基于MATLAB的三次樣條插值在繩套型水位流量關(guān)系定線推流中的應(yīng)用

陳 靚朱慶云王書亮

（1.江蘇省秦淮河水利工程管理處，江蘇南京 210001；2.江蘇省水文水資源勘測局南京分局，江蘇南京210008；3.江蘇省水文水資源勘測局鹽城分局，江蘇鹽城 224000）

1 概述

對于影響因素復(fù)雜的繩套型水位流量關(guān)系，人們常常難以找到一個解析表達(dá)式來表示它們之間的關(guān)系，在此情況下，常用連時序法定線，即：手工繪制水位流量關(guān)系曲線。筆者較為詳細(xì)地討論了繩套型水位流量關(guān)系的成因及其常見定線方法，在此基礎(chǔ)上，通過實(shí)例介紹了利用三次樣條插值進(jìn)行繩套水位流量關(guān)系定線的方法，并編寫Matlab程序由計(jì)算機(jī)代替人工完成繁瑣的手工作業(yè)。同時，還對人工推算值和樣條插值計(jì)算值進(jìn)行了誤差分析，分析表明，插值流量與人工推算流量的相對誤差很小。對于處理繩套型水位流量關(guān)系，基于MATLAB的三次樣條插值具有簡便實(shí)用的特點(diǎn)。

2 繩套型水位流量關(guān)系的成因

對于不穩(wěn)定的水位流量關(guān)系，其影響因素較多，而繩套型水位流量關(guān)系的形成，主要有以下三種情況：

（1）受變動回水影響。當(dāng)支流測站受干流漲水的頂托；干流測站受下游支流漲水的頂托；下游水庫、湖泊、海洋等水體水位的變化引起的頂托；下游渠道閘門的啟閉；下游河道壅水或者因水草產(chǎn)生阻力時，測流斷面的水面比降受到影響，將引起流量變化，使得水位流量關(guān)系點(diǎn)分布散亂。在受變動回水影響時，水位流量關(guān)系不僅與本站水情有關(guān)，還與下游水體的水情變化有關(guān)。隨著下游水體對測站影響程度的變化，水位流量關(guān)系曲線的走向也不同，有些呈現(xiàn)順時針繩套，有些呈現(xiàn)逆時針繩套，還有的呈現(xiàn)“8”字或者反“8”字形繩套。

（2）受洪水漲落影響。在洪水漲落過程中，由于洪水波傳播引起的附加比降不同，使得斷面上的流量和同水位穩(wěn)定的流量相比產(chǎn)生有規(guī)律的增大或者減小。洪水上漲時，其漲率為正，則附加比降為正，其流量大于同水位的穩(wěn)定流流量；落水時的漲率為負(fù)，其流量小于同水位的穩(wěn)定流流量。這樣，一次洪水漲落過程的水位流量關(guān)系曲線就呈現(xiàn)為一逆時針繩套曲線。

（3）受綜合因素影響。在受到上述兩種因素的綜合影響時，水位流量關(guān)系也會呈現(xiàn)繩套關(guān)系。

3 繩套型水位流量關(guān)系的幾種定線方法

繩套型水位流量關(guān)系的定線方法可以總結(jié)為：

（1）對于受變動回水影響的測站，可根據(jù)具體情況采用等落差法、定落差法、落差指數(shù)法定線推流。

（2）對于受洪水漲落影響的測站，可根據(jù)具體情況采用校正因素法、低償河長法定線推流。

（3）對于以上兩種情況，也可以采用連時序法定線推流。當(dāng)影響因素復(fù)雜，難以用找到函數(shù)表達(dá)式來近似表達(dá)水位流量關(guān)系時，常常采用連時序法。

4 常用的插值方法

在大量的應(yīng)用領(lǐng)域中，人們經(jīng)常面臨用一個解析函數(shù)描述數(shù)據(jù)（通常是測量值）的任務(wù)。插值與數(shù)據(jù)擬合是非常實(shí)用的數(shù)值方法，是函數(shù)逼近的重要手段。在工程生產(chǎn)和科學(xué)試驗(yàn)中，自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系式有時不能直接寫出，而只能得到函數(shù)在若干個點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)值。當(dāng)要求知道觀測點(diǎn)之外的函數(shù)值時，需要估計(jì)函數(shù)值在該點(diǎn)的值。因此，通過已有數(shù)據(jù)信息構(gòu)造出函數(shù)表達(dá)式尤為重要。

插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛頓（Newton）、高斯（Gauss）等著名數(shù)學(xué)家的名字連在一起的，它最初來源于天體計(jì)算的需要。比如：人們得到了若干觀測值，即某個星球在若干已知時刻的位置，需要計(jì)算星球在另外一些時刻的位置。所謂插值，通俗地說就是，在若干已知數(shù)值之間插入計(jì)算一些未知的函數(shù)值。

