<0

（2）利用絕對(duì)值的幾何意義：|x|表示x到原點(diǎn)的距離。

2.知識(shí)拓展

（1）|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)的解法|ax+b|>c?圳ax+b>c或ax+b<-c；|ax+b|

（2）|f(x)|>g(x)或|f(x)|g(x)?圳f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；|f(x)|

（3）|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|的解法：|f(x)|>|g(x)|?圳f2(x)>g2(x)|f(x)|<|g(x)|?圳f2(x)

（4）|x-a|±|x-b|的幾何意義：數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩個(gè)定點(diǎn)a,b的距離之和（差）。

主要方法：解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元一次（二次）不等式進(jìn)行求解。