學(xué)科思想的培育與實(shí)踐：數(shù)學(xué)教學(xué)如何滲透“數(shù)學(xué)思想與方法”

●陳華忠

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思想是一切行為的原動力。 學(xué)科思想是經(jīng)過分析、抽象、提煉，形成的對學(xué)科發(fā)展和學(xué)科學(xué)習(xí)最具有影響力且能夠遷移的一些觀點(diǎn)、思想和見解；學(xué)科方法是根據(jù)學(xué)科內(nèi)在的規(guī)律和特點(diǎn)，總結(jié)歸納出的思維方法、研究方法和學(xué)習(xí)方法等。 學(xué)科思想指導(dǎo)引領(lǐng)學(xué)科方法，學(xué)科方法則是學(xué)科思想的具體化，有時二者也會融合為一。 本期選取的五篇文章，都是從學(xué)科思想與方法的角度來探討學(xué)科學(xué)習(xí)的價值與意義，以期能引起讀者的思考。

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)， 學(xué)生應(yīng)獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識，以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。 由此可見，數(shù)學(xué)思想與方法的滲透是新課程改革的一個新的視角。 新教材蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想與方法，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知水平適當(dāng)?shù)厍擅畹貪B透基本的數(shù)學(xué)思想與方法。

一、在鉆研教材中挖掘數(shù)學(xué)思想

如果課前教師對教材內(nèi)容適合滲透哪些思想方法一無所知，那么課堂教學(xué)就不可能有的放矢。由于受篇幅的限制，教材只能較多的呈現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，而對數(shù)學(xué)結(jié)論里面所隱含的數(shù)學(xué)思想與方法，往往在教材里沒有明顯地體現(xiàn)。在備課時，我們教師不應(yīng)只看見直接寫在教材上的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與技能，而是要認(rèn)真挖掘蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想，有意識地把掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法整合到教學(xué)目標(biāo)之中，并把數(shù)學(xué)思想與方法恰當(dāng)?shù)厝谌虢虒W(xué)的各個環(huán)節(jié)。 為此，我們教師要深入鉆研教材，努力挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，對于每一節(jié)課的教學(xué)，都應(yīng)該考慮如何滲透數(shù)學(xué)思想與方法。 每節(jié)課的課堂教學(xué)中可以滲透哪些數(shù)學(xué)思想與方法，應(yīng)做到心中有數(shù)。 如，在教學(xué)“圓的面積”這節(jié)課時，先把圓分成相等的兩部分，再把兩個半圓分成若干等分，然后把它剪開，再拼成近似于長方形的圖形。如果把圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近于長方形。這時長方形的面積就越接近圓的面積了。 這部分內(nèi)容應(yīng)讓學(xué)生體會用“無限逼近”的方法來求得圓的面積，這樣，既有機(jī)地滲透了“極限思想”，也滲透了“轉(zhuǎn)化思想”。又如，在備“雞兔同籠”一節(jié)課時，教師要有意識地向?qū)W生滲透并落實(shí)以下數(shù)學(xué)思想與方法： 用容易探究的小數(shù)量替代 《孫子算經(jīng)》 原題中的大數(shù)量的“替換法”解決問題，滲透化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想和方法；用“列表法”解決問題，滲透函數(shù)的思想和方法；用“算術(shù)法”解決問題，滲透假設(shè)的思想和方法；用“方程法”解決問題，滲透代數(shù)的思想和方法等等，這些思想方法為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。 由于數(shù)學(xué)思想與方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，因此，在分析教材時，應(yīng)挖掘隱藏在數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想與方法，明確所要滲透的數(shù)學(xué)思想方法。

二、在探究體驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)是知識與思想方法的有機(jī)結(jié)合，沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識，也沒有游離于數(shù)學(xué)知識之外的數(shù)學(xué)思想方法。為此，數(shù)學(xué)思想方法滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中，要著重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會與感悟。在探究活動中，教師要創(chuàng)設(shè)情境，營造民主氛圍，讓學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程，并依據(jù)學(xué)生親身的體驗(yàn)，逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。 教學(xué)中，可通過以下途徑向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想與方法。

