時(shí)標(biāo)上的變時(shí)滯二維動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)性

余晉昌 鄧立虎

（1.東莞理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東東莞 523808；2.東莞理工學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，廣東東莞 523808）

時(shí)標(biāo)上的變時(shí)滯二維動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)性

余晉昌1鄧立虎2

（1.東莞理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東東莞 523808；2.東莞理工學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，廣東東莞 523808）

利用廣義Riccati變換和不等式技巧，討論一類時(shí)標(biāo)上具有兩個(gè)變時(shí)滯的二維動(dòng)力系統(tǒng)的解的振動(dòng)性質(zhì)，得到的振動(dòng)定理既適用于變時(shí)滯二維動(dòng)力系統(tǒng)，也適用于變時(shí)滯二維微分系統(tǒng)和差分系統(tǒng)及某些二階時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)。

二維；時(shí)滯；動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；振動(dòng)；時(shí)標(biāo)

1988年，德國(guó)人Stefan Hilger教授在他的博士論文［1］中首次提出了測(cè)度鏈理論，有三個(gè)主要目的：統(tǒng)一，推廣和離散化。一個(gè)時(shí)標(biāo)（Time Scales）是指實(shí)數(shù)集的一個(gè)非空閉子集，通常用字母T表示，它具有由R誘導(dǎo)的拓樸和R中的順序關(guān)系。在T上定義了前跳算子σ（t）：=inf｛s∈T：s＞t｝和后跳算子ρ（t）：=sup｛s∈T：s＜t｝。對(duì)于函數(shù)f：T→R，如果

存在（此處fΔ（t）要求t∈Tk：=T｛m｝，其中m為T(mén)的最大孤立點(diǎn)，）我們就說(shuō)fΔ（t）是函數(shù)f（t）在t∈T處的Δ-微分。即對(duì)任意的ε＞0，存在U=（t-δ，t+δ）∩T，使得對(duì)所有的s∈U，有

成立。f的Δ-微分與其步差算子μ（t）=σ（t）-t之間有fσ=f+μfΔ，其中fσ=f?σ。對(duì)任意兩個(gè)Δ -可微函數(shù)f和g，它們的積和商Δ-微分分別為

當(dāng)a，b∈T，f，g∈Crd時(shí)，有

及

有關(guān)時(shí)標(biāo)理論的論著，這里建議讀者參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。研究時(shí)標(biāo)理論，既是數(shù)學(xué)理論本身發(fā)展的需要，也是實(shí)際問(wèn)題的需要。由于實(shí)際問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的時(shí)標(biāo)動(dòng)態(tài)方程可解決把停止——開(kāi)始行動(dòng)和連續(xù)行動(dòng)結(jié)合在一起的問(wèn)題，因此計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)、工程技術(shù)、物理學(xué)等領(lǐng)域的許多問(wèn)題用時(shí)標(biāo)動(dòng)態(tài)方程來(lái)描述更能揭示其本質(zhì)屬性。例如，利用這一理論建立的昆蟲(chóng)種群模型和電網(wǎng)模型更加切合實(shí)際［2-3］。

本文討論時(shí)標(biāo)T上的二維變時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)：

的解的振動(dòng)性質(zhì)。

總假定系統(tǒng)（1）中的系數(shù)及時(shí)滯滿足下列條件：

（A3）f，g∈C（R，R）是單調(diào)不減函數(shù)，且對(duì)u≠0，有uf（u）＞0，ug（u）＞0.

