匹配博弈理論及其發(fā)展*

李建榮，吳欲波

（1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631；2.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院學(xué)報(bào)期刊社，景德鎮(zhèn)333000)

引言

2012年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了美國(guó)哈佛大學(xué)教授埃爾文·羅斯(Alvin Roth)與美國(guó)洛杉磯加州大學(xué)教授羅伊德·夏普利(Lloyd Shapley)，獲獎(jiǎng)原因是兩位在“穩(wěn)定匹配理論和市場(chǎng)設(shè)計(jì)實(shí)踐”方面所作出的貢獻(xiàn)。

匹配是市場(chǎng)的重要功能之一。誰(shuí)得到了哪一份工作，誰(shuí)進(jìn)了哪一所學(xué)校，誰(shuí)同誰(shuí)結(jié)了婚，誰(shuí)在哪里買了房產(chǎn)等等，都是匹配的結(jié)果。Gale and Shapley （1962）[1]年發(fā)表在 《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》(American Mathematical Monthly)上的文章“College admissions and the stability ofmarriage”，標(biāo)志著匹配博弈理論的誕生。匹配博弈理論運(yùn)用博弈理論研究現(xiàn)實(shí)雙方市場(chǎng)的穩(wěn)定、及因缺乏穩(wěn)定而失靈問(wèn)題。該文研究了兩個(gè)現(xiàn)實(shí)的雙方市場(chǎng)：婚姻市場(chǎng)和大學(xué)招生市場(chǎng)；以這兩個(gè)市場(chǎng)為模型，定義了一對(duì)一和多對(duì)一匹配、理性匹配、穩(wěn)定匹配；還給出了一個(gè)尋找穩(wěn)定匹配的算法：拒絕-接受算法。后繼文獻(xiàn)將它們統(tǒng)稱為Gale-Shapley模型(GS模型)。GS模型成為匹配理論和匹配機(jī)制領(lǐng)域的奠基性模型，拒絕-接受算法不僅成為修復(fù)市場(chǎng)失靈和構(gòu)建新市場(chǎng)的必須工具，還日漸成為檢驗(yàn)市場(chǎng)設(shè)計(jì)的“經(jīng)濟(jì)工程師”。

作為博弈理論的一個(gè)獨(dú)立分支，匹配博弈理論自創(chuàng)立至今已有半個(gè)世紀(jì)，從未淡出經(jīng)濟(jì)學(xué)家的視野，始終處在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的前沿，并被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)的研究。然而，國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)學(xué)界對(duì)匹配博弈理論的研究和運(yùn)用卻極為欠缺。

鑒于此，本文系統(tǒng)介紹了匹配博弈理論的基本模型及其發(fā)展與應(yīng)用，指出其未來(lái)的發(fā)展方向，希望能彌補(bǔ)國(guó)內(nèi)相關(guān)研究的空白，為后繼者進(jìn)一步深入研究匹配博弈理論并應(yīng)用于中國(guó)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題提供參考。

一、匹配博弈理論的基本模型及算法

（一）匹配博弈理論的基本模型

市場(chǎng)由n個(gè)機(jī)構(gòu)和m個(gè)個(gè)體組成，為了敘述的便利，沿用既有文獻(xiàn)慣于的術(shù)語(yǔ)，分別稱他們?yōu)槠髽I(yè)和工人， 并用兩個(gè)不相交的集合F=｛f1， L ，fn｝和 W=｛w1， L，wm｝表示。 一個(gè)匹配是從工人一方到企業(yè)一方的一個(gè)映射，確定了每一個(gè)工人到哪一家企業(yè)工作，每一個(gè)企業(yè)招聘了哪些工人，及哪些工人與哪些企業(yè)沒(méi)有發(fā)生匹配①。一個(gè)匹配是穩(wěn)定的指，每一個(gè)參與者的匹配對(duì)象都是可接受的，且不存在一對(duì)未發(fā)生匹配的參與者，他們互相偏好與對(duì)方發(fā)生匹配②。

如果每一個(gè)工人最多能到一家企業(yè)工作，每一個(gè)企業(yè)最多能招聘一個(gè)工人，這樣的匹配被稱為一對(duì)一匹配（如婚姻市場(chǎng)）；如果每一個(gè)工人最多能到一家企業(yè)工作，而一個(gè)企業(yè)卻可以招聘多個(gè)工人，這樣的匹配被稱為多對(duì)一匹配（如勞動(dòng)力市場(chǎng)）；如果一個(gè)工人可以到多家企業(yè)工作，一個(gè)企業(yè)可以招聘多個(gè)工人，這樣的匹配被稱為多對(duì)多匹配（如勞動(dòng)力市場(chǎng)中有些工人身兼數(shù)職）。于是，多對(duì)一匹配是一對(duì)一匹配的一般化，多對(duì)多匹配是多對(duì)一匹配的一般化，是最一般化的匹配模型；在一對(duì)一和多對(duì)多市場(chǎng)，工人與企業(yè)具有對(duì)稱的地位，但在多對(duì)一市場(chǎng)，不存在這種對(duì)稱性。

