基于球面調和映射的三維產品形態(tài)融合方法研究

蘇建寧， 吳江華， 劉 蕓， 張秦瑋

（1. 蘭州理工大學設計藝術學院，甘肅 蘭州 730050；2. 蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050）

產品形態(tài)是表達產品設計思想與實現(xiàn)產品功能的語言和媒介，通過形態(tài)的設計不僅要實現(xiàn)產品的使用功能還要傳達精神、文化等層面的意義與象征性，所以產品形態(tài)是產品自身的功能、結構、材料以及工藝技術等客觀因素，與設計者和消費者在審美、價值判斷等主觀因素相互作用的綜合結果[1]。

圖像變形技術在最近幾年的應用變得越來越廣泛，主要是將一個二維圖像轉變?yōu)榱硪粋€二維圖像[2]。隨著時代的發(fā)展，二維圖像的變形越來越不能滿足行業(yè)的需求，為了充分發(fā)揮在動畫和設計行業(yè)中形態(tài)變形的優(yōu)勢，三維形態(tài)變形技術變得越來越重要[3]，并逐漸成為研究的熱點。Lin和 Lee[4]針對多面體產品形態(tài)，提出一種可以創(chuàng)建包含兩個給定嵌入體模型點、線、面融合嵌入體模型的三維形態(tài)變形方法，Yang和 Bert[5]提出一種通過使用 T-樣條曲線標量函數(shù)來創(chuàng)建中間形態(tài)的三維變形方法，袁浩等[6]提出通過實現(xiàn)特征曲線的融合而得到局部三維形態(tài)變形的方法，上述方法對于比較復雜的產品形態(tài)，在變形時不能很好地保持兩個形態(tài)之間的對應關系。

針對此問題，本研究提出一種基于球面調和映射的三維產品形態(tài)變形方法，首先應用球面調和映射對三維產品形態(tài)進行描述[7]，包括對產品進行網(wǎng)格劃分和球面參數(shù)化。然后運用描述結果，提出一種將兩種產品形態(tài)進行融合的新算法，實現(xiàn)在兩個三維產品之間形態(tài)的變形，以此來豐富產品的形態(tài)。該變形方法適用于任意具有相同拓撲結構的產品形態(tài)，本研究整體框架如圖1所示。

1 基于球面調和映射的產品形態(tài)描述

1.1 產品表面數(shù)據(jù)結構

本研究中使用三維工程軟件來設計產品結構模型，然后劃分三角網(wǎng)格，其所構成的幾何拓撲結構[8]為三維形態(tài)的表面數(shù)據(jù)結構，劃分三角網(wǎng)格的方法采用三維實體網(wǎng)格自適應劃分算法[9]。該算法在對對象的加密區(qū)域、區(qū)域布點等前期處理后，將選取的節(jié)點集進行Delaunay三角剖分，選取最優(yōu)節(jié)點，并對特征集中區(qū)域進行局部加密，從而完成三維產品的網(wǎng)格劃分?；谝陨戏椒ǎ粋€鼠標基體模型的表面結構示意圖如圖2所示。

圖1 研究整體框架

圖2 表面模型結構

將形態(tài)劃分完三角網(wǎng)格后，最后提取網(wǎng)格信息，由此來獲得模型表面數(shù)據(jù)結構，其由模型表面幾何拓撲結構組成。模型表面幾何拓撲結構包括坐標原點(0,0,0)、表面節(jié)點和三角網(wǎng)格面，其中節(jié)點的記錄包括該點的空間直角坐標(x,y,z)和點的識別號，三角網(wǎng)格面的記錄包括3個點的識別號和面的識別號，當從對象物體的外面看時，每個面上的點均逆時針旋轉排列。

1.2 球面參數(shù)化

基于球面調和映射，對產品進行球面參數(shù)化，由此生成三維模型的嵌入體E1和E2。球面參數(shù)化建立了一個從三維網(wǎng)格曲面到參數(shù)域（單位球面）的連續(xù)均勻的映射[10-11]，其過程在極坐標下進行。極坐標θ和?確定如下：

