基于多面循環(huán)Gerchberg-Saxton算法相位復(fù)原研究

彭金錳，李志鵬

(中國人民解放軍69213部隊(duì)21分隊(duì)，喀什844900)

引 言

光在傳輸過程中，受傳播介質(zhì)、光學(xué)儀器誤差、光學(xué)元件熱或力影響下的變形等因素影響，光波會(huì)產(chǎn)生畸變，這些因素綜合作用的結(jié)果就是成像模糊不清、分辨率降低［1］。高能激光系統(tǒng)中，受大氣湍流帶來的波前畸變影響，激光光束在遠(yuǎn)處無法有效聚焦，不能得到接近衍射極限的輸出激光光束，激光在湍流大氣中傳輸時(shí)，湍流將對(duì)它產(chǎn)生各種效應(yīng)，如光強(qiáng)閃爍、相位畸變、光斑擴(kuò)展和漂移等，這些效應(yīng)均會(huì)導(dǎo)致激光光束質(zhì)量的嚴(yán)重退化［2］，因此在實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)中，常需要測(cè)量畸變波前，為自適應(yīng)校正等應(yīng)用提供依據(jù)。

Gerchberg-Saxton(GS)算法在20世紀(jì)70年代由GERCHBERG和 SAXTON共同提出［3-4］，通過測(cè)量光瞳面和成像面的光強(qiáng)分布，利用迭代算法進(jìn)行相位恢復(fù)。在實(shí)際應(yīng)用中，GS算法可能會(huì)面臨著光瞳面光強(qiáng)無法測(cè)量的情況，必須利用其它兩個(gè)或多個(gè)位置處的光強(qiáng)信息，首先恢復(fù)這些位置的相位信息，然后利用光傳輸理論得到光瞳處的相位和振幅分布。在利用得到的相位信息計(jì)算光瞳的光場(chǎng)時(shí)，往往會(huì)增加誤差，因此，必須提高焦面或離焦面的相位恢復(fù)精度。

作為一種局部搜索算法，GS算法極易陷入局部極值，而不能得到理想的精度［5-7］，尤其是在被恢復(fù)的相位比較復(fù)雜時(shí)。為了得到更精確的解，GU等人利用中間某兩次的迭代得到的相位值進(jìn)行加權(quán)作為下次迭代的初始條件，得到了更為準(zhǔn)確的結(jié)果［8］。HUANG等人利用了3個(gè)面(1個(gè)輸入面和2個(gè)輸出面)的光強(qiáng)信息，采用與GS算法類似的迭代算法，并將當(dāng)次的相位迭代值與上次的迭代值之差作為梯度方向，在下次循環(huán)中引入了該方向的一個(gè)附加值，大幅提升了收斂的速度［9］。本文中提供了一種擴(kuò)展的循環(huán)GS算法，增加一個(gè)面的光強(qiáng)信息，使算法有機(jī)會(huì)跳出極值，達(dá)到比較高的精度。

1 光場(chǎng)傳輸理論

假定平面j的相位是 θj(j=1，2，…)，振幅分布為Fj且已知，則其光場(chǎng)為:

式中，r=1，2，3…，M;s=1，2，3…，N;M 和 N 分別為平面j兩個(gè)方向的采樣點(diǎn)數(shù)。使用角譜傳輸?shù)姆椒?，?k個(gè)面的光場(chǎng)［10］為:

式中，DFT(discrete Fourier transform)和 IDFT(inverse discrete Fourier transform)分別表示正反離散傅里葉變換，λ為波長，t和u為傅里葉變換系數(shù)，dr和ds為第j個(gè)面的橫向和縱向采樣間距，與第k個(gè)面一致。Δzkj為第k個(gè)面到第j個(gè)面的傳輸距離。由第j個(gè)面計(jì)算第k個(gè)面光場(chǎng)，公式為:

透鏡后的光場(chǎng)可以由焦平面或離焦面光場(chǎng)通過(3)式計(jì)算，而通過透鏡后，振幅可以認(rèn)為不變，只是增加了一個(gè)相位因子θ:

式中，f表示透鏡焦距，p和q表示采樣點(diǎn)坐標(biāo)。

2 算法描述

光路中任意位置的兩個(gè)或多個(gè)面光強(qiáng)分布已知的情況下，都可以利用GS算法得出這些面的相位分布，進(jìn)而計(jì)算出其它位置的光場(chǎng)。本文中選擇了焦平面和兩個(gè)離焦面光強(qiáng)，如圖1所示，對(duì)光瞳處的光場(chǎng)進(jìn)行恢復(fù)。算法流程如下:(1)給定平面1的初始嘗試相位φ0，與平面1的振幅結(jié)合;(2)利用(2)式計(jì)算平面2的光場(chǎng)，保留相位信息，與平面2的振幅結(jié)合;(3)利用(3)式，計(jì)算平面1的光場(chǎng)，保留相位信息，與平面1的振幅結(jié)合;(4)循環(huán)第2步至第3步至給定步數(shù)或評(píng)價(jià)函數(shù)達(dá)到給定值。

