基于最小二乘法深孔軸線直線度誤差評(píng)定*

于大國，寧 磊，孟曉華

(1.中北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，太原 030051； 2.中北大學(xué) 山西省深孔加工工程技術(shù)研究中心,太原 030051)

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基于最小二乘法深孔軸線直線度誤差評(píng)定*

于大國1，2，寧 磊1，孟曉華1

(1.中北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，太原 030051； 2.中北大學(xué) 山西省深孔加工工程技術(shù)研究中心,太原 030051)

利用模態(tài)分析中的擬合圓法求得深孔測量截面的最小二乘圓，確定截面孔心坐標(biāo)，借助MATLAB三維繪圖指令依次連接孔心坐標(biāo)點(diǎn)得到實(shí)際深孔軸線；在得到實(shí)際深孔軸線的基礎(chǔ)上，對(duì)深孔軸線直線度誤差在任意方向上進(jìn)行評(píng)定，采用最小二乘法原理建立數(shù)學(xué)模型求得深孔軸線直線度誤差值；由MATLAB軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，所得誤差值與要求的誤差值相對(duì)比；結(jié)果表明，該方法簡單且易于計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理，能滿足深孔軸線直線度的檢測，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

測量截面；擬合圓；深孔軸線

0 引言

科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展和生產(chǎn)水平不斷提高使得機(jī)加工工業(yè)的制造精度和檢驗(yàn)測量器具有了很大程度的提高和改善，因而有關(guān)形位誤差的評(píng)定方法、評(píng)定理論、解算方法等問題的研究已成為計(jì)量學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1]。

同軸度誤差是指實(shí)際被測軸線相對(duì)于理想軸線的變動(dòng)量,理想軸線的位置應(yīng)符合最小條件[2]。深孔軸線相對(duì)本身而言不能獨(dú)立存在，只有通過軸孔圓柱面加以體現(xiàn)。因此，深孔軸線的直線度誤差就是實(shí)際軸孔圓柱各截面輪廓中心連線的直線度誤差[3]。

深孔零件的直線度誤差對(duì)其工作性能有很大影響，準(zhǔn)確評(píng)定深孔零件的直線度誤差，不但可以作為深孔零件驗(yàn)收合格的依據(jù)，還可以用來分析誤差產(chǎn)生的原因，為提高深孔零件加工精度以及裝配精度提供可靠的依據(jù)。

目前深孔軸線直線度誤差的評(píng)定方法有：最小包容區(qū)域法(最小條件法)、兩端點(diǎn)連線法及最小二乘法[4]。最小包容區(qū)域法符合國家標(biāo)準(zhǔn)精度也最高，但在很多情況下，尋找和判斷符合最小條件的理想要素很困難，所以在實(shí)際應(yīng)用中采用后兩種評(píng)定方法更為普遍[5]。兩端點(diǎn)連線法與其它兩種算法相比，計(jì)算簡單易求出基準(zhǔn)軸線，但精度較低,不適于現(xiàn)代精密測量[6]。最小二乘法理論成熟，算法簡便，誤差值僅略大于最小包容區(qū)域法,能夠滿足一般精度要求，在直線度誤差評(píng)定中得到廣泛的應(yīng)用[7]。

如何評(píng)定深孔零件軸線直線度誤差，提高深孔零件加工質(zhì)量，是人們普遍關(guān)心的問題，也是該領(lǐng)域研究人員的研究熱點(diǎn)之一[8-9]。因此研究評(píng)定深孔零件軸線直線度誤差具有非常重要的意義。

1 最小二乘圓法求解深孔軸線

將被測深孔零件放在三坐標(biāo)測量機(jī)工作臺(tái)上，測頭沿內(nèi)孔壁在軸線方向的最高和最低位置打點(diǎn)調(diào)整被測孔軸線同工作臺(tái)基本垂直，同時(shí)固定被測件，測量模型如圖1。將被測深孔零件沿孔軸向分成若干截面，每一截面布置若干采樣點(diǎn)，采樣點(diǎn)坐標(biāo)為Pij(xij,yij,zj)(i=1,2,…，m；j=1,2,…，n)，測量模型中擬合圓圓心坐標(biāo)為Cj(aj,bj,zj)，其中m為每一截面采樣點(diǎn)數(shù)，n為測量的截面數(shù)，zj坐標(biāo)為測量過程沿z上升的距離。