（1）緯度θ由0（北極點）平穩(wěn)的增長到π（南極點）。對于每一個節(jié)點（除了兩個極點），在滿足邊界條件的前提下，采用相應的連續(xù)拉普拉斯方程?2θ=0，建立一個線性系統(tǒng)來求解所需的緯度屬性值θ。在這種離散系統(tǒng)下，每一個節(jié)點的緯度值（除兩個極點外）必須等于鄰近節(jié)點緯度的平均值，然后通過求解一個稀疏對稱線性方程組Aθ=b，其中A為n階矩陣，n為節(jié)點個數(shù)，θ= (θ,θ ,…θ)T，b是一個n維常向量。01n-1在此系統(tǒng)下，邊界條件提供了兩個方程，所以此系統(tǒng)共有 n*=n- 2 個方程未知。應用邊界條件θ0=θnorth，θn-1=θsouth，該線性方程組可轉化成n*階線性系統(tǒng) A*θ*=b*，其中 A*=（a11,a12,… an*n*）是一個對稱矩陣，θ*= (θ1,θ2,…θ*)T。n

該方法有一個重要的特性，緯度θ在兩極點之間持續(xù)單調變化，根據(jù)最大值原理，θ沒有局部極值點。

（2）與緯度θ不同的是，經(jīng)度?是一個循環(huán)的參數(shù)。從北極往下看，當沿著球面逆時針運動時，經(jīng)度?一直單調遞增，最終指定一個位置讓其達到2π。一個球體上的經(jīng)度參數(shù)包含一條在南極和北極之間運行的不連續(xù)的線段，階躍高度差是2π。在形成的網(wǎng)狀結構中，去除兩個極點和所有與極點連接的線段，可以得到管狀的拓撲網(wǎng)格結構。同樣采用循環(huán)拉普拉斯方程?2φ=0，通過求解一個線性方程組來解決這種離散問題。這個新的線性方程組在結構上和緯度相同，只有六個對角項的值和緯度不同，即每個極點對應3個鄰近點的值不同。

由于方程組具有周期性的邊界條件，通過添加一個周期常數(shù)來求解?，定義兩極點處的經(jīng)度φnorth=φsouth=0。此線性方程組是相互關聯(lián)的奇異系統(tǒng)，為了使其常規(guī)化，必須指定一個點的經(jīng)度值，任意指定方程φ1=0，并將此方程添加到線性方程組的第一行。

基于以上算法，對于模型中的每一個點，計算了緯度 θ和經(jīng)度 ?，由此建立了從三維模型表面到單位球面的一個連續(xù)均勻的映射。映射的結果是在面上的每個點r和一對球面坐標θ（緯度）和?（經(jīng)度）之間的一個雙映射[12]，表達如下：

其中θ ∈ [ 0 ,π],φ ∈ [ 0 ,2π]，并且滿足：

當自由變量θ和?在整個球體上運動時，r在三維產品形態(tài)的整個表面運動。圖3給出了一個鼠標基體模型的球面參數(shù)化實例，其數(shù)據(jù)結構包括球面點的空間坐標和點的識別號。

圖3 鼠標基體模型的球面參數(shù)化

2 三維產品形態(tài)融合技術

對于網(wǎng)格化的源模型M1和目標模型M2，首先通過其嵌入體模型來建立二者之間點的對應關系，然后通過插入這些點的對應關系來生成融合模型形態(tài)中所有點的三維位置，最后創(chuàng)建融合嵌入體三角網(wǎng)格面。包含以下4個階段：

（1）點的對應關系。對于球面嵌入體模型E1和 E2上的每一個點，計算其在三維模型表面M1和M2上對應的三維位置。首先計算E1上的每一個點在M2上的三維位置，其中表示E1上任意點的位置。由于E1和E2上的所有點都位于同一空間直角坐標系下，可計算出位于E2的一個面f=｛i,j,k｝內部，其中｛i,j,k｝表示 E2上的 3個點、、所形成的一個三角面。令、分別表示在三維模型、M2上對應的三維位置，計算出在面f上的重心坐標（u,v ,w ），如圖4所示。由于E1和E2保持了M1和M2的拓撲結構，利用重心坐標，E1上的每一個點在M2上對應的三維位置可以計算如下：