本文總假定t0∈T，h1（t0），h2（t0）∈T，記［t0，∞）T：=［t0，∞）∩T。

為了方便，定義

稱實(shí)值函數(shù)組（x（t），y（t））為系統(tǒng)（1）的一個(gè)解，如果x，y∈［t0，∞）T，R）且在［t0，∞）T上滿足系統(tǒng)（1）。而這里感興趣的是系統(tǒng)（1）在區(qū)間［tx，∞）T（tx≥t0）上滿足條件sup｛x（t）+ y（t）：t＞tx｝＞0的解。習(xí)慣上，定義在區(qū)間［T0，∞）上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)稱為是振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn)，否則稱它是非振動(dòng)的。系統(tǒng)（1）的解稱為是振動(dòng)的，如果它的兩個(gè)分量x（t），y（t）都是振動(dòng)的，否則稱它是非振動(dòng)的。系統(tǒng)（1）稱為是振動(dòng)的，如果它的每個(gè)解都是振動(dòng)的。

當(dāng)T=R時(shí)，

這時(shí)，系統(tǒng)（1）為二維時(shí)滯微分系統(tǒng)：

當(dāng)h1（t）=h2（t）=t時(shí)，系統(tǒng)（2）為二維微分系統(tǒng)：

系統(tǒng)（2）及（2＇）的解的振動(dòng)性的有關(guān)結(jié)果可參見(jiàn)文獻(xiàn)［4-6］。當(dāng)T=N且｛an｝及｛bn｝為非負(fù)序列時(shí)，我們有

這時(shí)，系統(tǒng)（1）為二維時(shí)滯差分系統(tǒng)：

這時(shí)，系統(tǒng)（1）為二維時(shí)滯差分系統(tǒng)，有關(guān)二維差分系統(tǒng)的解的振動(dòng)性有關(guān)結(jié)果參見(jiàn)文獻(xiàn)［7-8］。

當(dāng)T=h N：=｛hk：k∈N，h＞0），有

這時(shí)，系統(tǒng)（1）為二維時(shí)滯步差系統(tǒng)：

當(dāng)T=qN0：=｛t：t=qn，n∈N0，q＞1），有

這時(shí)，系統(tǒng)（1）為二維時(shí)滯步差系統(tǒng)：

另外，當(dāng)系統(tǒng)（1）中系數(shù)a（t）在［t0，∞）T上為正，且對(duì)任意的u∈R，有f（u）=u時(shí)，系統(tǒng)（1）變成二階時(shí)滯動(dòng)態(tài)方程：

文獻(xiàn)［9］討論了時(shí)標(biāo)上的二維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的振動(dòng)性，得到了時(shí)標(biāo)上的二維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)振動(dòng)的若干準(zhǔn)則，本文借助文獻(xiàn)［9］的方法，討論時(shí)標(biāo)上的變時(shí)滯二維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（1）的振動(dòng)性，我們得到的振動(dòng)準(zhǔn)則既適用于變時(shí)滯二維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，也適用于變時(shí)滯二維微分系統(tǒng)和差分系統(tǒng)及某些二階時(shí)滯動(dòng)態(tài)方程。有關(guān)時(shí)標(biāo)上的動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)性的最新結(jié)果，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［10-15］。

1 引理

主要結(jié)果的證明要用到下面的兩個(gè)引理，敘述如下：

引理1 假定（A1）～（A3）成立，又設(shè)（x（t），y（t））是系統(tǒng)（1）的一個(gè)非振動(dòng)解，那么分量x（t）是非振動(dòng)的，且分量x（t）與y（t）最終同號(hào)。

證明 設(shè)（x（t），y（t））是系統(tǒng)（1）的一個(gè)解，且分量x（t）是振動(dòng)的，而分量y（t）是非振動(dòng)的。不失一般性，設(shè)在［t0，∞）T上有y（t）＞0，由系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程及假設(shè)（A2），在［t0，∞）T上，有xΔ（t）≥0。因此，對(duì)充分大的t，有x（t）＞0或x（t）＜0，這將導(dǎo)致矛盾。因此，分量x（t）與y（t）有相同的振動(dòng)性。

設(shè)（x（t），y（t））是系統(tǒng)（1）的一個(gè)非振動(dòng)解，且在［t0，∞）T上分量x（t）＞0，x（h1（t））＞0。那么，由系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程，得到在［t0，∞）T上有yΔ（t）≤0。因此，對(duì)t≥t0，有兩種情形：y（t）＞0或y（t）＜0。如果后一種情形成立，由（1）可知，yΔ（t）≤0且xΔ（t）≤0。注意到y(tǒng)（hσ2（（t））≤y（h2（t））且g是單調(diào)不減的，我們有