圖1 測量模型

假設(shè)測量過程中取第k個(gè)截面(k

圖2 測量截面數(shù)學(xué)模型

圖中：

Pik——測量截面上的任意一點(diǎn)；

Ck——測量截面擬合圓的圓心；

R——最小二乘擬合圓的半徑。

如果加工的深孔軸線沒有出現(xiàn)直線度誤差，那么測量點(diǎn)一定落在半徑為R的圓周上。實(shí)際深孔加工過程中不可避免出現(xiàn)誤差，因此測量截面上的點(diǎn)不可能剛好落在擬合圓周上，必定會(huì)存在誤差eik。

設(shè)最小二乘擬合圓的方程為

(x-ak)2+(y-bk)2=R2

那么誤差eik為

eik=(xik-ak)2+(yik-bk)2-R2

當(dāng)測量點(diǎn)在擬合圓內(nèi)部時(shí)eik<0，在外部時(shí)eik>0，由隨機(jī)誤差的特征可知，正負(fù)誤差會(huì)相互抵消，為了避免這種情況發(fā)生，我們可以將誤差eik取平方，依據(jù)最小二乘原理必須滿足誤差eik平方和最小。

具體運(yùn)算過程如下：

分別對(duì)u，v，w求偏導(dǎo)有

即

轉(zhuǎn)換成矩陣為

借助于數(shù)學(xué)軟件MATLAB求出u，v，w后，得ak=-u/2，bk=-v/2，因此第k個(gè)截面擬合圓的坐標(biāo)為Ck(-u/2，-v/2，zk)。

在上述理論基礎(chǔ)上，根據(jù)每個(gè)截面測量的點(diǎn)Pij(xij,yij,zj)分別計(jì)算出截面孔心坐標(biāo)Cj(aj,bj,zj)，依次連接各個(gè)截面孔心坐標(biāo)Cj就可以得到被測深孔零件的實(shí)際軸線。

2 最小二乘法評(píng)定深孔軸線直線度誤差

與直線度公差帶相對(duì)應(yīng)，直線度誤差分為給定平面內(nèi)、給定方向和任意方向的直線度誤差等三種形式[10]。對(duì)于回轉(zhuǎn)精度較高的回轉(zhuǎn)體零件如深孔類零件，其安裝孔心線多用任意方向上的直線度公差控制。因此將深孔軸線直線度誤差的評(píng)定歸結(jié)為任意方向的直線度誤差評(píng)定。

基于最小二乘圓法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，由MATLAB軟件計(jì)算我們可以得到各截面孔心坐標(biāo)為：C1(a1,b1,z1),C2(a2,b2,z2),…,Cj(aj,bj,zj),…,Cn(an,bn,zn), 依次連接這些點(diǎn)可以得到實(shí)際深孔軸線ls，用平行于ls的最小二乘中線ll s面包容該實(shí)際深孔軸線時(shí)，取其中具有最小直徑的圓柱面的直徑φl s作為誤差值，如圖3所示,則該n個(gè)孔心坐標(biāo)點(diǎn)的算術(shù)平均中心點(diǎn)Co(ao,bo,zo)的坐標(biāo)為：

(1)

圖3 深孔軸線直線度誤差坐標(biāo)系

根據(jù)誤差理論，所有截面孔心坐標(biāo)值的算術(shù)平均中心與其理想直線最為接近，因此以算術(shù)平均中心Co為基點(diǎn)的最小二乘擬合直線ll s是一種更為理想的直線。

設(shè)擬合直線ll s的方向向量為(l,m,n)，并且直線穿過點(diǎn)Co(ao,bo,zo)，因此可以得到擬合直線ll s的方程為：

(2)

實(shí)際深孔軸線上的任意一點(diǎn)Cj(aj,bj,zj)到擬合直線ll s的距離dj為：

dj=

(3)

f=

(4)

于是以上問題轉(zhuǎn)化為求式(4)的最小值問題，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零得

(5)

根據(jù)空間解析幾何理論，對(duì)空間擬合直線的方向數(shù)l,m,n進(jìn)行歸一化處理，即

l2+m2+n2=1

(6)

聯(lián)立式(4)和(5)求解得

(7)

