基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的雙彩色圖像加密

王 鵬，袁操今，王 林，李重光

(1.昆明理工大學(xué)理學(xué)院，昆明650500;2.南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京210023)

引 言

隨著因特網(wǎng)的迅速發(fā)展，用于傳輸或存儲(chǔ)的數(shù)字圖像也隨之大大增多。為保護(hù)圖像信息，防止非授權(quán)用戶盜取，需要利用信息安全技術(shù)對(duì)圖像進(jìn)行加密處理。在信息安全研究中，由于基于信息光學(xué)理論的加密技術(shù)具有高速、并行性好等特點(diǎn)，現(xiàn)在已經(jīng)成為了信息安全技術(shù)中一個(gè)非常重要的分支［1-5］。該理論首先由JAVIDI提出，該課題組利用4f成像系統(tǒng)和雙隨機(jī)相位編碼技術(shù)［6］，對(duì)灰度圖像的空間信息和頻譜信息做隨機(jī)調(diào)制，從而達(dá)到加密的效果。在此基礎(chǔ)上，研究人員相繼提出了基于菲涅耳變換的加密方法［7］、基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的加密方法［8］、純相位加密方法［9］等。

由于彩色圖像相對(duì)于灰度圖像，包含更多的信息，可以描述更為豐富的內(nèi)容，因此對(duì)彩色圖像的加密更具有現(xiàn)實(shí)意義。彩色圖像的加密方法眾多，大致可分為多通道和單通道兩大類。多通道的方法是將彩色圖像分解為R，G和B 3個(gè)分量，分別對(duì)3個(gè)分量按照灰度圖加密的方法進(jìn)行加密［10-12］。這類方法相對(duì)比較繁瑣，實(shí)現(xiàn)成本比較高。單通道方法則是將彩色圖像轉(zhuǎn)換成索引圖像，或是將它的R，G，B的3個(gè)分量編碼成1個(gè)灰度圖像，再對(duì)它們進(jìn)行雙隨機(jī)相位加密［13-15］。與三通道的方法相比，該類加密方法比較簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。為提高彩色圖像的加密效率，ZHANG等人［16］提出了對(duì)兩幅彩色圖像同時(shí)加密的技術(shù)，該技術(shù)將兩幅彩色圖像分別轉(zhuǎn)換成索引圖像，通過(guò)將其中一幅圖像的數(shù)據(jù)矩陣作為振幅，另外一幅圖像的數(shù)據(jù)矩陣則作為相位掩膜，將它們?cè)诳沼蛑腥诤铣梢环叶葓D像。在解密過(guò)程中，由于涉及到相位解包裹問(wèn)題，恢復(fù)原圖像經(jīng)常帶有誤差。JOSHI等人［17］提出將彩色圖像轉(zhuǎn)換成索引圖像的形式，在空域中，首先利用余弦函數(shù)對(duì)隨機(jī)密鑰進(jìn)行處理，然后使用處理后的隨機(jī)密鑰對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行調(diào)制，并以復(fù)數(shù)的形式合并組成一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣。在變換域，該復(fù)數(shù)矩陣被隨機(jī)相位掩膜調(diào)制，最終實(shí)現(xiàn)雙彩色圖像的同時(shí)加密。由于余弦函數(shù)具有周期性，因此解密密鑰并不是唯一的，降低了加密的安全性。

本文中提出了一種基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的單通道雙彩色圖像加密方法。將待加密的兩幅彩色圖像轉(zhuǎn)換成索引圖像，在加密過(guò)程，對(duì)這兩索引圖像對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣取以隨機(jī)數(shù)組為底的對(duì)數(shù)，并將得到的兩個(gè)結(jié)果構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣，再對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)矩陣進(jìn)行第1次分?jǐn)?shù)傅里葉變換。然后使用隨機(jī)相位密鑰在變換域中進(jìn)行調(diào)制，調(diào)制的結(jié)果再進(jìn)行第2次分?jǐn)?shù)傅里葉變換，最終實(shí)現(xiàn)了雙彩色圖像的同時(shí)加密。在加密過(guò)程中，圖像在空域不是受到隨機(jī)相位掩膜的調(diào)制，而是對(duì)圖像取以隨機(jī)數(shù)組為底的對(duì)數(shù)，不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像的置亂，而且空域中的隨機(jī)矩陣也實(shí)現(xiàn)了加密的作用。同時(shí)該算法能夠?qū)煞噬珗D像同時(shí)加密，相對(duì)于只能對(duì)一幅彩色圖像加密來(lái)說(shuō)，加密的效率更高。實(shí)驗(yàn)也證明了該方法具有很好的加密效果。

