“數(shù)值分析”課程教學(xué)模式改革

曲 凱，王志平，唐 宇

(大連海事大學(xué)，遼寧大連 116026)

“數(shù)值分析”是大多數(shù)高校的工科專業(yè)學(xué)生必修的一門課程，其主要內(nèi)容是研究如何利用數(shù)值方法去處理具體的工程問題，它在科學(xué)研究、工程建設(shè)和經(jīng)濟建設(shè)等很多方面有著廣泛的應(yīng)用?！皵?shù)值分析”課程要求學(xué)生不僅要掌握數(shù)值計算的方法與理論、不同算法的比較、算法的改進(jìn)與創(chuàng)新，更強調(diào)掌握其應(yīng)用能力。［1］目前國內(nèi)多數(shù)高校的信息與計算科學(xué)專業(yè)都開設(shè)“數(shù)值分析”課程，部分高校在工科專業(yè)的研究生課程中也開設(shè)了這門課。但是多數(shù)高校對于“數(shù)值分析”課程還沒有給予足夠的重視，而且“數(shù)值分析”在教學(xué)過程中也存在著很多不足。［2］不少學(xué)者曾經(jīng)討論過我國高校中“數(shù)值分析”課程的教學(xué)情況及其相關(guān)問題，其中有些問題普遍存在，例如學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值方法的思維方式單一，缺乏理論與實際相結(jié)合的能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到知識枯燥或者學(xué)習(xí)效果不佳，學(xué)校軟、硬件設(shè)施無法滿足學(xué)生的上機實習(xí)等［3］。在“數(shù)值分析”教學(xué)中提高學(xué)生解決實際問題的能力無非包括兩方面的內(nèi)容:一是基礎(chǔ)知識的教學(xué)，即傳授數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識;二是啟發(fā)學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力的教學(xué)。在素質(zhì)教育背景下對應(yīng)用能力的提高顯得尤為重要。［4］

一、傳統(tǒng)“數(shù)值分析”課程教學(xué)中存在的主要問題

1.課程內(nèi)容多，教學(xué)時數(shù)少

傳統(tǒng)的“數(shù)值分析”課程中主要包含了數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、微分方程數(shù)值解等三方面內(nèi)容，其中數(shù)值逼近部分主要包括插值方法、數(shù)據(jù)擬合及逼近、數(shù)值積分與微分，數(shù)值代數(shù)部分主要包括解線性方程組的直接法與迭代法、矩陣特征值和特征向量的計算、非線性方程及非線性方程組的求根，微分方程數(shù)值解部分主要講解常微分方程初值問題的數(shù)值解法。這些內(nèi)容都是以數(shù)學(xué)問題為研究對象，并提供了解決數(shù)學(xué)問題的不同的數(shù)學(xué)方法及理論分析。在運用傳統(tǒng)教學(xué)方法講授這些知識時，由于計算公式多且長，推導(dǎo)過程繁瑣，加上教學(xué)時數(shù)由原來的三門課約90學(xué)時減少為64/54/48學(xué)時等，部分內(nèi)容不能細(xì)致講解，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，教學(xué)效果不佳。［5］

2.重理論、輕實踐，上機時間少

“數(shù)值分析”是一門實用性很強的數(shù)學(xué)課程，它具有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點，又具有應(yīng)用的廣泛性與實際實驗的高度技術(shù)性的特點。［6］通過本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生熟練掌握各種常用的數(shù)值算法及其構(gòu)造原理，提高算法設(shè)計和理論分析的能力，并對實際問題進(jìn)行分析。這既能為學(xué)生打下良好的理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，又能提高學(xué)生解決問題的能力。［7］傳統(tǒng)的教學(xué)模式只注重講授數(shù)學(xué)方法及原理，理論教學(xué)占整個教學(xué)過程的大部分時間，上機時間少，甚至沒有上機時間，這不符合工科數(shù)學(xué)“以應(yīng)用為目的，以夠用為度”的原則，也很難與工程領(lǐng)域中的實際問題緊密聯(lián)系起來。這樣的教學(xué)方式不但不能引起學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)值分析”的興趣，而且會產(chǎn)生厭學(xué)情緒，導(dǎo)致課堂氣氛不活躍，進(jìn)而直接阻礙素質(zhì)教育目標(biāo)的實現(xiàn)。

二、“數(shù)值分析”教學(xué)模式的改革

對原有的“數(shù)值分析”課程的教學(xué)模式進(jìn)行改革，任課教師必須具有較高的學(xué)術(shù)造詣和扎實的基礎(chǔ)功底，并對工程領(lǐng)域中的背景知識具有一定的了解。此外，任課教師應(yīng)該重視學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力培養(yǎng)，注重與學(xué)生的交流，明確培養(yǎng)目標(biāo)并將培養(yǎng)目標(biāo)分解細(xì)化到教學(xué)大綱中，同時在日常教學(xué)中應(yīng)注意如下三個方面。