（一）在概念的形成過程中感悟數(shù)學(xué)分類與集合思想

在概念教學(xué)時，“引導(dǎo)學(xué)生對新概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程”等等，這些都是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法的極好機(jī)會。如，教學(xué)“三角形分類”一課時，教師預(yù)先給學(xué)生提供了許多三角形學(xué)具，放手讓學(xué)生在小組合作中嘗試對三角形進(jìn)行分類， 學(xué)生從關(guān)注三角形的角與邊的特征入手，借助學(xué)具操作，通過看一看、比一比、量一量、想一想、議一議、分一分等手段，尋找它們的特征、抽象共性，在比較中將具有相同特征的三角形歸為一類， 在分類中抽象出圖形的共同特征。 這樣讓學(xué)生經(jīng)歷了三角形分類的過程， 豐富了分類活動的經(jīng)驗(yàn)， 形成分類的基本策略，也有機(jī)地滲透了分類、集合的思想。

（二）在計(jì)算教學(xué)過程中感悟數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

計(jì)算教學(xué)往往是把新知轉(zhuǎn)化成舊知， 并借助舊知來學(xué)習(xí)新知。 如：教學(xué)“除數(shù)是小數(shù)除法”一節(jié)課時，其關(guān)鍵就是把除數(shù)是小數(shù)的除法“轉(zhuǎn)化”成除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算， 知識基礎(chǔ)是除數(shù)為整數(shù)的除法計(jì)算法則， 教學(xué)中只要將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，問題就迎刃而解。 為此，新課前教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧“商不變性質(zhì)”，完成除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法有關(guān)鋪墊練習(xí)。 再出示例題：“奶奶編‘中國結(jié)’，編一個要用 0.85 米絲繩。 有 7.65 米絲繩，可以編幾個‘中國結(jié)’？”首先讓學(xué)生讀題，分析題意并列出算式，然后放手讓學(xué)生獨(dú)立嘗試，學(xué)生探索時發(fā)現(xiàn)算式中除數(shù)是小數(shù)，這種除法沒有學(xué)過，怎么辦？ 學(xué)生思路受阻。 這時教師適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)撥：能否根據(jù)以前學(xué)過的知識解決現(xiàn)在的問題呢？ 學(xué)生從前面的復(fù)習(xí)中很快地感受到只要把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)就可以進(jìn)行計(jì)算了。待學(xué)生完成計(jì)算時，教師讓學(xué)生想一想，在解這道題的過程中，得到了什么啟發(fā)？ 使學(xué)生感悟到：新知識看起來很難，但只要將所學(xué)的新知識與已學(xué)過的知識聯(lián)系起來， 并運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)思想方法，就能順利地解決問題。這種解決問題的方法就是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想， 轉(zhuǎn)化就是未知的向已知的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜的向簡單的轉(zhuǎn)化，從而讓學(xué)生感悟到轉(zhuǎn)化思想的作用。

（三）在“空間與圖形”的教學(xué)過程中感悟數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和極限思想

小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)圖形的學(xué)習(xí)， 是先學(xué)習(xí)直線型圖形，如長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形以及長方體等，再學(xué)習(xí)曲線型圖形：圓、圓柱等。在學(xué)習(xí)曲線型圖形有關(guān)知識時，就可利用轉(zhuǎn)化方法，將曲線型圖形轉(zhuǎn)化為直線型的圖形， 利用直線型的相關(guān)知識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決。如，教學(xué)“圓面積的計(jì)算”一節(jié)課時，首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧以前學(xué)習(xí)過的平行四邊形、三角形、梯形面積的計(jì)算的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生思考這些圖形的面積計(jì)算方法是怎么推導(dǎo)出來的；其次，教師引導(dǎo)學(xué)生猜想今天所學(xué)習(xí)的圓能否也轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過的圖形來推導(dǎo)出它的面積計(jì)算公式，讓學(xué)生在舊知的驅(qū)動下積極地思考如何轉(zhuǎn)化；最后，教師放手讓學(xué)生動手操作，可以將圓轉(zhuǎn)化為什么圖形，怎么轉(zhuǎn)化，通過剪一剪、拼一拼、議一議，讓學(xué)生進(jìn)行小組合作交流，通過討論交流得出結(jié)論：將圓分割成若干等份，拼成近似的長方形或平行四邊形，由圓的半徑與面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為長方形的長、 寬或平行四邊形的底、高與面積的關(guān)系，再由長方形或平行四邊形的面積公式，推導(dǎo)出圓的面積的公式。在圓的面積公式的推導(dǎo)過程中，學(xué)生經(jīng)歷化生為熟、化難為易、化曲為直、化繁為簡的探索過程，感悟到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化、極限思想。

