與其導(dǎo)數(shù)具有分擔(dān)值的亞純函數(shù)唯一性

陶毅翔

(寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建寧德352100)

與其導(dǎo)數(shù)具有分擔(dān)值的亞純函數(shù)唯一性

陶毅翔

(寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建寧德352100)

為進(jìn)一步豐富亞純函數(shù)唯一性理論,尋求更佳的唯一性條件,利用亞純函數(shù)Nevanlinna理論更精確地估計亞純函數(shù)的n重值點的計數(shù)函數(shù),得到兩個亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有某些分擔(dān)值時的唯一性定理,推廣和改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

亞純函數(shù);分擔(dān)值;唯一性

1 引言及主要結(jié)果

本文中,采用亞純函數(shù)的Nevanlinna理論的標(biāo)準(zhǔn)記號[1].使用S(r,f)表示任意滿足S(r,f)=o{T(r,f)}的量,可能除去r的一個線性測度有窮的集合,且它每次出現(xiàn)并不一定相同,設(shè)f(z)與g(z)為兩個非常數(shù)亞純函數(shù),k為正整數(shù),a為任意復(fù)數(shù),如果f(z)?a與g(z)?a在計重數(shù)(不計重數(shù))之下具有相同的零點,則稱f(z)與g(z)分擔(dān)a CM(IM),或者稱a為f(z)與g(z)的CM(IM)公共值.Ek(a,f)表示f(z)?a的所有k重(重級零點按其重數(shù)計算)零點的集合.Ek)(a,f)表示f(z)?a的m(≤k)重(重級零點按其重數(shù)計算)零點集合,即

E(k(a,f)表示f(z)?a的n(≥k)重零點的集合.Ek(a,f)=Ek(a,g)表示f(z)?a的k重零點當(dāng)且僅當(dāng)是g(z)?a的k重零點.若Ek)(a,f)=Ek)(a,g),則稱f(z)與g(z)以k截斷分擔(dān)復(fù)數(shù)a.

分別表示相應(yīng)于集合Ek(a,f)、Ek)(a,f)

與E(k(a,f)的計數(shù)函數(shù);于是,

對于亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有公共值時的唯一性問題,1977年,文獻(xiàn)[2]證明了:

定理A[2]設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù),a,b為兩個判別有窮復(fù)數(shù),如果E(a,f)=E(a,f′), E(b,f)=E(b,f′),則f≡f′.

1980年,文獻(xiàn)[3]證明了:

定理B[3]設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù),若對于三個判別的有窮復(fù)數(shù)a1,a2,a3,有

1986年,儀洪勛應(yīng)用楊樂方法,改進(jìn)了Gopalakrishna-Bhoosnurmath的相關(guān)結(jié)果,證明了下述:

定理C[4]設(shè)f與g為非常數(shù)亞純函數(shù),aj(j=1,2,···,q)為q個判別的復(fù)數(shù),kj(j=1,2,···,q)為正整數(shù)或∞,且滿足k1≥k2≥···≥kq,如果則f≡g.

其后,文獻(xiàn)[5-7]亦進(jìn)一步研究了亞純函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有公共值時的唯一性問題.

本文從另一個角度考慮上述問題,得到下列結(jié)果,推廣和改進(jìn)了定理A與定理B的結(jié)果:

定理1設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù),若且如果滿足下列兩種情況之一:

則f≡f′.

定理2設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù),若=1,2,···,m,

且k1≥k2≥···≥km,如果滿足下列兩種情況之一:

(ii)存在某個j0(1≤j0≤m),使

則f≡f′.

2 幾個引理

引理1設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù),bj(j=1,2,···,m)為互相判別的有窮非零復(fù)數(shù),若f?≡f′且···,m,則

證明設(shè)z0為f級零點,由引理的條件知的零點,從而z0為的零點.由于對任意均有因此由此可推知零點.于是由z0的任意性及f?≡f′,得

引理1得證.

引理2設(shè)f為非常數(shù)亞純函數(shù),則

(i)當(dāng)aj?=0(j=1,2,···,m)時.有

證明(i)由Nevanlinna第二基本定理得:

從而由引理1,可得

整理后即得(1)式.

其次,由Nevanlinna第二基本定理,得,

類似于(i)的證明,可得

整理后即得(2)式.

綜合(i)、(ii)知引理2的結(jié)論成立.

引理3設(shè)f是非常數(shù)亞純函數(shù),

則

證明(i)由引理2的證明過程可知,有

再根據(jù)引理1,得

整理后即得(3)式.

(ii)由Nevanlinna第二基本定理及本引理的(i)的證明過程知,有

分兩種情況證明:

情況Ij0=1或2,則由引理1,得

情況IIj0≥3,由引理1,得

綜合情況I和II的討論知對于1≤j0≤m,均有

整理后即得(4)式,引理3得證.

3 主要定理的證明

定理1的證明事實上,假定f?≡f′.若條件(i)滿足,則由引理2的(1)式,有

類似于引理2的(i)的證明,易于推得

由已知條件

及

結(jié)合(7)、(8)兩式即推出矛盾.若條件(ii)滿足,則由引理2的(2)式,得

再由已知,

于是有

同理可得

由(9)、(10)兩式及已知條件,

分別得

及

結(jié)合(11),(12)式亦推出矛盾.故f≡f′.定理1得證.

定理2的證明假設(shè)f?≡f′.若條件(i)滿足,則由引理3的(3)式知,

由已知條件

及

可推知

其次,類似于引理3中(i)的證明,易于推知

從而有

結(jié)合(13),(14)兩式得

這是不可能的.若條件(ii)滿足,則由引理3的(4)式,并慮及

可得

于是由已知條件

推知

同理可得

從而有

由此推出

結(jié)合(15),(16)兩式,得

這也是不可能的.故f≡f′.

定理2得證.

[1]Hayman W K.Meromorphic Functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2]Rubel L A,Yang C C.Values shared by an entire function and its derivatives,Complex analysis[C]//Proc. Conf.Univ.of Kentucky,Lexington Ky.,1976.Berlin:Springer,1977.

[3]Gundersen G G.Meromorphic functions that share fi nite values with their derivatives[J].J.Math.Anal. Appl.,1980,75:441-446.

[4]邱凎俤.與其導(dǎo)數(shù)分擔(dān)三個小函數(shù)的亞純函數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2004,18(20):340-343.

[5]Qiu Gandi.Meromorphic functions that share four small functions[J].Complex Analysis and Applications, 2006(1):218-224.

[6]邱凎俤.導(dǎo)數(shù)分擔(dān)四個值的亞純函數(shù)的唯一性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報:中文版,2012,32(5):964-973.

Uniqueness of meromorphic functions that share some values with their derivatives

Tao Yixiang

(Department of Mathematics of Ningde Normal University,Ningde352100,China)

In this paper,we try to enrich the uniqueness theory of meromorphic functions and fi nd better conditions of uniqueness.Using Nevanlinna theory of meromorphic functions,we estimate more accurately the counting function of the point with n multiplicities.Then two uniqueness theorems of meromorphic functions that share some values with their derivatives are obtained,which generalize and improve some relevant results of the reference.

meromorphic function,sharing value,uniqueness

O174.52

A

1008-5513(2014)01-0084-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.013

2013-07-15.

陶毅翔(1973-),碩士,研究方向:函數(shù)論.

2010 MSC:30D30