因?yàn)槎鄬?duì)一匹配應(yīng)用最廣泛，所以側(cè)重以多對(duì)一匹配作為介紹標(biāo)的。規(guī)范地，我們給出如下多對(duì)一匹配定義。

定義1.一個(gè)匹配μ是從集合F∪W到由F∪W的所有子集構(gòu)成的集合的一個(gè)映射，滿足對(duì)所有工人w?W 和所有企業(yè) f?F，有

條件（i）表明μ是一個(gè)映射③，條件（ii）表明匹配的雙方特性：一個(gè)工人到一家企業(yè)工作，意味著這家企業(yè)招聘了這個(gè)工人。

每一個(gè)企業(yè)f?F在W的所有子集上有一個(gè)嚴(yán)格的、完備的、具有傳遞性的偏好P（f），具有如下形式：P（f）=S1，S2，φ，S3，表示如果讓 f在所有工人中作選擇，那么它的第一選擇是聘用 S1中的所有工人；如果 S1中有工人拒絕被它聘用，即S1對(duì)f是不可獲得，那么它將聘用S2中的所有工人；如果S2也不可獲得，那么它將選擇不招聘任何工人，即便其他工人集合，如S3是可獲得。這時(shí)稱S1和S2是可接受的對(duì)象，S3是不可接受的對(duì)象。 用 SP（f）S'表示 f偏好 S 勝于 S'，SR（f）S'表示 f偏好 S 不少于 S'，SR（f）φ 表示 S 是 f的可接受的對(duì)象。

每一個(gè)工人w?W在所有企業(yè)F上有一個(gè)嚴(yán)格的、完備的、具有傳遞性的偏好P（w）；用fP（w）f'表示w偏好 f勝于 f'，fR（w）f'表示 w 偏好 f不少于 f'，fR（w）φ 表示 f是 w 的可接受的對(duì)象。

用P=｛f1,L,fn,w1,L,wm｝表示所有參與者偏好的集合，稱為偏好束。

給定一群工人S?W和一個(gè)偏好束P，每一個(gè)企業(yè)f都能夠確定它在S中最想聘用哪些工人，用Cf（S）表示，稱為 f在 S 中的選擇集。 即 Cf（S）?S，且對(duì)任意的 S'?S，Cf（S）R（f）S'。 下面定義匹配的穩(wěn)定性。

定義 2.如果匹配 μ 滿足：對(duì)所有的個(gè)體 k?F∪W，μ(k)R(k)φ；對(duì)所有的企業(yè) f?F，Cf(μ(f))=μ(f)；稱 μ 是一個(gè)穩(wěn)定匹配①。

（二）拒絕接受算法

匹配博弈理論的首要和核心工作是考證所研究的市場(chǎng)是否存在穩(wěn)定匹配。當(dāng)企業(yè)在所有工人個(gè)體上具有嚴(yán)格偏好時(shí)，Gale and Shapley(1962)利用拒絕接受算法證明了，市場(chǎng)一定存在穩(wěn)定匹配。在匹配穩(wěn)定性的研究上，拒絕接受算法至今仍是一個(gè)有效的算法。

拒絕接受算法分工人求職和企業(yè)招聘兩種，算法程序相同，不同的是由哪一方提議哪一方做選擇。給定偏好束P，由工人提議的拒絕接受算法程序如下：

● 第一步：每一個(gè)工人向他可接受的最偏好的企業(yè)遞交求職申請(qǐng)；每一個(gè)企業(yè)在它收到的所有申請(qǐng)中留下它選擇集中的申請(qǐng)，拒絕掉所有其它的申請(qǐng)。

● 第k步：每一個(gè)工人向還未拒絕過(guò)他的他可接受的最偏好的企業(yè)遞交求職申請(qǐng)；每一個(gè)企業(yè)在他收到的所有申請(qǐng)中留下它選擇集中的申請(qǐng)，拒絕掉所有其它的申請(qǐng)。

當(dāng)沒(méi)有拒絕發(fā)生時(shí)，算法結(jié)束；屆時(shí)，每一個(gè)企業(yè)聘用它在算法最后一步驟中接受的所有工人，算法產(chǎn)生了一個(gè)匹配μw。