1 圖像加密及解密原理

1.1 索引圖像與三原色圖像

三原色圖像(red，green，blue，RGB)圖像可以分解為紅(R)、綠(G)和藍(lán)(B)3個(gè)分量，圖像的每個(gè)像素點(diǎn)都是用這3個(gè)分量對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度值來(lái)描述，如圖1a所示，右上角方框中的某個(gè)像素的3個(gè)分量的強(qiáng)度值分別是69，74和45。因此，一個(gè)M×N大小的圖像，若利用RGB模型表示，圖像矩陣大小就為M×N×3，這不僅大大占用了計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間，而且分別對(duì)3層圖像進(jìn)行加密處理，也會(huì)使計(jì)算量增大。

索引圖像則只由兩個(gè)矩陣構(gòu)成，分別是顏色映射矩陣和數(shù)據(jù)矩陣。顏色映射矩陣是1個(gè)m×3的矩陣，m的值取決于調(diào)色板的大小(最大為256)，顏色映射矩陣每行的3個(gè)值分別表示紅、綠、藍(lán)3個(gè)分量的值。數(shù)據(jù)矩陣則是1個(gè)M×N的2維矩陣。數(shù)據(jù)矩陣的作用類似于“指針”，指向顏色映射矩陣，如圖1b所示，同樣也是右上角的1個(gè)像素，在數(shù)據(jù)矩陣中對(duì)應(yīng)“186”，與顏色映射矩陣中的3個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)。由于整幅圖像共用1個(gè)顏色矩陣，就不需要再利用一個(gè)3維數(shù)組來(lái)描述圖像。比起RGB模型，索引表示大大節(jié)省了計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間。

Fig.1 The difference between the colored image and indexed image a—typical representation of a colored image b—typical representation of an indexed image

1.2 加密過(guò)程

加密過(guò)程的示意圖如圖2a所示。設(shè)待加密的兩幅圖像分別表示為p和q，將這兩幅彩色圖像分別轉(zhuǎn)換成像素點(diǎn)數(shù)為M×N的數(shù)據(jù)矩陣p1(x，y)和q1(x，y)以及顏色映射矩陣(M1，M2)。

Fig.2 The encryption and decryption process a—the algorithm for encryption b—the algorithm for decryption

分別對(duì)數(shù)據(jù)矩陣 p1(x，y)和 q1(x，y)取以r(x，y)為底的對(duì)數(shù)，r(x，y)為一個(gè)2維隨機(jī)矩陣，其大小為 M ×N，得到 z1(x，y)和z2(x，y)，數(shù)學(xué)上表示為:

將z1(x，y)和z2(x，y)以復(fù)數(shù)的形式合在一起，即z1+i z2，并對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)矩陣進(jìn)行α1階的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，將其計(jì)算結(jié)果 Z(u，v)=Fα1［z1+i z2］(Fα1表示α1分?jǐn)?shù)階的分?jǐn)?shù)傅里葉變換)，乘以隨機(jī)相位掩膜 φ(u，v)=exp［jφ(u，v)］，其中 φ(u，v)為取值在-π到π的隨機(jī)分布，得到E(u，v)=Z(u，v)×φ(u，v)。最后對(duì)E(u，v)進(jìn)行 α2階分?jǐn)?shù)傅里葉變換，得到加密后的圖像e(x'，y')。

解密方法為加密過(guò)程的逆過(guò)程，其示意圖如圖2b所示。首先對(duì)加密后的圖像e(x'，y')進(jìn)行-α2階分?jǐn)?shù)傅里葉變換，再乘以相位掩膜的共軛函數(shù)φ*(u，v)，得到Z'(u，v)。然后，對(duì) Z'(u，v)進(jìn)行-α1階分?jǐn)?shù)傅里葉變換，并分離出結(jié)果的實(shí)部和虛部，得到 z1'(x'，y')和 z2'(x'，y')。通過(guò) r(x，y)可以得到數(shù)據(jù)矩陣 p1'(x，y)，q1'(x，y)，這個(gè)過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

