偽攻角反饋駕駛儀的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方法*

鄭鹍鵬，陳星陽，李海峰

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

偽攻角反饋駕駛儀是三回路過載駕駛儀的一種典型結(jié)構(gòu)[1]。與經(jīng)典的Raytheon三回路駕駛儀[2-5]相比，其增穩(wěn)回路采用偽攻角反饋，可以消除經(jīng)典三回路駕駛儀的靜差，使閉環(huán)增益精確為1，同時(shí)能保持較好的時(shí)域、頻域響應(yīng)特性以及魯棒性能，因此在戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈上得到廣泛的應(yīng)用。

三回路駕駛儀具有加速度、姿態(tài)角(或偽攻角)、姿態(tài)角速率3個(gè)反饋回路，可以應(yīng)用極點(diǎn)配置法進(jìn)行設(shè)計(jì)[6-9]。若忽略舵機(jī)、濾波器等高頻部件動(dòng)態(tài)特性的影響，則可以建立閉環(huán)極點(diǎn)與系統(tǒng)控制增益的解析關(guān)系，從而形成便于工程應(yīng)用的駕駛儀設(shè)計(jì)方法。但是目前已有的設(shè)計(jì)方法主要是針對經(jīng)典三回路駕駛儀[2-10]，文獻(xiàn)[1]給出了偽攻角反饋駕駛儀的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析和極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方案，但并未給出控制增益與閉環(huán)極點(diǎn)的解析關(guān)系；同時(shí)，現(xiàn)有的駕駛儀設(shè)計(jì)方法普遍缺少閉環(huán)極點(diǎn)參數(shù)與帶寬選擇的指導(dǎo)性原則。

本文首先從偽攻角反饋駕駛儀的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，給出了控制增益與閉環(huán)極點(diǎn)、開環(huán)截止頻率的解析關(guān)系式。然后分別闡述了系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)、高頻部件帶寬、舵機(jī)角速率極限及穩(wěn)定裕度指標(biāo)對系統(tǒng)截止頻率、閉環(huán)極點(diǎn)配置形成的約束，進(jìn)而給出了設(shè)計(jì)參數(shù)選擇的指導(dǎo)原則，形成了自洽的駕駛儀設(shè)計(jì)方案。

1 導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀數(shù)學(xué)模型

1.1 開環(huán)系統(tǒng)

若忽略舵機(jī)、結(jié)構(gòu)傳感器、陀螺及加速度計(jì)等高頻部件的動(dòng)態(tài)特性，可得到簡化的駕駛儀框圖如圖1所示。

圖1 偽攻角反饋?zhàn)詣?dòng)駕駛儀簡化框圖 Fig.1 Simplified structure diagram of autopilot with pseudo angle of attack feedback

導(dǎo)彈本體傳遞函數(shù)為

(1)

式中：Ba=a1+a4；Ca=a2+a1a4；ωα=(a3a4-a2a5)/a3；Cz=(a3a4-a2a5)/a5；a1～a5為彈體動(dòng)力學(xué)系數(shù)[11]。

將系統(tǒng)在舵機(jī)處斷開，得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)

一般取A4≈ωα，則開環(huán)傳遞函數(shù)為3階函數(shù)，一般形式為

(3)

式中：

(4)

由開環(huán)傳函HG的幅值為1，可獲得系統(tǒng)截止頻率ωcr，即

HG(jωcr)=1.

(5)

一般來說，系統(tǒng)開環(huán)截止頻率遠(yuǎn)大于導(dǎo)彈本體特征頻率，從而可得

ωcr≈N2=Ida3-IdK4va5.

(6)

工程設(shè)計(jì)中通常將ωcr作為系統(tǒng)帶寬的指標(biāo)[7-9]。

1.2 閉環(huán)系統(tǒng)

結(jié)合式(3)可得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(7)

理想三階系統(tǒng)的極點(diǎn)配置形式通常是1個(gè)實(shí)極點(diǎn)與1對共軛極點(diǎn)，即有

s3+(Ba+N2)s2+(Ca+N1)s+N0=
(s+A)(s2+2ξωs+ω2)=
s3+(A+2ξω)s2+(w2+2Aξω)s+Aω2.