由企業(yè)提議的拒絕接受算法程序如下：

● 第一步：每一個(gè)企業(yè)向它在所有工人集合上的選擇集中的每一個(gè)工人發(fā)聘用申請(qǐng)；每一個(gè)工人在他收到的所有申請(qǐng)中，留下他可接受的最偏好的企業(yè)申請(qǐng)，拒絕掉所有其它的申請(qǐng)。

● 第k步：每一個(gè)企業(yè)向它在所有還未拒絕過(guò)它的工人集合上的選擇集中的每一個(gè)工人發(fā)聘用申請(qǐng)；每一個(gè)工人在他收到的所有申請(qǐng)中，留下他可接受的最偏好的企業(yè)申請(qǐng)，拒絕掉所有其它的申請(qǐng)。

當(dāng)沒(méi)有拒絕發(fā)生時(shí)，算法結(jié)束；屆時(shí)，每一個(gè)企業(yè)聘用它在算法最后一步驟中發(fā)出申請(qǐng)的所有工人，算法產(chǎn)生了一個(gè)匹配μF。

二、匹配博弈理論的應(yīng)用

（一）學(xué)校招生錄取

匹配博弈理論形成的一個(gè)動(dòng)因，就是解決學(xué)校招生這類現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。Gale and Shapley(1962)提出的大學(xué)招生模型及拒絕接受算法，證明大學(xué)招生市場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定匹配，且對(duì)提議方來(lái)說(shuō)是最優(yōu)穩(wěn)定匹配。

隨后，匹配博弈理論也被廣泛運(yùn)用于學(xué)校招生市場(chǎng)的分析。如Abdulkadiroglu et al(2005)[7]和Abdulkadiroglu et al(2006)[8]研究了美國(guó)紐約市高中和波士頓市的公立學(xué)校，采用拒絕接受算法完成招生錄取工作。Teo(2001)[9]討論了新加坡的部分學(xué)校采用拒絕接受算法來(lái)完成擇校-錄取工作。

（二）勞動(dòng)力市場(chǎng)的失靈及構(gòu)建

匹配博弈理論最主要的一個(gè)應(yīng)用，是用于解決勞動(dòng)力市場(chǎng)的失靈與構(gòu)建。在雙方市場(chǎng)上，同方參與者之間處于競(jìng)爭(zhēng)狀態(tài)：企業(yè)互相競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)秀的工人，工人互相競(jìng)爭(zhēng)好的企業(yè)；對(duì)立方的參與者之間處于合作狀態(tài)。

Roth(1984a)[10]運(yùn)用匹配理論研究美國(guó)醫(yī)學(xué)畢業(yè)生市場(chǎng)。該論文的重要意義在于，它揭示了匹配博弈理論所闡述的模型符合現(xiàn)實(shí)勞動(dòng)力市場(chǎng)真實(shí)表現(xiàn)，而匹配博弈理論的方法也能夠較好地解決現(xiàn)實(shí)勞動(dòng)力市場(chǎng)失靈的問(wèn)題。

Roth(1984b)[11]證明了，當(dāng)企業(yè)具有替代偏好⑤時(shí)，由工人提議的拒絕接受算法產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定匹配，并且，產(chǎn)生一個(gè)工人最優(yōu)穩(wěn)定匹配；即每一個(gè)工人對(duì)該匹配的偏好都不少于對(duì)任何其它穩(wěn)定匹配的偏好；由企業(yè)提議的拒絕接受算法產(chǎn)生一個(gè)企業(yè)最優(yōu)穩(wěn)定匹配。

Roth(1985)[12]進(jìn)一步定義了穩(wěn)定匹配的一致性：給定兩個(gè)不同的穩(wěn)定匹配，讓每一個(gè)企業(yè)（工人）從它（他）在這兩個(gè)匹配下的匹配對(duì)象的集合中選出它（他）最偏好的對(duì)象來(lái)；如果這樣選擇的結(jié)果依然是個(gè)穩(wěn)定匹配，稱之為穩(wěn)定匹配的一致性。穩(wěn)定匹配的一致性自然地解釋了市場(chǎng)具有企業(yè)（工人）最優(yōu)穩(wěn)定匹配，揭示了競(jìng)爭(zhēng)激烈的雙方市場(chǎng)存在合作的可能。Roth在替代偏好和嚴(yán)格偏好下，證明了穩(wěn)定匹配的一致性對(duì)企業(yè)一方成立；同時(shí)，穩(wěn)定匹配集合在企業(yè)公共偏好偏序下是一個(gè)完備格。

