二元一次方程整數(shù)解及其應(yīng)用淺析

王亮

在人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本第112頁(yè)的拓廣探索訓(xùn)練中有一個(gè)題目為：現(xiàn)有1角、5角、1元硬幣各10枚。從中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬幣各取多少枚？

初看這道題目，可能絕大部分學(xué)生能比較順利的列出兩個(gè)等量關(guān)系式：1角硬幣數(shù)量+5角硬幣數(shù)量+1元硬幣數(shù)量=15，1角硬幣錢數(shù)+5角硬幣錢數(shù)+1元硬幣錢數(shù)=7，進(jìn)而可以列出兩個(gè)三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多學(xué)生所未曾遇到過(guò)的。如何求解呢？這兒就不可避免的應(yīng)用到二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解。

二元一次方程的解有無(wú)數(shù)組，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往只需要求出其非負(fù)整數(shù)解。下面試舉幾例以供參考：

例1.小虎子有一張面值為10元的人民幣，他想換成1元或2元的人民幣，請(qǐng)你想一想，可能有幾種兌換方法？

解：設(shè)可換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，則x+2y=10。

∵x、y只能取非負(fù)整數(shù)。

∴其非負(fù)整數(shù)解為：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6種兌換方法，分別為5張2元；2張1元和4張2元；4張1元和3張2元；6張1元和2張2元；8張1元和1張2元；10張1元。

例2.如果x、y為不等于0的自然數(shù)，且3x·3y=27，試求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根據(jù)冪的性質(zhì)可得x+y=3，再由x、y為不等于0的自然數(shù)可確定x、y的值。

解：因?yàn)?x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因?yàn)閤、y為不等于0的自然數(shù)，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。綜上所得：xy=2。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閤、y為不等于0的自然數(shù)，所以本題實(shí)際上是求x+y=3的整數(shù)解。

在近幾年的中考題目中，也已經(jīng)出現(xiàn)了類似題型的考查。

例3.（2013·綏化）某班組織20名同學(xué)去春游，同時(shí)租用兩種型號(hào)的車輛，一種車每輛有8個(gè)座位，另一種車每輛有4個(gè)座位.要求租用的車輛不留空座，也不能超載。有_______種租車方案。

解：設(shè)租用每輛8個(gè)座位的車x輛，每輛有4個(gè)座位的車y輛，

根據(jù)題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數(shù)，

∴x=1時(shí)，y=3，

x=2時(shí)，y=1，

x=3時(shí)，y=-1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于車輛數(shù)是正整數(shù)。

由此我們可以看出，二元一次方程雖然具有無(wú)數(shù)組解，但在特定條件下整數(shù)解是可以求出的，從而可以用來(lái)解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題。同樣，借鑒“消元”思想和二元一次方程整數(shù)解我們就可以順利解出剛才的硬幣問(wèn)題。

我們可以將方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通過(guò)消x得到一個(gè)二元一次方程：4y+9z=55，利用題目中隱含的x、y、z只能取非負(fù)整數(shù)解條件，我們可以求出：y=7，z=3，進(jìn)而求出x=5，至此我們就可以求出該題的答案為：1角硬幣5枚、5角硬幣7枚、1元硬幣3枚。

對(duì)于此類題目，我們可以采用以下解題過(guò)程：列兩個(gè)三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整數(shù)解→求該實(shí)際問(wèn)題解，通過(guò)消元思想和二元一次方程整數(shù)解，進(jìn)而求出該問(wèn)題的解。

（作者單位 山東省日照市東港區(qū)西湖中心初中）

？誗編輯 魯翠紅

在人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本第112頁(yè)的拓廣探索訓(xùn)練中有一個(gè)題目為：現(xiàn)有1角、5角、1元硬幣各10枚。從中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬幣各取多少枚？

初看這道題目，可能絕大部分學(xué)生能比較順利的列出兩個(gè)等量關(guān)系式：1角硬幣數(shù)量+5角硬幣數(shù)量+1元硬幣數(shù)量=15，1角硬幣錢數(shù)+5角硬幣錢數(shù)+1元硬幣錢數(shù)=7，進(jìn)而可以列出兩個(gè)三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多學(xué)生所未曾遇到過(guò)的。如何求解呢？這兒就不可避免的應(yīng)用到二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解。

二元一次方程的解有無(wú)數(shù)組，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往只需要求出其非負(fù)整數(shù)解。下面試舉幾例以供參考：

例1.小虎子有一張面值為10元的人民幣，他想換成1元或2元的人民幣，請(qǐng)你想一想，可能有幾種兌換方法？

解：設(shè)可換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，則x+2y=10。

∵x、y只能取非負(fù)整數(shù)。

∴其非負(fù)整數(shù)解為：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6種兌換方法，分別為5張2元；2張1元和4張2元；4張1元和3張2元；6張1元和2張2元；8張1元和1張2元；10張1元。

例2.如果x、y為不等于0的自然數(shù)，且3x·3y=27，試求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根據(jù)冪的性質(zhì)可得x+y=3，再由x、y為不等于0的自然數(shù)可確定x、y的值。

解：因?yàn)?x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因?yàn)閤、y為不等于0的自然數(shù)，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。綜上所得：xy=2。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閤、y為不等于0的自然數(shù)，所以本題實(shí)際上是求x+y=3的整數(shù)解。