最后，p1'(x，y)和 q1'(x，y)與對(duì)應(yīng)的顏色映射矩陣(M1，M2)可以恢復(fù)出兩幅彩色圖像。

為客觀評(píng)價(jià)圖像的解密效果，利用均方差(mean square error，MSE)來(lái)衡量原圖像與解密圖像的差異，其表達(dá)式為:

式中，f(i，j)和 fd(i，j)分別表示原圖像和解密圖像在(i，j)處的灰度值，M×N表示圖像的尺寸。對(duì)于彩色圖像，分別計(jì)算原圖像的R，G，B 3個(gè)分量與解密圖像的R，G，B分量之間的均方差，并取其平均值［18］，即:

式中，e(r)，e(g)，e(b)分別對(duì)應(yīng)于原圖像的 R，G，B與解密圖像的R，G，B分量之間的均方差。均方差MSE的值越小，說(shuō)明兩幅彩色圖像越相似。

2 實(shí)驗(yàn)?zāi)M的結(jié)果及分析

2.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)M

在計(jì)算機(jī)模擬仿真中，待加密的兩幅彩色圖像如圖3a和圖3b所示，其像素大小均為256×256的24位彩色圖像。加密過(guò)程中使用的隨機(jī)密鑰分別為 r(x，y)和 φ(u，v)，如圖3c和圖 3d 所示，除此之外分?jǐn)?shù)階也可以作為密鑰(取α1=α2=1.2)，利用本文中提出的方法對(duì)圖3a和圖3b兩幅圖像加密，得到圖3e的結(jié)果，經(jīng)過(guò)加密處理后，兩幅圖像已經(jīng)加密成一幅穩(wěn)定的白噪聲圖像，完全看不出原始圖像。利用解密過(guò)程，可以獲得原圖像，如圖3f和圖3g所示。從上面的結(jié)果可以看出，在視覺(jué)上無(wú)法區(qū)分原彩色圖像和解密得到的彩色圖像，證明了該加密(解密)算法的可行性。

Fig.3 a—the original color image:office b—the original color image:mandrill c—the 2-D random matrix d—the random phase mask e—encrypted image f—decrypted image of office g—decrypted image ofmandrill

利用(6)式可計(jì)算出兩幅解密后的彩色圖像與原始彩色圖像之間的均方差分別為4.6403×10-4和8.3864×10-4。從客觀上也證明了解密出的彩色圖像與原始彩色圖像差異非常小，可以忽略，認(rèn)為對(duì)應(yīng)的兩幅彩色圖像相同。

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的可行性，選取100幅不同的彩色圖像作為試驗(yàn)樣本。實(shí)驗(yàn)中，在試驗(yàn)樣本中任意抽取2幅圖像作為加密圖像采用該加密算法進(jìn)行加密、解密。部分試驗(yàn)結(jié)果(從論文篇幅考慮，只列舉了兩組4幅彩色圖像的加密(解密)結(jié)果)如圖4所示。“original images”中每組的2幅彩色圖像作為待加密的原始圖像;“encrypted image”是為使用本文中的算法對(duì)原始圖像的加密結(jié)果;“decrypted images”為相應(yīng)的解密圖像;EMSE表示解密圖像與相對(duì)應(yīng)的原始圖像之間的均方誤差，其結(jié)果均小于10-3，可以認(rèn)為對(duì)應(yīng)兩幅圖像相同，也進(jìn)一步證明了該加密算法的普適性。

在相同的計(jì)算機(jī)配置下(CORETMi5處理器，主頻2.5GHz，2G內(nèi)存，MATLAB軟件)，還模擬了在分?jǐn)?shù)傅里葉變換域多通道的彩色圖像加密技術(shù)［11］，并比較了該技術(shù)與本文中算法對(duì)兩幅彩色圖像(像素大小為256×256，24位bmp格式)加密所需的時(shí)間，其加密時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果依次為1.967s，0.472s。從該結(jié)果看，本文中算法具有更高的加密效率。