在Roth的研究基礎(chǔ)上，學(xué)者們從多方面拓展了匹配博弈理論在勞動(dòng)力市場(chǎng)的應(yīng)用研究：

其一是同事效應(yīng)。在Roth的模型中，并未考慮同事效應(yīng)所帶來(lái)的影響。Dutta and Masso(1997)[13]首次引入同事效應(yīng)，研究匹配博弈理論，提出了DM模型。文中表明，工人的偏好定義在企業(yè)與工人集合的組合上；反映了工人不僅僅在意誰(shuí)將是他的老板，還在意誰(shuí)將是他的同事。DM模型還證明了在F-字典偏好和W-字典偏好下市場(chǎng)的穩(wěn)定性。 Echenique and Oviedo(2006)[3]，Echenique and Yenmez(2007)[14]，Kominer(2010)[15]分別在具有同事效應(yīng)的市場(chǎng)，構(gòu)造了尋找穩(wěn)定匹配的算法。Pycia(2012)[16]在兩兩聯(lián)盟和分割法則下，研究具有同事效應(yīng)匹配市場(chǎng)的穩(wěn)定性。李建榮(2012)[17]在工人工人偏好中引入外生的同事效應(yīng)，用拒絕接受算法直接證明了穩(wěn)定匹配的存在；并定義了F-對(duì)應(yīng)偏好，在F-對(duì)應(yīng)偏好下，證明了具有同事效應(yīng)的市場(chǎng)具有與傳統(tǒng)市場(chǎng)類似的性質(zhì)。

其二是穩(wěn)定匹配的一致性。盡管Roth證明了穩(wěn)定匹配的存在和穩(wěn)定匹配的一致性。Li(2013)[18]分析了Roth證明中的邏輯漏洞，并以具體例子表明，Roth的上述兩個(gè)結(jié)論在給定條件下都不一定成立。

（三）機(jī)制設(shè)計(jì)

匹配理論對(duì)市場(chǎng)設(shè)計(jì)產(chǎn)生了深刻的影響，不僅被直接應(yīng)用于匹配機(jī)制的實(shí)證研究中，還對(duì)機(jī)制設(shè)計(jì)提出了一些新的理論問(wèn)題。

Immorlica and Mahdian(2005)[19]和Kojima and Pathak(2007)[20]研究了匹配市場(chǎng)中，參與者提供虛假偏好獲利的問(wèn)題；分析了提供虛假偏好獲利是有限度的，提供虛假偏好獲利的機(jī)會(huì)隨著市場(chǎng)容量的增大而減少；而且在拒絕接受算法下，提供真實(shí)偏好是每一個(gè)申請(qǐng)者的占優(yōu)策略⑥。

Hatfield and Milgrom (2005)[21]（HM模型）在匹配模型中引入契約，研究帶契約匹配市場(chǎng)的穩(wěn)定性；在LAD偏好⑦假設(shè)下，證明了穩(wěn)定匹配一定存在。Hatfield and Kojima(2010)[22]在HM模型基礎(chǔ)上，引入雙向替代和一致替代偏好，研究帶契約匹配市場(chǎng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定匹配集合的格結(jié)構(gòu)。Hatfield and Kominers(2012)[23]研究了雙方契約匹配市場(chǎng)的穩(wěn)定性；一份雙方契約綁定了一個(gè)賣方、一個(gè)買方、和一個(gè)交易品。因此，雙方契約匹配中，匹配雙方考慮的不僅僅是交易的標(biāo)的，還考慮了交易對(duì)象；這類似于引入同事效應(yīng)的匹配模型。

三、未來(lái)的研究方向

匹配博弈理論關(guān)注的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的中心問(wèn)題：如何盡可能恰當(dāng)?shù)仄ヅ洳煌氖袌?chǎng)主體。2012年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給匹配博弈理論的創(chuàng)立者和推廣應(yīng)用者，也說(shuō)明了匹配博弈理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域的重要地位，以及其對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題研究的重要意義。在過(guò)去的半個(gè)世紀(jì)里，已經(jīng)出現(xiàn)了大量的匹配博弈理論和應(yīng)用的研究成果。未來(lái)的匹配博弈理論和應(yīng)用研究也必將進(jìn)一步深化。理論研究方面，主要存在以下幾個(gè)研究方向：

1.非替代偏好。既有研究文獻(xiàn)，很大一部分建立在替代偏好的假設(shè)上；但當(dāng)工人之間存在不可忽視的互補(bǔ)性（如正常運(yùn)作一個(gè)R&D實(shí)驗(yàn)室所需的所有專家），替代偏好就將失效。與之相關(guān)的問(wèn)題是，在這種復(fù)雜的偏好下穩(wěn)定匹配的存在性。這將使模型的微觀結(jié)構(gòu)復(fù)雜許多，從而增加了分析和應(yīng)用的難度。

