正負(fù)折射率含缺陷1維光子晶體多通道濾波器

熊翠秀，蔣練軍，王景艷

(1.湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，益陽(yáng)413000;2.保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，保山678000)

引 言

光子晶體是指介質(zhì)的折射率或介電常數(shù)按周期性變化的人工材料，其概念最早于1987年分別由YABLONOVITCH和JOHN提出［1-2］。由于材料的周期性從而出現(xiàn)光子帶隙。當(dāng)周期性結(jié)構(gòu)中引入缺陷時(shí)會(huì)在光子帶隙內(nèi)產(chǎn)生缺陷模。由于光子晶體的光學(xué)傳輸特性具有很好的可調(diào)性，因此光子晶體在各方面有很好的應(yīng)用潛力。

隨著通信技術(shù)的發(fā)展，信息密集程度越來(lái)越高，光子晶體的出現(xiàn)正好迎合了多信道傳輸?shù)囊??；诖?，不同的研究者設(shè)計(jì)并研究了具有不同特性、適用于不同場(chǎng)合的光子晶體濾波器。如利用缺陷產(chǎn)生缺陷模［3-5］、異質(zhì)結(jié)產(chǎn)生缺陷模［6-7］、量子阱產(chǎn)生缺陷模［8-10］、普通介質(zhì)無(wú)缺陷1維光子晶體的全反射隧穿效應(yīng)產(chǎn)生缺陷模［11-13］及基于實(shí)數(shù)折射率和復(fù)折射率介質(zhì)交替排列的多通道倍頻濾波［14］等。為了增加信道傳輸數(shù)，對(duì)于利用缺陷產(chǎn)生缺陷模的光子晶體濾波器，可以通過(guò)增大高低折射率之差［15］和用正負(fù)折射率材料交替排列［16］兩種方式來(lái)增大禁帶的寬度。本文中利用第2種方法，即用正負(fù)折射率交替排列的辦法增大禁帶的寬度，采用參考文獻(xiàn)［3］中提出的1維光子晶體模型B(AB)m(ACB)n(AB)mB，利用傳輸矩陣法［17］通過(guò)MATLAB編程計(jì)算了該模型的透射譜。為了與參考文獻(xiàn)［3］中的研究結(jié)果進(jìn)行比較，僅僅把B介質(zhì)由原來(lái)的正折射率介質(zhì)變?yōu)樨?fù)折射率材料，而保持其它參量不變。研究結(jié)果顯示，該結(jié)構(gòu)在正負(fù)折射率材料交替排列時(shí)表現(xiàn)出很特別的多通道濾波特性。最后結(jié)合光的波動(dòng)理論分析了這種多通道濾波產(chǎn)生的機(jī)理。

1 理論模型和結(jié)構(gòu)參量

正負(fù)交替1維光子晶體參照參考文獻(xiàn)［3］中的模型B(AB)m(ACB)n(AB)mB，其具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中A與B是基元介質(zhì)，且B介質(zhì)為負(fù)折射材料，而C介質(zhì)為缺陷。不考慮色散和吸收，m和n為基本單元(AB)和(ACB)的重復(fù)周期數(shù)。為了與正折射率介質(zhì)的多通道濾波器的特性進(jìn)行比較，除了把B介質(zhì)的折射率取負(fù)值外，其它參量與參考文獻(xiàn)［3］中的一致，即A、B和C介質(zhì)層的折射率分別取 nA=2.6，nB=-1.45，nC=1.8，相對(duì)磁導(dǎo)率分別為μA=μC=1，μB=-1。光學(xué)厚度分別取 nAdA=λ0/4，nBdB=-λ0/4，nCdC=k× (λ0/4)，其中 dA，dB和dC分別是介質(zhì)A，B和C層的幾何厚度，λ0為中心波長(zhǎng)，k取正整數(shù)。

Fig.1 Structure of1-D photonic crystal B(AB)m(ACB)n(AB)m B

根據(jù)薄膜光學(xué)理論，波長(zhǎng)為λ的光在每層介質(zhì)中的傳輸特性可以用一個(gè)2×2的傳輸矩陣表示表示，對(duì)于第 j層，其傳輸矩陣［17］為:

式中，N是總的介質(zhì)層數(shù)。光從空氣入射到光子晶體時(shí)的反射系數(shù)表如下:

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

用傳輸矩陣法［17］計(jì)算該1維光子晶體在不同結(jié)構(gòu)參量下的透射譜。在MATLAB環(huán)境下編程計(jì)算，計(jì)算過(guò)程中光場(chǎng)頻率ω對(duì)中心頻率ω0進(jìn)行歸一化，表示為ω/ω0，歸一化頻率的步長(zhǎng)取0.000005。

2.1 (ACB)n的周期數(shù)n對(duì)缺陷模的影響

Fig.2 Transmission spectrum of B(AB)8(ACB)n(AB)8 B 1-D photonic crystalwhen n increasing

固定基本單元(AB)m的周期數(shù)m=8，介質(zhì)C層的光學(xué)厚度取 nC×dC=1×(λ0/4)，即 k=1。(ACB)n的重復(fù)周期數(shù)n從1～4增大。其它參量不變，分別取nB=1.45和nB=-1.45，計(jì)算了正入射時(shí)1維光子晶體B(AB)8(ACB)n(AB)8B的透射譜，如圖2所示。由圖2可知:(1)在ω/ω0的奇數(shù)倍附近都出現(xiàn)了以ω/ω0的奇數(shù)倍為中心的禁帶，但nB=-1.45和nB=1.45對(duì)應(yīng)的透射譜明顯不同，正負(fù)折射率交替排列1維光子晶體的每個(gè)禁帶都以?xún)蓚?cè)ω/ω0的偶數(shù)倍為界，禁帶寬度明顯比正折射率交替排列1維光子晶體的禁帶寬得多;(2)無(wú)論是正折射率材料交替排列，還是正負(fù)折射率材料交替排列，模型B(AB)m(ACB)n(AB)mB的1維光子晶體在本文中所取參量下，每個(gè)禁帶內(nèi)都有與(ACB)n重復(fù)周期數(shù)對(duì)應(yīng)的n條透射峰，這n條透射峰關(guān)于禁帶中心對(duì)稱(chēng)，隨著(ACB)n重復(fù)周期數(shù)n的增大，各透射峰間的距離逐漸減小，這一現(xiàn)象與參考文獻(xiàn)［3］中的結(jié)果一致，參考文獻(xiàn)［3］中對(duì)上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進(jìn)行了詳細(xì)的解釋。

2.2 介質(zhì)C層的光學(xué)厚度對(duì)缺陷模的影響

首先固定1維光子晶體B(AB)m(ACB)n(AB)mB的重復(fù)周期數(shù)為m=8，n=1。C層介質(zhì)的光學(xué)厚度nCdC從1×(λ0/4)增加到4×(λ0/4)，分別取 nB=1.45和 nB=-1.45，計(jì)算正入射時(shí)，光子晶體B(AB)8(ACB)n(AB)8B的透射譜如圖3所示。由圖3可知:(1)nB=1.45時(shí)，C層介質(zhì)的光學(xué)厚度分別為(λ0/4)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍時(shí)，禁帶內(nèi)分別出現(xiàn)了1條和2條透射峰，這與參考文獻(xiàn)［3］中的報(bào)道一致;(2)當(dāng)nB=-1.45時(shí)，且C層介質(zhì)的光學(xué)厚度用k×(λ0/4)，禁帶內(nèi)出現(xiàn)了k條透射峰，這現(xiàn)象與nB=1.45的情況明顯不同。

Fig.3 Transmission spectrum of B(AB)8(ACB)1(AB)8 B 1-D photonic crystalwhen the optical thickness ofmedium C increasing a—nB=1.45，k=1 b—nB=1.45，k=2 c—nB=1.45，k=3 d—nB=1.45，k=4 e—nB=-1.45，k=1 f—nB=-1.45，k=2 g—nB=-1.45，k=3 h—nB=-1.45，k=4

為進(jìn)一步說(shuō)明問(wèn)題，在其它參量不變的情況下，圖4中給出了正入射、且 nB=-1.45，m=8，n=4時(shí)，C層介質(zhì)的光學(xué)厚度nCdC從1×(λ0/4)增加到6×(λ0/4)的透射譜。由圖4可以看出，分別取k=1，2，3，4，5，6 時(shí)，禁帶內(nèi)分別有 4 × 1，4 × 2，4 × 3，4×4，4×5，4×6條透射峰，正好都有相應(yīng)的 n×k條透射峰。結(jié)合圖3e、圖3f、圖3g、圖3h和圖4可知，在所選的模型中，當(dāng)介質(zhì)A，B和C分別為正、負(fù)和正折射率材料，且各介質(zhì)層的光學(xué)厚度滿(mǎn)足nAdA=時(shí)，每個(gè)禁帶內(nèi)有n×k條透射峰，這些缺陷模以k組的形式出現(xiàn)，每組都有n條透射峰，總的缺陷模數(shù)有n×k條。