這就導(dǎo)致了矛盾。同理可證，分量x（t）＜0可推出y（t）＜0，對(duì)t≥t0。引理1證完。

引理2 假定q：T→R在時(shí)標(biāo)T是Δ-可微的，p∈C1（R，R）。那么p°q：T→R也是Δ-可微的，且有

引理2的證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。

2 主要結(jié)果及證明

這一節(jié)，我們來(lái)建立系統(tǒng)（1）的振動(dòng)準(zhǔn)則，有

定理1 假定條件（A1）～（A3）成立，又設(shè)f，g∈C1（R，R）且滿足

則系統(tǒng)（1）在［t0，∞）T上是振動(dòng)的。

證明（反證法） 設(shè)（x（t），y（t））（t≥t0）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)非振動(dòng)解。不失一般性，由引理1，我們可設(shè)x（t）＞0，x（h1（t））＞0及y（t）＞0，y（h2（t））＞0，y（hσ2（t））＞0，（t≥t0）。定義

對(duì)（8）式微分，由系統(tǒng)（1），引理2及條件（i）（ii），有

在上面不等式的兩邊同乘B（t）hΔ1（t），再?gòu)膖0到t積分，由分部積分公式（參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］），有

事實(shí)上，由系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程及（8），有

由于f（x），x（t）是單調(diào)不減的，有

由（10）與（11）式及條件（iii），有

定理2 假定條件（A1）～（A3）成立，又設(shè)f，g∈C（R，R）滿足

則系統(tǒng)（1）在［t0，∞）T上是振動(dòng)的。

證明（反證法） 設(shè)（x（t），y（t））（t≥t0）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)非振動(dòng)解。不失一般性，由引理1，可設(shè)x（t）＞0，x（h1（t））＞0及y（t）＞0，y（h2（t））＞0，y（hσ2（t））＞0，（t≥t0）。由系統(tǒng)（1）可知，xΔ（t）≥0，yΔ（t）≤0，t≥t0。因而存在且有限。對(duì)系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程從t0到σ（t）上積分得

因此，有

由條件（i）及（15）式，得

再由系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程，有

從而

由上式，再根據(jù)y（t）單調(diào)不增及f，g單調(diào)不減，有

由條件（iii）中的（14）式及（17）式，得

上式與條件（ii）中的（13）相矛盾。定理2證完。

定理3 假定條件（A1）～（A3）成立，又設(shè)f，g∈C（R，R）且滿足

則系統(tǒng)（1）在［t0，∞）T上是振動(dòng)的。

證明（反證法） 設(shè)（x（t），y（t））（t≥t0）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)非振動(dòng)解。不失一般性，由引理1，可設(shè)x（t）＞0，x（h1（t））＞0及y（t）＞0，y（h2（t））＞0，y（t））＞0，（t≥t0）。由系統(tǒng)（1）可知，xΔ（t）≥0，yΔ（t）≤0，t≥t0。因而有≥0存在且有限。對(duì)系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程從σ（t）到∞上積分得

由（18）及（21）式，有

上式從t1（t1≥t0）到t積分，由條件（iii），有

上式與條件（ii）中的（19）相矛盾。定理3證完。

定理4 假定條件（A1）～（A3）成立，又設(shè)f，g∈C（R，R）且滿足

（i）A（t）＜∞，t∈［t0，∞）T；

（ii）在［t0，∞）T上，對(duì)于正常數(shù)k，有

則系統(tǒng)（1）在［t0，∞）T上是振動(dòng)的。

證明（反證法） 設(shè)（x（t），y（t））（t≥t0）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)非振動(dòng)解。不失一般性，由引理1，我們可設(shè)x（t）＞0，x（h1（t））＞0及y（t）＞0，y（h2（t））＞0，y（t））＞0，（t≥t0）。由系統(tǒng)（1）可知，xΔ（t）≥0，yΔ（t）≤0，t≥t0.因而有=α≥0。對(duì)系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程從σ（t）到s上積分得