插值問題的提法是，已知n＋1個節(jié)點(diǎn)（xj，yj）（j＝0，1，…，n），其中xj互不相同，不妨設(shè)a＝x0

求解的思路是，構(gòu)造一個相對簡單的函數(shù)y＝f（x），稱為插值函數(shù)，使f通過全部節(jié)點(diǎn)，即：f（xj）＝y(tǒng)j（j＝0，1，…，n），再用 f（x）計(jì)算插值，即：y*＝ f（x*）。

常用的基本插值方法包括拉格朗日多項(xiàng)式插值、分段線性插值和三次樣條插值。

拉格朗日多項(xiàng)式插值中，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，插值函數(shù)會出現(xiàn)很大的振蕩，即：龍格現(xiàn)象；分段線性插值是將相鄰的兩個點(diǎn)用直線連接起來，其所形成的一條折線就是線性插值函數(shù)。因此，筆者只討論三次樣條插值法。

所謂樣條（spline），來源于船舶、飛機(jī)等設(shè)計(jì)中描繪光滑外形曲線用的繪圖工具。一根有彈性的細(xì)長木條用壓鐵固定在節(jié)點(diǎn)上，其它地方自然彎曲，如此畫出的曲線稱為樣條曲線。人們普遍使用的樣條函數(shù)是分段三次多項(xiàng)式。

三次樣條函數(shù)的定義是：函數(shù)S（x）∈C2［a，b］，且在每個小區(qū)間［xj，xj+1］上是三次多項(xiàng)式，其中，a=x0

圖1 水位流量繩套關(guān)系曲線

5 三次樣條插值處理繩套曲線應(yīng)該注意的問題

（1）將繩套曲線分解為漲水支線和落水支線，分解時一般以峰頂、峰谷為分解點(diǎn)，把分解出的漲水、落水曲線當(dāng)作單一曲線進(jìn)行插值。

（2）由于受閘門控制影響，水位在上漲、下落過程出現(xiàn)下降或者回升時，需要分解處理為折線，這樣的處理與人工繪制過程線處理方式大體一致，但人工處理時轉(zhuǎn)折處會稍微圓滑一些。

（3）復(fù)雜的繩套水位流量關(guān)系曲線可以看作若干單一曲線的組合，用插值法處理時，就是把復(fù)雜的水位流量關(guān)系曲線分解為若干單一曲線之后分別插值。

（4）推求流量時，需要注意水位與單一曲線的對應(yīng)。

6 三次樣條插值定線實(shí)例

筆者實(shí)例選取的資料是滁河曉橋水文站2010年的一次實(shí)測洪水過程，該次洪水從9月2日22∶00起漲，9月7日21∶30后落平。

由于受上游襄河口閘以及下游汊河集閘的控制，該站水位流量關(guān)系主要受變動回水影響，呈順時針繩套，可用連時序法定線。

利用連時序定線繪制水位流量關(guān)系，受人為因素影響，繪制的繩套曲線會有差異，過程也比較繁瑣。

為了解決這一問題，筆者利用三次樣條插值法，編寫Matlab程序，由計(jì)算機(jī)完成定線推流。

編寫的Matlab程序如下：

%曉橋洪水過程三次樣條插值程序（可同時繪制水位面積、水位流速關(guān)系曲線）

A=xlsread（′xiaoqiao2′）；

%sw=A（：，2），

%ll=A（：，3），

%mj=A（：，4），

%ls=A（：，5），

%subplot（2，2，1）

%plot（ll，sw）

%subplot（2，2，2）

%plot（mj，sw）

%subplot（2，2，3）

%plot（ls，sw）

x1=A （［2：10］，2） %input stage data

y1=A（［2：10］，3） %input discharge data

x11=x1（1）：0.01：x1（9），

y11=interp1（x1，y1，x11，′spline′），

x2=A（［10：16］，2） %input stage data

y2=A（［10：16］，3） %inputdischarge data

i=1：7

j=8-i

xx2（i）=x2（j）

yy2（i）=y2（j）

x22=xx2（1）：0.01：xx2（7），

y22=interp1（xx2，yy2，x22，′spline′），%subplot（2，2，4）

plot（y1，x1，′o′，y11，x11，y2，x2，′o′，y22，x22）

圖1為Matlab程序繪制的水位流量繩套關(guān)系曲線。由圖1可以看出，插值得到的曲線線條光滑，趨勢合理。

7 誤差分析

表1為人工定線流量與插值流量相對誤差計(jì)算表。結(jié)果表明，最大相對誤差絕對值為0.65%，表中人工定線流量采用水文資料整編正式成果。

表1 人工定線流量與插值流量相對誤差計(jì)算表

8 結(jié)語

基于MATLAB程序的三次樣條插值可以用于處理繩套水位流量關(guān)系，由計(jì)算機(jī)代替人工完成水位流量關(guān)系的定線和推流，處理方法簡單實(shí)用。在本文實(shí)例中，樣條插值流量與人工推算流量之間的相對誤差最大值為0.65%，誤差值很小，且兩者之間不存在系統(tǒng)誤差。對于復(fù)雜的繩套水位流量關(guān)系曲線，可以將其看作若干單一曲線的組合，將其分解為若干單一曲線之后分別插值，而每一條單一曲線的插值方法和本文實(shí)例完全相同。