Fig.4 A part of experimental result

2.2 安全分析

2.2.1 分?jǐn)?shù)階的安全性能 取分?jǐn)?shù)階在(1.15，1.24］之間，等間隔0.005，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)解密結(jié)果的均方差，如圖5所示，橫坐標(biāo)表示分?jǐn)?shù)階的取值，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)解密結(jié)果的均方差。從結(jié)果上看，僅當(dāng)分?jǐn)?shù)階α1=α2=1.2時(shí)，才能正確解密出原彩色圖像的信息。而且在α1=α2=1.2處曲線發(fā)生了突變，說(shuō)明分?jǐn)?shù)階密鑰具有很高的靈敏度，所以在未知分?jǐn)?shù)階的情況下很難解出正確的結(jié)果。

2.2.2 隨機(jī)密鑰的安全性能 隨機(jī)密鑰有r(x，y)和φ(u，v)。其中若密鑰r(x，y)部分錯(cuò)誤的情況下，計(jì)算對(duì)應(yīng)的解密圖像，如圖6所示。圖6a、圖6d分別為錯(cuò)誤尺寸為密鑰的1/4和1/8，圖中黑色部分為密鑰的未知或錯(cuò)誤部分;圖6b、圖6c以及圖6e、圖6f分別對(duì)應(yīng)于使用密鑰圖6a和圖6d進(jìn)行解密的結(jié)果(圖中EMSE表示解密圖像與原圖像之間的MSE值)。從結(jié)果來(lái)看，完全無(wú)法分辨出解密結(jié)果的圖像信息，從而驗(yàn)證了密鑰r(x，y)具有很高的安全性。

Fig.5 MSE against variation in fractional orders

Fig.6 Security of r(x，y)

如果密鑰φ(u，v)部分錯(cuò)誤的情況下，解密的結(jié)果如圖7所示。圖7a、圖7d分別為錯(cuò)誤尺寸為密鑰的1/4和1/8;圖7b、圖7c、圖7e和圖7f分別對(duì)應(yīng)于使用密鑰圖7a和圖7d進(jìn)行解密得到的圖像。從結(jié)果來(lái)看，只能獲取圖像的部分信息，說(shuō)明密鑰φ(u，v)有一定的安全性能。

Fig.7 Security ofφ(u，v)

2.2.3 顏色映射矩陣的安全性能 顏色映射矩陣保存的是彩色圖像的顏色信息，加密系統(tǒng)中，顏色映射矩陣也可以作為密鑰。在顏色映射矩陣M1和M2的部分?jǐn)?shù)據(jù)錯(cuò)誤，其它密鑰均正確的情況下，解密結(jié)果如圖8所示。圖8a和圖8b為20%的數(shù)據(jù)錯(cuò)誤(實(shí)驗(yàn)中，錯(cuò)誤數(shù)據(jù)均設(shè)為0)時(shí)的解密結(jié)果;圖8c和圖8d為10%的數(shù)據(jù)錯(cuò)誤時(shí)的解密結(jié)果。從結(jié)果上看，雖然能分辨出圖像的基本輪廓，但是圖像的顏色發(fā)生了嚴(yán)重的畸變，說(shuō)明顏色映射矩陣有較好的安全性能。

Fig.8 Security of the colormappingmatrix

3 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換單通道的雙彩色圖像的加密算法。該算法在空域中，將兩幅彩色圖像表示為索引圖像，對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣分別取以隨機(jī)數(shù)組為底的對(duì)數(shù)，并將得到的兩個(gè)結(jié)果組合成一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣。這個(gè)復(fù)數(shù)矩陣在變換域受到了隨機(jī)相位密鑰的調(diào)制，從而實(shí)現(xiàn)雙彩色圖像的同時(shí)加密。在該算法中，無(wú)論空域中的隨機(jī)數(shù)組還是變換域中的隨機(jī)相位掩膜，都能很好地起到加密作用，不會(huì)因?yàn)閳D像為實(shí)數(shù)矩陣時(shí)，空域中的密鑰無(wú)法起到加密的作用。除此之外，加密(解密)過(guò)程使用的是分?jǐn)?shù)傅里葉變換，該變換的分?jǐn)?shù)階以及顏色映射矩陣也都可以作為密鑰，所以該加密系統(tǒng)具有很好的加密性能。由于該算法對(duì)兩幅彩色圖像同時(shí)加密，而且加密系統(tǒng)并沒(méi)有因此變得復(fù)雜，所以該算法對(duì)彩色圖像加密的效率更高。模擬實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性，并具有很高的安全性。

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