Fig.1 Schematic diagram of GS algorithm

只利用兩個(gè)面的光強(qiáng)信息時(shí)，往往迭代幾十次后收斂，得到的精度比較低，增加迭代次數(shù)并不能解決問題。為了能跳出局部極值，達(dá)到理想精度，這里提供了一種簡(jiǎn)單的循環(huán)方式，利用了3個(gè)面的光強(qiáng)信息進(jìn)行迭代，如圖2所示。首先利用平面1和平面2進(jìn)行迭代，收斂后利用得到平面2的相位作為初始值，與平面2的振幅結(jié)合，進(jìn)入平面2與平面3之間的迭代，得到新的平面2的相位信息。循環(huán)上述過程幾次。最后以計(jì)算得到的平面2的光場(chǎng)，利用(3)式和(4)式逆向計(jì)算光瞳處的光場(chǎng)。

Fig.2 Schematic diagram of circulatory GS algorithm

3 改進(jìn)算法仿真結(jié)果與分析

3.1 高斯光束恢復(fù)

透鏡前的光場(chǎng)振幅為高斯分布，波前由4階至10階ZERNIKE多項(xiàng)式［11］生成，系數(shù)分別為 2.9，0.72，-1.2，0.72，-0.96，-0.72，0.72 和 -0.24，光瞳區(qū)域內(nèi)波長畸變約為0.3λ，以后的例子中，光瞳處波前分布一致。波長為1.064μm，透鏡焦距500mm，光瞳直徑6mm，采樣點(diǎn)數(shù)為512×512。定義振幅誤差R為:

焦平面和距離焦平面150mm和300mm處得到的振幅分布，如圖4所示。

Fig.3 Amplitude and phase of round pupil plane a—amplitude b—phase

Fig.4 Amplitude of focal plane and two defocused planes a—focal plane b—150mm c—300mm

以零相位面作為算法的初始值，采用改進(jìn)GS算法，最終恢復(fù)出來的透鏡前的振幅和分布(見圖5)，圖5c表示復(fù)原出的波前殘差，單位為λ，后文中同此表示。

Fig.5 Retrieved amplitude，phase and residual phase error of round pupil planea—amplitude b—phase c—phase error

恢復(fù)出的波前誤差為 0.007λ，如果不考慮0.4mm的邊緣區(qū)域，光強(qiáng)在峰值的0.035以內(nèi)區(qū)域精度達(dá)到了0.002λ。

盡管透鏡前的光場(chǎng)未知，但在仿真中仍然可以監(jiān)視光瞳平面的恢復(fù)出的振幅與實(shí)際振幅分布的誤差，如圖6所示。

Fig.6 Amplitude error of plane 2 and round pupil plane vs.iteration numbera—plane2 b—pupil plane

前100次迭代即為GS算法，由圖6a可以看出，GS算法迭代幾十次后左右陷入極值，復(fù)原出的振幅誤差較大，復(fù)原出的波前分布幾乎無參考價(jià)值。這種情況在進(jìn)行迭代的光場(chǎng)波前相對(duì)復(fù)雜時(shí)更容易發(fā)生。改進(jìn)后，進(jìn)入下次循環(huán)，算法跳出了局部極值，最初平面2振幅誤差大幅增加，隨后迅速下降，收斂到更小的值。而透鏡前的振幅誤差一直下降，表明復(fù)原出的光場(chǎng)更接近實(shí)際分布。

3.2 圓形平頂光束恢復(fù)

對(duì)圓形平頂光束進(jìn)行相位恢復(fù)時(shí)，GS算法更容易陷入局部極值，在經(jīng)過10次循環(huán)后，最終波前誤差為0.0049λ?；謴?fù)結(jié)果如圖7所示。

與高斯光束波前恢復(fù)相比，需要更多循環(huán)次數(shù)，而且振幅和相位恢復(fù)結(jié)果弱于高斯光束恢復(fù)效果。

Fig.7 a—real amplitude of pupil plane b—retrieved amplitude of pupil plane c—phase error of pupil plane d—amplitude error of plane2 vs.iteration number e—amplitude error of pupil plane vs.iteration number

Fig.8 Amplitude and phase of annulus pupil plane a—amplitude b—phase

Fig.9 Retrieved amplitude，phase and phase error of annulus pupil plane a—amplitude b—phase c—phase error

3.3 圓環(huán)光束恢復(fù)

光瞳處的圓環(huán)內(nèi)徑1mm，外徑4mm。光束如圖8所示?；謴?fù)出的振幅和波前殘差如圖9所示，最終波前誤差為0.0064λ。

在對(duì)內(nèi)徑為2mm、外徑4mm的圓環(huán)光束進(jìn)行恢復(fù)時(shí)，算法經(jīng)過多次循環(huán)后精度未有提升，算法在多循環(huán)中，只在兩個(gè)局部極值間變動(dòng)，不能進(jìn)一步提高精度，這與首次循環(huán)迭代得到的結(jié)果精度不高有關(guān)。

4 結(jié)論

在光瞳處振幅未知的情況下，采用用GS算法，利用焦平面和附近一個(gè)平面上的光強(qiáng)信息對(duì)光瞳平面上的光場(chǎng)進(jìn)行復(fù)原，誤差較大，以至于無參考價(jià)值。增加一個(gè)平面后，可以比較準(zhǔn)確地重建光瞳光場(chǎng)，事實(shí)上，每一處的光場(chǎng)都可以得到準(zhǔn)確復(fù)原，優(yōu)于只利用兩個(gè)面光強(qiáng)信息的迭代得到的結(jié)果。信息量的增加，使得算法能夠有效地跳出局部極值，達(dá)到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

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