在近幾年的中考題目中，也已經(jīng)出現(xiàn)了類似題型的考查。

例3.（2013·綏化）某班組織20名同學(xué)去春游，同時(shí)租用兩種型號(hào)的車輛，一種車每輛有8個(gè)座位，另一種車每輛有4個(gè)座位.要求租用的車輛不留空座，也不能超載。有_______種租車方案。

解：設(shè)租用每輛8個(gè)座位的車x輛，每輛有4個(gè)座位的車y輛，

根據(jù)題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數(shù)，

∴x=1時(shí)，y=3，

x=2時(shí)，y=1，

x=3時(shí)，y=-1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于車輛數(shù)是正整數(shù)。

由此我們可以看出，二元一次方程雖然具有無(wú)數(shù)組解，但在特定條件下整數(shù)解是可以求出的，從而可以用來(lái)解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題。同樣，借鑒“消元”思想和二元一次方程整數(shù)解我們就可以順利解出剛才的硬幣問(wèn)題。

我們可以將方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通過(guò)消x得到一個(gè)二元一次方程：4y+9z=55，利用題目中隱含的x、y、z只能取非負(fù)整數(shù)解條件，我們可以求出：y=7，z=3，進(jìn)而求出x=5，至此我們就可以求出該題的答案為：1角硬幣5枚、5角硬幣7枚、1元硬幣3枚。

對(duì)于此類題目，我們可以采用以下解題過(guò)程：列兩個(gè)三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整數(shù)解→求該實(shí)際問(wèn)題解，通過(guò)消元思想和二元一次方程整數(shù)解，進(jìn)而求出該問(wèn)題的解。

（作者單位 山東省日照市東港區(qū)西湖中心初中）

？誗編輯 魯翠紅

在人教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本第112頁(yè)的拓廣探索訓(xùn)練中有一個(gè)題目為：現(xiàn)有1角、5角、1元硬幣各10枚。從中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬幣各取多少枚？

初看這道題目，可能絕大部分學(xué)生能比較順利的列出兩個(gè)等量關(guān)系式：1角硬幣數(shù)量+5角硬幣數(shù)量+1元硬幣數(shù)量=15，1角硬幣錢數(shù)+5角硬幣錢數(shù)+1元硬幣錢數(shù)=7，進(jìn)而可以列出兩個(gè)三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多學(xué)生所未曾遇到過(guò)的。如何求解呢？這兒就不可避免的應(yīng)用到二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解。

二元一次方程的解有無(wú)數(shù)組，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們往往只需要求出其非負(fù)整數(shù)解。下面試舉幾例以供參考：

例1.小虎子有一張面值為10元的人民幣，他想換成1元或2元的人民幣，請(qǐng)你想一想，可能有幾種兌換方法？

解：設(shè)可換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，則x+2y=10。

∵x、y只能取非負(fù)整數(shù)。

∴其非負(fù)整數(shù)解為：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6種兌換方法，分別為5張2元；2張1元和4張2元；4張1元和3張2元；6張1元和2張2元；8張1元和1張2元；10張1元。

例2.如果x、y為不等于0的自然數(shù)，且3x·3y=27，試求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根據(jù)冪的性質(zhì)可得x+y=3，再由x、y為不等于0的自然數(shù)可確定x、y的值。

解：因?yàn)?x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因?yàn)閤、y為不等于0的自然數(shù)，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。綜上所得：xy=2。

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閤、y為不等于0的自然數(shù)，所以本題實(shí)際上是求x+y=3的整數(shù)解。

在近幾年的中考題目中，也已經(jīng)出現(xiàn)了類似題型的考查。

例3.（2013·綏化）某班組織20名同學(xué)去春游，同時(shí)租用兩種型號(hào)的車輛，一種車每輛有8個(gè)座位，另一種車每輛有4個(gè)座位.要求租用的車輛不留空座，也不能超載。有_______種租車方案。

解：設(shè)租用每輛8個(gè)座位的車x輛，每輛有4個(gè)座位的車y輛，

根據(jù)題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數(shù)，

∴x=1時(shí)，y=3，

x=2時(shí)，y=1，

x=3時(shí)，y=-1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于車輛數(shù)是正整數(shù)。

由此我們可以看出，二元一次方程雖然具有無(wú)數(shù)組解，但在特定條件下整數(shù)解是可以求出的，從而可以用來(lái)解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題。同樣，借鑒“消元”思想和二元一次方程整數(shù)解我們就可以順利解出剛才的硬幣問(wèn)題。

我們可以將方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通過(guò)消x得到一個(gè)二元一次方程：4y+9z=55，利用題目中隱含的x、y、z只能取非負(fù)整數(shù)解條件，我們可以求出：y=7，z=3，進(jìn)而求出x=5，至此我們就可以求出該題的答案為：1角硬幣5枚、5角硬幣7枚、1元硬幣3枚。

對(duì)于此類題目，我們可以采用以下解題過(guò)程：列兩個(gè)三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整數(shù)解→求該實(shí)際問(wèn)題解，通過(guò)消元思想和二元一次方程整數(shù)解，進(jìn)而求出該問(wèn)題的解。

（作者單位 山東省日照市東港區(qū)西湖中心初中）

？誗編輯 魯翠紅