（四）在解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)建模思想

在“問題解決”教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，合作交流，自主探究，并用圖表、教具、學(xué)具、課件展示等，讓學(xué)生逐步感悟數(shù)學(xué)思想與方法。 如，在教學(xué)“植樹問題”時，教師先出示“在200 米公路一側(cè)植樹的現(xiàn)實(shí)問題情境， 若兩端都種， 每5 米種一棵， 能種幾棵?”面對這一挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生紛紛猜測，有的說：“能種 40 棵。 ”有的說：“能種 41 棵。 ”還有的說：“能種39 棵?！苯又處焼l(fā)學(xué)生思考：“到底能種幾棵?你有什么好辦法呢?”隨著教師的質(zhì)疑。 學(xué)生提出：“我們可以試著種一種，就知道誰說的對了! ”“就用你的辦法， 接下來我們利用課件模擬在200 米的線段上種樹。 ”教師及時肯定了學(xué)生的回答，接著利用課件演示，“每隔5 米種一棵，每隔5 米種一棵，一棵一棵不停地種。 同學(xué)們有什么想說的?”伴隨著課件演示教師質(zhì)疑，學(xué)生們紛紛回答：“很麻煩。”“要用很長時間。”教師針對學(xué)生的回答提出問題：“那怎么辦呢?” 有的學(xué)生說：“我們可以將 200 米換成20米。 ” 還有的同學(xué)說：“換成短一點(diǎn)的距離， 進(jìn)行探究。 ”師：“好！ 我們先來研究 20 米的種樹規(guī)律，再用所得到的規(guī)律去解決其他復(fù)雜的問題，這是一個好的辦法，那么大家愿意自己來試試看嗎?”這樣就自然而然地滲透了化繁為簡的數(shù)學(xué)思想。然后，學(xué)生通過擺一擺、畫一畫、議一議，發(fā)現(xiàn)了在兩端都種時棵數(shù)和間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系(即：棵數(shù)=間隔數(shù)+I)，并順利地解決了問題。 教師又將問題改為“只種一端、兩端都不種時種的棵數(shù)又是多少”，學(xué)生運(yùn)用同樣的方法興趣盎然地找到了答案。以上問題的解決過程，給學(xué)生體會到當(dāng)遇到復(fù)雜問題時， 不妨退到簡單問題，然后從簡單問題的研究中去尋找規(guī)律，再利用規(guī)律去解決復(fù)雜問題。 從而讓學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建?！钡葦?shù)學(xué)思想。

三、在知識遷移中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法

巴甫洛夫指出：“任何一個新的問題的解決都是利用主體經(jīng)驗(yàn)中已有的舊工具實(shí)現(xiàn)的?！币簿褪钦f各種新知識都是從舊知識中發(fā)展出來的。 小學(xué)數(shù)學(xué)知識是一個整體， 前后教學(xué)內(nèi)容都有一定的內(nèi)在的必然聯(lián)系，新知識往往是舊知識的延伸和補(bǔ)充。根據(jù)心理學(xué)的遷移規(guī)律，通過對舊知識的復(fù)習(xí)，特別是對新舊知識密切聯(lián)系的問題加以概括， 從新舊知識的緊密聯(lián)系中，抓住新舊知識的不同點(diǎn)，合乎邏輯地導(dǎo)出即將研究的問題，實(shí)現(xiàn)知識的正遷移。從而在知識的遷移過程中，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用思想方法解決問題。