1.培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式

在“數(shù)值分析”課程的教學(xué)中，雖然在理論推導(dǎo)過程中利用到了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等前修課程中的知識，但是“數(shù)值分析”課程的學(xué)習(xí)更注重以工程應(yīng)用為背景，以解決實際問題為最終目標(biāo)。例如，在中學(xué)學(xué)習(xí)過利用求根公式求解一元二次方程的根(零點)，但是實際問題中遇到的不一定是一元二次方程，可能是比較復(fù)雜的非線性方程，那么該如何求得這些非線性方程的零點呢?在線性代數(shù)課程中學(xué)習(xí)了利用初等行變換的方法求解線性方程組的解，但是對于較大規(guī)模的線性方程組，初等行變換會產(chǎn)生非常龐大的運算量，這該如何避免呢?在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了求函數(shù)積分的方法，但是在實際問題中的被積函數(shù)很難找到原函數(shù)，那么又該如何求解這些函數(shù)的積分呢?要想解決以上的問題，需要重視兩種思維方式的轉(zhuǎn)變:一是從精確求解到求近似解的轉(zhuǎn)變，二是從人工計算到計算機計算的轉(zhuǎn)變。

在解決實際問題時，由于背景的復(fù)雜性，求解實際問題精確解往往都是不現(xiàn)實的，只需要對近似解進(jìn)行誤差分析，將近似解控制在允許的誤差范圍內(nèi)即可，這種從求精確解到求近似解的思維轉(zhuǎn)變是數(shù)值分析課程中需要學(xué)生深刻領(lǐng)悟的。上述三個問題就可以分別利用二分法、迭代法和構(gòu)造數(shù)值積分公式的方法求得近似解。另外，實際問題的運算量往往非常龐大，利用人工計算是不可能的，如何拋棄人工計算，而將數(shù)學(xué)方法在計算機上實現(xiàn)，也是數(shù)值分析課程中要求學(xué)生做到的重要的思維改變。

2.利用應(yīng)用背景將理論與實踐相結(jié)合

“數(shù)值分析”課程作為一門與工程領(lǐng)域密切相關(guān)的課程，如何將課程中學(xué)到的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到實際問題中就顯得尤為重要。一個好的數(shù)學(xué)方法，除了有嚴(yán)格的理論分析之外，一定要有較為實用的應(yīng)用背景?，F(xiàn)以函數(shù)插值為例探討如何以航海為背景學(xué)習(xí)函數(shù)插值方法。

首先通過例題引入需要解決的問題。［8］

已知某船靜水力特性參數(shù)表如下所示:

型吃水d/m d1=6.80 d2=7.00 d3=7.20 d4=7.40排水量w/t w1=8195 w2=8676 w3=9145 w4=9635 h/t h1=13760 h2=14240 h3=14710 h4=15200總載重量

若某艘輪船的型吃水為d0=7.25 m，求該輪船此時的排水量h0和總載重量w0。

如何求解該問題呢?可以引導(dǎo)學(xué)生通過(d2，h2)，(d3，h3)利用待定系數(shù)法求出一個一次多項式h=P1(d)，將d0代入即可求出h0。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)(d1，h1)這個信息沒有用上，這時通過(d1，h1)，(d2，h2)，(d3，h3)利用待定系數(shù)法求出一個二次多項式，學(xué)生會再問:(d4，h4)這個信息怎么辦?如果再通過(d1，h1)，(d2，h2)，(d3，h3)，(d4，h4)利用待定系數(shù)法求一個三次多項式，大部分學(xué)生就會覺得這樣做太麻煩了，這時引入插值基函數(shù)的概念，并通過插值基函數(shù)構(gòu)造插值多項式，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這種方法既有規(guī)律又方便計算。若再給出這個插值方法的誤差估計，一個完整的數(shù)學(xué)方法就引出來了。通過解決具有實際意義的問題，數(shù)值方法的思想得以充分利用。

3.采用啟發(fā)式教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生編程的能力

“數(shù)值分析”課程中的大部分知識既給出了解決實際問題的方法，又對這些方法進(jìn)行了理論分析，以保證方法的可操作性。教學(xué)中應(yīng)既講授方法和理論，同時注重培養(yǎng)學(xué)生的編程能力。目前，MALTB等試驗軟件不斷完善與升級，能夠滿足大部分工程實際中的運算需求。在教學(xué)過程中，應(yīng)結(jié)合應(yīng)用實例，采用啟發(fā)式的教學(xué)方式，啟發(fā)學(xué)生利用MATLAB將數(shù)學(xué)方法實現(xiàn)，逐步培養(yǎng)起學(xué)生主動編程的能力。