然后計算E2上的每一個點在M1上的三維位置，其中表示E2上任意點的位置。令、分別表示在三維模型M1、M2上對應的三維位置，同樣的，對于 E2上的每一個點，可以計算其在M1上對應的三維位置。

基于以上算法，可以對M1、M2上的點進行拓展，以此來減小形態(tài)的失真。構建矩陣=[其中分別表示拓展后M1、M2上所有點的三維位置。

（2）插值。在建立了源模型和目標模型一一對應關系之后，本研究采用線性插值實現(xiàn)從源模型M1到目標模型M2中產品形態(tài)的轉變。對于任意插值點 t ∈ [ 0 ,1]，融合模型中各個點的位置計算如下：

（3）檢驗。檢查E1和E2的線與線之間是否存在相交，若存在相交，則將這兩條相交線沿著交點處分成兩條線段。

（4）在Ec中創(chuàng)建三角網(wǎng)格面。首先將每一個點和與這個點相連的所有線段逆時針排列，然后通過兩條連續(xù)的線段 ei=｛i,k ｝和 ej= ｛ j,k｝ 可以生成一個新的三角面 fc=｛i,j,k｝。如果在點j和點k之間沒有線段，則在這兩點之間創(chuàng)建一條新的線段｛j,k｝，并將其添加到線段的列表當中。一直持續(xù)這個操作，直到Ec中每條線段的兩側都包含一個三角網(wǎng)格面，則創(chuàng)建了Ec中的三角網(wǎng)格面。

圖4 E1上的點映射到E2上

3 實例研究

本研究中選用兩種不同形態(tài)的鼠標基體模型進行實例研究。利用相應算法將兩個模型劃分三角網(wǎng)格之后，鼠標1的結構數(shù)據(jù)包含4350個點和8696個三角網(wǎng)格面，鼠標2的結構數(shù)據(jù)包含3494個點和6984個三角網(wǎng)格面，表面數(shù)據(jù)結構如表1和表2所示。

表1 鼠標1的表面數(shù)據(jù)結構

基于球面調和映射，應用Matlab軟件編寫相應的算法程序，將三維模型球面參數(shù)化，生成三維模型的嵌入體模型，同時提取球面參數(shù)化數(shù)據(jù)，如表3和表4所示。

表2 鼠標2的表面數(shù)據(jù)結構

表3 鼠標1的球面參數(shù)化數(shù)據(jù)

表4 鼠標2的球面參數(shù)化數(shù)據(jù)

將模型球面參數(shù)化后，應用參數(shù)化數(shù)據(jù)重構模型表面。在同一空間直角坐標系下，將兩個嵌入體融合，計算每個點之間的對應關系，最后應用線性插值方法將中間形態(tài)輸出。運行的計算機圖形用戶界面如圖5所示。

界面左邊顯示兩個不同形態(tài)的三維源模型和目標模型及其嵌入體模型，右邊是融合的三維模型形態(tài)及其嵌入體模型。在此界面下，用戶可以通過設定任意插值點t（從0到1）的值來產生多種融合形態(tài)，還可以通過平移、旋轉、縮放來更加清楚地查看產生的中間形態(tài)。圖 6顯示了由源模型轉變到目標模型產生的一些中間形態(tài)。

圖5 產品形態(tài)融合的計算機圖形用戶界面

4 結 論

在產品創(chuàng)新設計中，形態(tài)的多樣化對提高產品的市場競爭力具有重要的作用。本研究從產品形態(tài)出發(fā)，運用球面調和映射的分析方法，提出一種豐富產品形態(tài)的新方法?？偨Y本研究內容，主要有以下兩方面的結論。

（1）通過將三維產品形態(tài)劃分三角網(wǎng)格，利用球面調和映射對形態(tài)表面數(shù)據(jù)進行球面參數(shù)化處理，得到兩個嵌入體模型。球面調和映射是建立三維模型球面參數(shù)化的有力工具，其魯棒性好、結構緊湊，能最大限度的減小尺度的失真，同時能較好地保證三維模型的拓撲結構。

（2）應用得到的嵌入體模型，建立兩種不同產品形態(tài)表面上各個點的對應關系。利用線性插值方法得到更多的中間形態(tài)，從而達到豐富產品形態(tài)的目的。

圖6 鼠標1到鼠標2的形態(tài)轉變

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