2.成本問(wèn)題。正如張五常[24]批評(píng)博弈論“博弈理論漠視了真實(shí)世界的交易費(fèi)用的調(diào)查，誤入歧途，行不通也”⑧；匹配模型假設(shè)博弈參與人在博弈開始之前，就有一個(gè)關(guān)于對(duì)方市場(chǎng)的明確的偏好。而現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)上很多參與人在匹配之前對(duì)對(duì)方市場(chǎng)的了解并不十分清楚，而偏好會(huì)隨著博弈的進(jìn)行發(fā)生變化。為了有一個(gè)更精確的偏好，需要了解更多的信息，有些重要信息的獲取是需要成本的；這將影響匹配的結(jié)果，但在理論和實(shí)證上更準(zhǔn)確地刻畫了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)。所以，在匹配博弈模型中引入成本問(wèn)題，是一個(gè)很有前景的研究方向。

3.市場(chǎng)設(shè)計(jì)。到目前為止，市場(chǎng)設(shè)計(jì)主要集中在能用某種中心化的匹配機(jī)制修復(fù)市場(chǎng)失靈上，而問(wèn)題的背后往往有一個(gè)非中心化的市場(chǎng)或者一個(gè)潛在的市場(chǎng)需要理解。那么，如何在非中心化市場(chǎng)中處理什么提供了市場(chǎng)稠密，如何處理市場(chǎng)消化，和如何使市場(chǎng)安全的問(wèn)題就成為一個(gè)很有希望的研究領(lǐng)域。建立在拒絕接受算法上的匹配機(jī)構(gòu)，如何能在市場(chǎng)中運(yùn)作，及這樣的匹配機(jī)構(gòu)能解決什么類型的市場(chǎng)失靈，這需要掌握大量的關(guān)于市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)的博弈理論。

而在應(yīng)用研究方面，匹配博弈理論更是擁有廣闊的發(fā)展空間。既有的研究文獻(xiàn)多是關(guān)注發(fā)達(dá)國(guó)家的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，鮮有對(duì)發(fā)展中國(guó)家現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的探討。就中國(guó)而言，高校擴(kuò)招及經(jīng)濟(jì)下滑帶來(lái)就業(yè)壓力劇增；房?jī)r(jià)波動(dòng)引發(fā)地產(chǎn)商與購(gòu)房者之間的矛盾加??；婚姻市場(chǎng)艾滋病感染人數(shù)、離婚率逐年上升；通貨膨脹下工資因素引發(fā)“用工荒”；中小民營(yíng)企業(yè)融資困境問(wèn)題......如何運(yùn)用匹配博弈理論來(lái)研究這些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并為雙方市場(chǎng)提供穩(wěn)定發(fā)展的機(jī)制設(shè)計(jì)和政策建議，這也將成為匹配博弈理論未來(lái)研究的一個(gè)方向。

注釋：

①對(duì)于找不到工作的工人，把他們映射到空集；于是，我們有時(shí)把空集看作一個(gè)（?。┢髽I(yè)。類似地，有時(shí)把空集看作一群工人，與那些招不到工人的企業(yè)匹配。

②這里的穩(wěn)定在匹配理論文獻(xiàn)中被稱為對(duì)穩(wěn)定。

③僅滿足條件（i）的映射在 Adachi(2000)[2]和 Echenique and Yenmez(2006)[3]中被稱為“準(zhǔn)匹配(prematching)”。

④這里定義的穩(wěn)定在最近文獻(xiàn)中被稱為對(duì)穩(wěn)定 （pairwise stability），Sotomayor (1999a,1999b)[4,5]，Echenique and Oviedo(2006)[3]和Konishiand Unver(2006)[6]討論了其它穩(wěn)定概念。

⑤對(duì)任意一個(gè)工人聯(lián)盟S及工人w?S，如果w?Cf(S)，則對(duì)任意的S'?S，有w?Cf(S'∪{w})，就稱企業(yè)f具有替代偏好。

⑥這一問(wèn)題的相關(guān)文獻(xiàn)還有Dubins and Freedman(1981)，Roth(1982a)，Demange,Gale,and Sotomayor(1987)。

⑦如果企業(yè) f的偏好 P(f)滿足：對(duì)所有的 S"?S'?W，|Cf(S")|≤|Cf(S')|，就稱 f具有 LAD(Law of Aggregate Demand)偏好。

⑧張五常[24]，p.28。

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