第一步，啟發(fā)學(xué)生對于事先給定的實際問題進(jìn)行分析，分析解決實際問題所需要的理論知識，鼓勵學(xué)生在課前獨立思考，促使學(xué)生在課后尋找資料，對將要學(xué)習(xí)的課程進(jìn)行預(yù)習(xí)，讓學(xué)生在課下思考用學(xué)過的解析方法能不能解決，若不能解決，如何用數(shù)值的方法解決，用這種啟發(fā)式引導(dǎo)學(xué)生思考和預(yù)習(xí);第二步，對于解決實際問題所用到的數(shù)值方法進(jìn)行講解，包括原理、理論分析、方法的推廣以及方法的適用范圍，使得背景知識、學(xué)習(xí)的目的和如何進(jìn)行算法設(shè)計貫穿整個課堂，這樣可以吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)習(xí)興趣，同時也體現(xiàn)了數(shù)值方法的實用意義和價值;第三步，啟發(fā)學(xué)生通過對實際問題和所學(xué)方法的綜合考慮，選擇合適的數(shù)值方法，啟發(fā)學(xué)生思考為什么不采用解析的方法，而要采用數(shù)值方法，應(yīng)該如何建立數(shù)值方法，如何進(jìn)行數(shù)值方法的推導(dǎo)等;第四步，鼓勵學(xué)生將合適的數(shù)值方法編程實現(xiàn)出來，解決所給定的實際問題，并對不同的算法進(jìn)行分析和比較。

三、教學(xué)模式改革后的效果

通過啟發(fā)式教學(xué)、轉(zhuǎn)變學(xué)生思維模式等教學(xué)模式的改革，學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)值分析”課程時逐漸由被動變?yōu)橹鲃?，利用計算機對實際問題求解數(shù)值解這種思想逐步代替了之前的求解析解的思維模式。啟發(fā)式教學(xué)也逐步引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的數(shù)學(xué)方法，主動編程并在計算機上實現(xiàn)，提高了學(xué)生解決實際問題的能力。下面仍然以船的靜水力特性參數(shù)為例，展現(xiàn)新的教學(xué)模式下學(xué)生學(xué)習(xí)知識的變化及效果。

當(dāng)所測得型吃水的數(shù)據(jù)比較多時，采用啟發(fā)式教學(xué)，學(xué)生便會主動尋求一種快捷的求解插值多項式的方法，并深刻了解到計算機的實際用途:可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)計算。多數(shù)學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)點較多時選擇Lagrange插值方法是不合適的，這時可以借助MATLAB畫出龍格現(xiàn)象(利用Lagrange方法對數(shù)據(jù)點較多的情形進(jìn)行插值時可能會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象)，學(xué)生會因為自己掌握了這種方法而產(chǎn)生成就感，促使自己繼續(xù)學(xué)習(xí)新的方法，這時引入分段插值的思想就非常自然了。分段插值方法中的經(jīng)典方法是三次樣條，為了使學(xué)生深刻了解三次樣條，可以鼓勵學(xué)生通過MATLAB利用三次樣條對船的靜水力特性參數(shù)的例子進(jìn)行求解，并將結(jié)果通過作圖的方式展現(xiàn)出來，這可以讓學(xué)生直觀地感受到三次樣條插值對外型設(shè)計、圖像處理的應(yīng)用效果，并培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力。

通過船的靜水力特性參數(shù)的例子，可以培養(yǎng)學(xué)生逐步解決實際問題的思維方法和步驟:分析實際問題—學(xué)習(xí)理論知識—學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法—對數(shù)值方法編程實現(xiàn)—分析結(jié)果—改進(jìn)數(shù)學(xué)方法—解決實際問題。通過船的靜水力特性參數(shù)的例子，學(xué)生也主動學(xué)習(xí)到了數(shù)值分析中的Lagrange插值方法和三次樣條插值方法。

四、結(jié)語

“數(shù)值分析”是一門利用計算機解決實際問題的學(xué)科，它是理論性和實踐性結(jié)合比較緊密的課程，對于理工科的本科學(xué)生而言，它的理論和實踐知識對學(xué)生的要求都比較高，因此要讓學(xué)生學(xué)好這門課程，需要在教學(xué)方式上采用一些技巧，比如采用啟發(fā)式的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，重視實踐環(huán)節(jié)等，這樣可以提高學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，使學(xué)生真正學(xué)好這門課程。

［1］伍渝江，尤傳華，丁方允.數(shù)值分析的繼承和改革［J］.高等理科教育，2001(1):46-49.

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［5］曾繁慧，高雷阜，胡行華.基于MATLAB的“數(shù)值分析”教學(xué)改革研究［J］.高教論壇，2008(3)，60-61.

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［7］袁海燕，安宇芳，李敏靜，等.“數(shù)值分析”課程設(shè)計實踐教學(xué)的幾點探討［J］.學(xué)理論，2013(24)，291-292.

［8］戴 冉，王 越.航海專業(yè)數(shù)學(xué)［M］.大連:大連海事大學(xué)出版社，2010.