Fig.4 Transmission spectrum of B(AB)8(ACB)4(AB)8 B 1-D photonic crystalwhen the optical thickness ofmedium C increasing a—n=4，k=1 b—n=4，k=3 c—n=4，k=5 d—n=4，k=2 e—n=4，k=4 f—n=4，k=6

由上述現(xiàn)象可知，對(duì)于正負(fù)折射率介質(zhì)交替排列的1維光子晶體B(AB)m(ACB)n(AB)mB，可通過(guò)調(diào)整(ACB)n的重復(fù)周期數(shù)n和C層介質(zhì)的光學(xué)厚度nCdC，使禁帶內(nèi)出現(xiàn)所需的n×k條透射峰。與相同結(jié)構(gòu)的正折射率材料交替排列的光子晶體相比，當(dāng)n=1，且nCdC分別為λ0/4的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍時(shí)，通道數(shù)分別增大為原來(lái)的k倍和k/2倍，信道容納能力得到很大的提高。

3 多濾波通道形成的原因

為了明確多濾波通道形成的原因，以下從理論上分析濾波通道形成的機(jī)理。

該結(jié)構(gòu)相當(dāng)于在正和負(fù)折射率介質(zhì)A和B周期性排列的結(jié)構(gòu)中插入了n塊介質(zhì)C，介質(zhì)C充當(dāng)了缺陷，光子禁帶中會(huì)出現(xiàn)光場(chǎng)局域，導(dǎo)致在缺陷處由于共振隧穿，產(chǎn)生缺陷模［3］，由于有n個(gè)缺陷，故有與n對(duì)應(yīng)的n套缺陷模。當(dāng)C層介質(zhì)的光學(xué)厚度nCdC正好等于λ0/4時(shí)，正好有n條缺陷模。

對(duì)于兩端的周期結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，一塊缺陷介質(zhì)C相當(dāng)于就是一個(gè)法布里-珀羅微腔［18-19］，入射波在微腔內(nèi)作往返反射和透射，以相同入射角θ入射過(guò)來(lái)的光線平行透射出去，由于多光束干涉可以得到干涉圖樣。本文中所取參量滿(mǎn)足，則相鄰兩束出射光的光程差為:

式中，θC是C層介質(zhì)內(nèi)光線與法線之間的夾角。

當(dāng)復(fù)色光平行入射時(shí)，由于多光束干涉，只有在某些特定的頻率附近出現(xiàn)了光強(qiáng)的極大值［20］，即亮條紋，也就是缺陷模，這些光強(qiáng)極大值對(duì)應(yīng)的相鄰兩光束的光程差滿(mǎn)足:

式中，j取整數(shù)。相應(yīng)的角頻率ωj和角頻率間隔Δω分別滿(mǎn)足:

式中，c是真空中的光速。由此可見(jiàn)，每個(gè)缺陷形成一系列等頻率間距的缺陷模。由(7)式可知，當(dāng)缺陷介質(zhì)C層的光學(xué)厚度增大時(shí)，相鄰缺陷模的角頻率間隔將減小，同一個(gè)禁帶內(nèi)容納得下更多的缺陷模，相當(dāng)于缺陷模分裂。為了結(jié)合前面的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，以下僅考慮正入射情況。

(1)當(dāng) n=1，nCdC=1 ×(λ0/4)，且光束正入射時(shí)，由(7)式可知，缺陷模的歸一化角頻率和相鄰缺陷模的歸一化角頻率間隔分別為:

(2)當(dāng) n=1，即 nCdC=k× (λ0/4)，且正入射時(shí)，由(7)式可知，相鄰缺陷模的歸一化角頻率間隔變?yōu)?