如，教學(xué)“梯形的面積”時，學(xué)生可以借助“三角形的面積計(jì)算公式”推導(dǎo)的方法，把計(jì)算梯形的面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的計(jì)算平行四邊形的面積， 這就是滲透數(shù)學(xué)思想方法——“轉(zhuǎn)化思想”的大好時機(jī)。 在小學(xué)教材中， 平面圖形的面積計(jì)算公式都是通過原來的圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過知識推導(dǎo)出來的。 轉(zhuǎn)化的思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用， 將原圖形通過旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等途徑加以“變形”，使新知轉(zhuǎn)變成舊知，“求解”也水到渠成。

四、在練習(xí)訓(xùn)練時完善數(shù)學(xué)思想與方法

任何一種數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和掌握， 絕非一朝一夕的事，它需要有計(jì)劃、有意識地進(jìn)行訓(xùn)練。 通過訓(xùn)練這一途徑來滲透數(shù)學(xué)思想方法， 不愧為是一個明智的選擇。用訓(xùn)練的方式來滲透數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)屬于我們教師的創(chuàng)造性勞動。如，有一位教師在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法后，設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)題，組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，既鞏固了知識技能，又有機(jī)地滲透了數(shù)學(xué)思想方法，一舉兩得。

練習(xí)過程中，教師利用下圖幫助學(xué)生理解：

又如：一位教師在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)解決問題之后，設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)題，組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。即：養(yǎng)雞場分三次把一批肉雞投放市場， 第一次賣出的比總數(shù)的2／7 多 100 只， 第二次賣出的比總數(shù)的 3／7少120 只，第三次賣出320 只。 這批雞共有多少只？

這道題的特點(diǎn)是分率后面還有個具體數(shù)量，給我們的思考帶來麻煩。 可以假設(shè)沒有后面的具體數(shù)量，去零為整，這樣便于思考。 假設(shè)第一次正好賣出總數(shù)的2／7，把多的100 只放在第三次賣出，即第三次要多賣出100 只；假設(shè)第二次正好賣出總數(shù)的3／7，那么少的120 只需要從第三次取來，即第三次要少賣出120 只。 這樣，第三次多賣出的只數(shù)是320＋100－120=300（只）。由此可求出這批雞共有 300÷（1－2／7－3／7）=1050（只）。

訓(xùn)練則是在形成技能的基礎(chǔ)上向能力轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力， 發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時，也滲透數(shù)學(xué)思想方法。 在練習(xí)訓(xùn)練中不僅要有具體知識、技能訓(xùn)練的要求，而且也要有明確的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求， 從這兩道練習(xí)題中，至少滲透了數(shù)形結(jié)合、抽象、類比、極限以及假設(shè)等數(shù)學(xué)思想。

五、在歸納總結(jié)時提煉數(shù)學(xué)思想與方法

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的小結(jié)或總結(jié)時，可以對所滲透的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行適時概括和提升。這樣，不僅可以使學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在的規(guī)律，而且可使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)思想方法對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。如在幾何形面積教學(xué)中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將原圖形通過割補(bǔ)、分割、平移、翻折等途徑加以“變形”，把未知的面積計(jì)算問題轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積計(jì)算問題，可使題目變難為易，求解也水到渠成。 教材中， 除了長方形的面積計(jì)算公式之外， 其他平面圖形的面積計(jì)算公式都是通過變換原來的圖形而得到的。 即：平行四邊形通過割補(bǔ)、平移轉(zhuǎn)化成長方形， 三角形和梯形也都可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形來求出面積。 圓也可以通過分割轉(zhuǎn)化成長方形。 為此，在總結(jié)時，引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)學(xué)習(xí)過程應(yīng)用到哪些數(shù)學(xué)的思想與方法， 這些的思想與方法對于今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是經(jīng)常用到的。這樣，不僅使學(xué)生明確不同圖形面積計(jì)算的方法， 而且領(lǐng)悟到了比面積計(jì)算公式更重要的東西，就是數(shù)學(xué)的思想與方法。

總之，“思想是數(shù)學(xué)的靈魂， 方法是數(shù)學(xué)的行為?！睌?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩個方面， 沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。因此，教學(xué)中，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、感受、體驗(yàn)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法， 才能真正地讓數(shù)學(xué)思想方法在與知識能力形成的過程中共同生成。