(8)

a1+a4+ωcr=A+2ξω,

(9)

a2+a1a4+Ida3ωα+IdK0a3-IdK4va5a1=
ω2+2Aξω,

(10)

IdK4va5Cz=Aω2.

(11)

值得注意的是式(9)建立了系統(tǒng)開環(huán)截止頻率ωcr與閉環(huán)極點(diǎn)之間的關(guān)系，即閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部之和近似等于ωcr。

在駕駛儀設(shè)計(jì)過程中，開環(huán)截止頻率ωcr通常比共軛極點(diǎn)自然頻率ω更具實(shí)際意義，因此將ωcr、阻尼比ξ、實(shí)極點(diǎn)-A作為取定的期望參數(shù)，ω以及3個(gè)控制增益Id,K0，K4作為未知量，綜合式(6)及式(9)～(11)可得到控制增益的解析表達(dá)式：

(12)

2 參數(shù)選擇原則

第1節(jié)建立了自動(dòng)駕駛儀控制增益與系統(tǒng)開環(huán)截止頻率、閉環(huán)極點(diǎn)之間的解析關(guān)系。本節(jié)將主要討論閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)截止頻率的選取原則。

2.1 極點(diǎn)配置共圓準(zhǔn)則

三階系統(tǒng)的閉環(huán)等效時(shí)間常數(shù)(響應(yīng)至指令63%的時(shí)間)近似為[3]

(13)

將式(9)代入式(13)，可得

(14)

(15)

進(jìn)而可得τt的最小值為

(16)

由式(15)可知，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)截止頻率ωcr確定后，為使系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)達(dá)到最小，通常將3個(gè)極點(diǎn)配置于同一圓上，該圓半徑與ωcr及阻尼比ξ相關(guān)。

由式(16)可知，系統(tǒng)響應(yīng)快速性與ωcr成反比，ωcr越大，系統(tǒng)響應(yīng)越快。但ωcr不能無限制取大值，其取值受到高頻部件帶寬及舵機(jī)角速率限制等因素的制約。

2.2 高頻部件帶寬的約束

系統(tǒng)開環(huán)截止頻率ωcr的選擇首先受到舵機(jī)等高頻部件響應(yīng)特性的制約。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，且高頻部件特性不對系統(tǒng)響應(yīng)造成較大影響，工程上一般將駕駛儀開環(huán)截止頻率ωcr取為高頻部件等效帶寬ωact的1/5～1/3[8]，保證高頻部件在頻率ωcr處引起的相移不超過30°。

2.3 舵機(jī)角速率極限的約束

作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的舵機(jī)在跟隨指令過程中，舵偏轉(zhuǎn)速率是有限的。自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮這一約束。由式(7)出發(fā)，可得到加速度指令到舵偏角速率的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(17)

將式(8)，(11)帶入式(17)，歸一化得到

(18)

式中：τ=1/A；T=1/ω；K=Ca/(va5Cz)；n2=1/Ca；n1=1/Ba。

記δc=Kayc，即δc為加速度指令ayc對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)舵偏。若對式(18)進(jìn)行部分分式分解，則有

(19)

式中：k0，k1，k2分別為不同模態(tài)的系數(shù)，顯然有k0T2+k2τ=n2，k02ξT+k1τ+k2=n1，k0+k1=n0。通過拉普拉斯反變換可得到輸入為階躍響應(yīng)指令時(shí)的舵偏角時(shí)域響應(yīng)函數(shù)，即有

(20)

對式(20)求導(dǎo)，可得到舵偏角速率的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)

(21)

典型階躍響應(yīng)下舵偏角速率最大值[12]出現(xiàn)在初始時(shí)刻，由式(21)，并結(jié)合式(17)～(19)可得

(22)