上式中令s→∞，有

再由（23）式及系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程，有

于是，

因此，

上式從t0到t積分，由條件（ii），有

這與y（t）＞0，（t≥t0）相矛盾。定理4證完。

由定理1～4，可以得到二維時(shí)滯微分系統(tǒng)與差分系統(tǒng)的振動(dòng)準(zhǔn)則，這里不再贅述。

作為例子，考慮下面的時(shí)滯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

存在，及

另外，

即條件（19）及（20）成立。因此，由定理3知，系統(tǒng)（24）是振動(dòng)的。

［1］ Hilger S.Analysis on measure chains—a unified approach to continuous and discrete calculus［J］.Results Math，1990（19）：18-51.

［2］ Bohner M，Peterson A.Dynamic Eruation on Time Scales：An Introduction with Application［M］.Birkhauser：Boston，2001.

［3］ Agarwal R P，Bohner M，O’Regan D.Dynamic eruation ontime scales：A survey［J］.JComput Math Appl，2002（141）：1-26.

［4］ Kordonis I-G E，Philos Ch G.Onthe oscillation of nonlinear two-dimensional differential systems［J］.Proc Amer Math Soc，1998（126）：1661 -1667.

［5］ Kwong M K，Wong JSW.Oscillation of Emden-Fowler systems［J］.Differential Integral Eruations，1998（2）：133-141.

［6］ Yu JC.Oscillationtheorems for a class of two-dimensional delay differential systems［J］.Ann Of Diff Ers，2013，29（1）：107-113.

［7］ Jiang J，Tang X.Oscillation and asymptotic behavior of two-dimensional difference systems［J］.JComput Math Appl，2007（54）：1240-1249.

［8］ Jiang J，Li X.Oscillation and non-oscillation of two-dimensional difference systems［J］.JComput Math Appl，2006（188）：77-88.

［9］ Xu Y，Xu Z T.Oscillation criteria for two-dimensional dynamic systems ontime scales［J］.JComput Math Appl，2009（225）：9-19.

［10］ Sahiner Y.Oscillation of second order delay differential equations ontime scales［J］.Nonlinear Anal，2005（63）：1073-1080.

［11］ Zhang B G，Zhu S.Oscillation of second-order nonlinear delay dynamic equations ontime scales［J］.ComputMath Appl，2005（49）：599-609.

［12］ Wang B，Xu Z T.Oscillation of second order neutral Emder-Fowler delay dynamic equations of mixed type［J］.Dynamic Systems and Applications，2009（18）：441-456.

［13］ Huang X C，Xu Z T.Kamenev-type and interval oscillationtheorems for second order nonlinear delay dynamic equations［J］.Dynamic Systems and Applications，2009（18）：571-588.

［14］ Saker SH.Oscillation of nonlinear dynamic equations ontime scales［J］.Appl Math Comput，2004（148）：81-91.

［15］ Saker SH.Oscillation of second order neutral delay nonlinear dynamic equations ontime scales［J］.JComput ApplMath，2006（187）：123 -141.

The Oscillation of Two-DimensionalDelay Dynamic Systems on Time Scales

YU Jin-c hang1DENG Li-hu2

（1.Computer College，Dongguan University of Technology，Dongguan 523808，China；
2.Editorial Department of Journal，Dongguan University of Technology，Dongguan 523808，China）

By the use of generalized Riccati transformation and ineruality technirue，this paper studies the oscillation of two-dimensional delay dynamic systems on time scales.Our results not only unify the oscillation of two-dimensional delay differential systems on time scales，but also include the oscillation results for delay differential systems，providing new oscillation criteria for delay difference systems.

two-dimensional；delay；dynamic systems；oscillation；time scales 2000

34K11；34CK10；39A10；34B10

O175

符：A

1009-0312（2014）03-0001-07

2014-02-19

余晉昌（1964—），男，廣東大埔人，副教授，主要從事泛函微分方程研究。

MR（2000）主題分類：34C10；34K11；35B10；39A10