將各截面孔心坐標(biāo)值Cj(aj,bj,zj)(j=1,2,…，n)代入由式(1)得到算術(shù)平均中心點(diǎn)Co(ao,bo,zo)，接著將得到的Co點(diǎn)坐標(biāo)值以及各截面孔心坐標(biāo)值Cj代入式(7)得到擬合直線方向數(shù)l,m,n，最后將方向數(shù)l、m、n和ao、bo、zo代入式(3)得到以aj、bj、zj為未知數(shù)的方程。

將各截面孔心坐標(biāo)值分別代入dj，找出其中的最大值dmax，則深孔軸線的直線度誤差值φl s為

φl s= 2(max{dj} )(j=1,2,…,n)

3 實(shí)驗(yàn)測量與結(jié)果

實(shí)驗(yàn)采用孔徑D=20mm，長度l=500mm，直線度要求為0.1mm的某一深孔零件，用測量頭對(duì)其內(nèi)孔各個(gè)截面進(jìn)行測量,取m=8，n=10。由于測量點(diǎn)比較多，將測量截面采樣點(diǎn)坐標(biāo)值省略，通過MATLAB計(jì)算得到被測截面擬合圓心坐標(biāo)值，如表1所示。

表1 被測截面擬合圓心坐標(biāo)計(jì)算值(單位：mm)

借助MATLAB三維繪圖命令，輸入表1中的被測截面擬合圓心坐標(biāo)計(jì)算值得到被測深孔零件的實(shí)際軸線三維曲線圖，如圖4所示。

圖4 實(shí)際深孔軸線三維曲線圖

由MATLAB軟件編程計(jì)算得到該深孔零件軸線直線度誤差值為0.085mm，與所要求的直線度誤差數(shù)值相差0.015mm。最小二乘法評(píng)定深孔軸線直線度誤差流程圖，如圖5所示。

圖5 深孔軸線直線度誤差評(píng)定流程圖

4 結(jié)論

綜上所述，本文采用最小二乘擬合圓法確定測量截面孔心坐標(biāo)點(diǎn)并依次連接孔心坐標(biāo)點(diǎn)得到實(shí)際深孔軸線，以最小二乘法為依據(jù)借助MATLAB編程對(duì)實(shí)際深孔軸線直線度誤差進(jìn)行評(píng)定。通過實(shí)驗(yàn)論證分析，該方法簡單，數(shù)據(jù)易于處理，適用范圍廣，能滿足深孔軸線直線度的檢測，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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(編輯 李秀敏)

Error Evaluation Method for the Axis Straightness of Deep-hole Based on Least-square Principle

YU Da-guo1,2, NING Lei1, MENG Xiao-hua1

(1.College of Mechanical Engineering and Automation, North University of China,Taiyuan 030051, China；2. Engineering Research Center for Deep-hole Drilling of Shanxi Province, North University of China ,Taiyuan 030051, China)

The method of least square principle in error evaluation is deduced from the coincidence circularity of mode analysis. The coordinate of the center of the measuring cross sections can be obtained via the method and the real axis of deep-hole can be gat from connecting the center of the hole coordinate points by using three-dimensional drawing instructions of MATLAB. On the basis of the real axis of deep-hole, carrying on evaluate arbitrary spatial straightness error of the axis of deep-hole. According to the least square principle, we can create mathematical modeling to find the axis straightness error of deep-hole finally. The experimental data can be deal with MATLAB and the resulting error value is compared to the error value of being required. The result indicates that the method is easy for data processing by computer, can satisfy the deep-hole straightness detection and has a high application value.

measuring cross sections; coincidence circularity; axis of deep-hole

1001-2265(2014)01-0039-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.01.011

2013-05-03;

2013-06-01

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51175482)；山西省國際合作項(xiàng)目“中韓合作BTA深孔加工的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性研究”(2012081030)；中北大學(xué)?；?2012111)。

于大國(1964—)，男，江蘇金湖縣人，中北大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)樯羁准庸ぜ夹g(shù)，(E-mail)909886509@qq.com;通訊作者：寧磊(1987—)，男，山東費(fèi)縣人，中北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院碩士研究生，主要研究方向?yàn)樯羁准庸ぜ夹g(shù)，(E-mail)nl_158@126.com。

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