按照共圓原則配置極點(diǎn)，將Ca=a2+a1a4以及式(15)代入式(22)，可得

(23)

(24)

式中:δc max為最大需用舵偏，進(jìn)一步可得到對于ωcr的約束公式

(25)

2.4 開環(huán)相位裕度

導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)必須保證魯棒性，一般要求系統(tǒng)相位裕度>40°。對于圖1所示的簡化三回路駕駛儀，若其在穿越頻率處具有70°左右的相位超前，一般就能保證滿足考慮舵機(jī)、結(jié)構(gòu)濾波器等部件后完整系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度要求。

將式(6),(9)～(11)代入式(3),則系統(tǒng)開環(huán)函數(shù)可表達(dá)為

(26)

將s=jωcr代入式(18),可得

(27)

(28)

進(jìn)而可得到簡化系統(tǒng)相位裕度的近似值為

(29)

若要求系統(tǒng)開環(huán)裕度>γ(rad)，則有

(30)

將式(9)代入式(30),可得

(u-1)x2+ωcrx-a2-k<0,

(31)

求解不等式(31),可得

(32)

2.5 小結(jié)

綜上所述，可以對系統(tǒng)帶寬參數(shù)及極點(diǎn)選擇的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則歸納如下：

(1) 系統(tǒng)開環(huán)截止頻率的選擇應(yīng)考慮舵機(jī)等高頻部件帶寬ωact及舵機(jī)角速率極限的約束，其選取準(zhǔn)則為

ωcr=min(ωcr1,ωcr2).

(33)

(2) 為保證制導(dǎo)大回路的穩(wěn)定性，自動(dòng)駕駛儀應(yīng)具有足夠的阻尼[3]。一般將其共軛極點(diǎn)阻尼比ξ取>0.7的數(shù)值。

(3) 3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)按共圓配置，配置圓半徑由式(15)確定，這樣可以保證同樣帶寬下系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)最快。

(4) 為滿足系統(tǒng)穩(wěn)定裕度要求，系統(tǒng)帶寬、阻尼比和極點(diǎn)選擇應(yīng)滿足式(32)。

3 算例驗(yàn)證

表1 不同工況下設(shè)計(jì)約束與設(shè)計(jì)結(jié)果

圖2 加速度響應(yīng) Fig.2 Response of acceleration

圖3 舵偏角響應(yīng)Fig.3 Response of fin deflection angle

圖4 舵偏角速度響應(yīng)Fig.4 Response of fin rate

從圖2～4和表1中可以看出：

(1) 低空大動(dòng)壓條件下需用舵偏小，系統(tǒng)帶寬主要受舵機(jī)等高頻部件帶寬約束；高空小動(dòng)壓條件下需用舵偏大，舵偏角速率限制為主導(dǎo)約束。

(2) 與工況1相比，工況2的時(shí)域響應(yīng)明顯較快，表明相同帶寬下，閉環(huán)極點(diǎn)按2.1節(jié)共圓準(zhǔn)則配置，可以保證更快的響應(yīng)時(shí)間。

(3) 設(shè)計(jì)結(jié)果具有較好的時(shí)域和頻域性能，表明本文所提出的駕駛儀設(shè)計(jì)方法有效。

4 結(jié)束語

本文首先建立了偽攻角反饋駕駛儀控制增益與開環(huán)截止頻率及閉環(huán)極點(diǎn)的解析關(guān)系，然后提出了系統(tǒng)極點(diǎn)配置及開環(huán)截止頻率選取的指導(dǎo)原則，指出在系統(tǒng)開環(huán)截止頻率一定的前提下，閉環(huán)極點(diǎn)按共圓配置，可獲得最快時(shí)域響應(yīng)特性；開環(huán)截止頻率選擇則受到高頻部件帶寬及舵偏角速率極限的約束?；诖诵纬闪俗郧⒌鸟{駛儀設(shè)計(jì)方法，本方法兼顧了系統(tǒng)的時(shí)域與頻域性能，其有效性通過算例得以驗(yàn)證。

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