而根據(jù)圖2可知，在本文中所取的模型和結(jié)構(gòu)參量下，當(dāng)nB=-1.45時(shí)，每個(gè)禁帶的歸一化角頻率寬度正好為2，因此只含一個(gè)缺陷層C時(shí)，每個(gè)禁帶都容納得下k個(gè)缺陷模，這與圖3e、圖3f、圖3g和圖3h一致。

(3)當(dāng)n≥2，nCdC=1 ×(λ0/4)，且正入射時(shí)，每個(gè)禁帶內(nèi)每個(gè)缺陷塊C產(chǎn)生一個(gè)缺陷模，因此每個(gè)禁帶內(nèi)有n個(gè)缺陷模;而nCdC=k×(λ0/4)時(shí)，每個(gè)缺陷模分裂為k條，故每個(gè)禁帶內(nèi)會(huì)出現(xiàn)n×k條缺陷模，于是出現(xiàn)了圖4中每個(gè)禁帶內(nèi)有k組透射峰，每組透射峰由n條缺陷模組成的現(xiàn)象。

值得注意的是，根據(jù)上述分析可知，每個(gè)缺陷層在禁帶內(nèi)的缺陷模應(yīng)以等間距出現(xiàn)，但圖4中的每個(gè)禁帶內(nèi)，同一組透射峰的間距基本相等，而相鄰兩組間相鄰的透射峰間距明顯不等于同一組的間距。這是因?yàn)椋毕輦€(gè)數(shù)為n，每個(gè)缺陷都產(chǎn)生k個(gè)缺陷模，因此每個(gè)缺陷對(duì)應(yīng)的缺陷模在k組透射峰的每組里有1條，故相鄰缺陷模間的角頻率間隔應(yīng)指相鄰兩組透射峰對(duì)應(yīng)缺陷模間的角頻率間隔。那么，缺陷模等間距應(yīng)指相鄰兩組透射峰對(duì)應(yīng)缺陷模間的角頻率間隔相等(如每一組透射峰從左向右數(shù)的第2條透射峰到下一組透射峰的第2條透射峰的角頻率間隔相等，每一組透射峰從左向右數(shù)的第3條透射峰到下一組透射峰的第3條透射峰的角頻率間隔相等)。從圖4b～圖4f也可以看出，相鄰兩組的對(duì)應(yīng)缺陷模間的角頻率間隔基本相等，但不是嚴(yán)格相等，這可能是因?yàn)?，缺陷模不僅受到缺陷的影響，還受到整體結(jié)構(gòu)的影響，要從解析公式表示該影響，還有待進(jìn)一步深入研究。

正好說(shuō)明了圖2e和圖3e中，每個(gè)禁帶內(nèi)都有一個(gè)透射峰，且都位于(ω/ω0)的奇數(shù)倍的位置。

4 結(jié)論

(1)在本文中所取參量下，每個(gè)禁帶的歸一化角頻率寬度為2，每個(gè)禁帶內(nèi)都出現(xiàn)了與各參量相關(guān)的缺陷模，具有超窄帶多通道濾波的特性。

(2)當(dāng)k=1時(shí)，隨著(ACB)n重復(fù)周期數(shù)n的增大，每個(gè)禁帶都出現(xiàn)了n條超窄帶缺陷模。

(3)當(dāng)k≥2，n=1時(shí)，每個(gè)禁帶內(nèi)都出現(xiàn)了k條超窄帶缺陷模。

(4)當(dāng) n≥2，nCdC=k×λ0/4時(shí)，每個(gè)禁帶內(nèi)有k組透射峰，每組透射峰都有n條缺陷模，每個(gè)禁帶內(nèi)總計(jì)有n×k條缺陷模，實(shí)現(xiàn)了多通道濾波的功能。與相同結(jié)構(gòu)模型和相同結(jié)構(gòu)參量下正折射率光子晶體的透射譜相比，一方面禁帶寬度得到了展開(kāi)，另一方面，其信道容納能力得到了提高。

對(duì)于該光子晶體模型，禁帶內(nèi)窄帶濾波器的通道數(shù)由(ACB)n重復(fù)周期數(shù)n(也就是缺陷的個(gè)數(shù))和缺陷C的光學(xué)厚度nCdC共同決定。根據(jù)所需傳輸信息的信道數(shù)和信息所處的波段，可以調(diào)整缺陷的個(gè)數(shù)和厚度，以及其它介質(zhì)的厚度，使光子晶體的結(jié)構(gòu)滿(mǎn)足信息傳輸?shù)男枨?。這對(duì)基于1維光子晶體窄帶多通道濾波器的設(shè)計(jì)和制備具有一定的參考價(jià)值。

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