多采樣率信號(hào)處理的發(fā)展

萬偉程+李艷華+周三文

摘 要： 數(shù)字通信系統(tǒng)中，為適應(yīng)傳輸、降低資源消耗、適于處理操作，常需要變換信號(hào)的采樣率。多采樣率信號(hào)處理理論從語音信號(hào)處理中發(fā)展起來，在應(yīng)用中不斷豐富。隨著軟件無線電的應(yīng)用，多采樣率變換在數(shù)字信號(hào)領(lǐng)域占據(jù)越來越重要的地位。多采樣率信號(hào)處理技術(shù)與小波分析、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換等其他信號(hào)處理技術(shù)相結(jié)合是未來發(fā)展的方向。

關(guān)鍵詞： 多采樣率； 信號(hào)處理； 數(shù)字濾波器； 傅里葉變換

中圖分類號(hào)： TN911.72?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）13?0057?03

Development of signal processing at multi?sampling rates

WAN Wei?cheng， LI Yan?hua， ZHOU San?wen

（Beijing Research Institute of Telemetry， Beijing 100076， China）

Abstract： The sampling rate of signal often needs to be changed for fitting transmission， reducing resource consumption and suiting process handling in digital communication system. Multirate signal processing theory arose from speech signal processing and was enriched in application. Multirate signal processing plays an important role in digital signal processing with the application of software radio. It′s a tendency of combining the multirate signal processing with wavelet analysis and fractional Fourier transform.

Keywords： multirate sample； signal processing； digital filter； Fourier transform

0 引 言

20世紀(jì)60年代以來，數(shù)字信號(hào)由于處理靈活、精度高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)得到廣泛應(yīng)用[1]。數(shù)字信號(hào)由模擬信號(hào)采樣而來，其過采樣率越高其信噪比越大，但傳輸量、資源消耗以及運(yùn)算量也增加。為減少開銷、節(jié)約存儲(chǔ)傳輸?shù)荣Y源，要盡可能以低采樣率表示信號(hào)而不損失信息，這需要使用多采樣率處理技術(shù)改變信號(hào)采樣率。

采樣率變換有兩種方式[2]：一是將數(shù)字信號(hào)重構(gòu)為模擬信號(hào)再重采樣；二是用數(shù)字方法直接進(jìn)行采樣率變換。數(shù)字采樣率變換簡(jiǎn)潔、靈活并可減少硬件使用。采樣率變換分為內(nèi)插和抽?。簝?nèi)插和抽取分別會(huì)引入鏡像干擾和頻譜混疊，需要使用變采樣濾波器來提高處理性能。

常用的變采樣濾波器有[3]：多速率FIR濾波器、CIC濾波器、半帶濾波器。FIR濾波器的多相結(jié)構(gòu)可以減少計(jì)算量。CIC濾波器和半帶濾波器由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算消耗少等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 多采樣率發(fā)展

1977年，Esteban和Galand研究語音壓縮時(shí)設(shè)計(jì)了雙通道正交鏡像濾波器組，這是多采樣率信號(hào)處理的突破性成就。數(shù)字信號(hào)的分解/綜合會(huì)導(dǎo)致幅度及相位誤差，需對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。

20世紀(jì)80年代起，多采樣率信號(hào)處理理論得到廣泛的應(yīng)用。1981年，Crochiere和Rabiner的文章[4]：講述多采樣率基本理論、濾波器多相結(jié)構(gòu)、變采樣濾波器設(shè)計(jì)原則和多采樣率處理的分級(jí)結(jié)構(gòu)等。1983年，兩人的《Multirate Digital Signal Processing》出版標(biāo)志多采樣率基礎(chǔ)理論已經(jīng)成熟。Vaidyanatha對(duì)多采樣率信號(hào)處理發(fā)展做出極大地貢獻(xiàn)[5]，其文獻(xiàn)[6]闡述變采樣率QMF濾波器組的設(shè)計(jì)及應(yīng)用，首先研究完全重建非均勻?yàn)V波器組，給出了消除混疊分量的條件。

幾十年來，多采樣率信號(hào)處理理論得到廣泛應(yīng)用：如通信系統(tǒng)、語音圖像的壓縮、頻譜分析、雷達(dá)及天線系統(tǒng)、子帶編碼、自適應(yīng)信號(hào)處理等。

1.2 內(nèi)插和抽取

[x（n）]內(nèi)插[L]倍后序列[xL（n）]的頻譜是原頻譜的[L]倍壓縮，周期變?yōu)樵l譜的[1L。]內(nèi)插后信號(hào)頻域上會(huì)產(chǎn)生鏡像，須用低通濾波器[h（n）]來濾除內(nèi)插鏡像。

[M]倍抽取后信號(hào)頻譜是原頻譜頻域上擴(kuò)展[M]倍，以[2π/M]為周期進(jìn)行延拓。為防止頻域擴(kuò)展后的混疊，抽取前要把信號(hào)帶寬限制在[[-πM，πM]]之內(nèi)。

抽取和內(nèi)插結(jié)構(gòu)具有對(duì)偶性。采樣率變換設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是抗混疊和鏡像抑制濾波器，多采樣率理論的研究主要集中于高效變采樣濾波器。

1.3 Noble恒等式

Noble恒等變換是指在信號(hào)處理的過程中既有線性系統(tǒng)又有抽?。▋?nèi)插）器時(shí)，可重新排列各部分的處理順序以提高計(jì)算效率，且結(jié)構(gòu)改變時(shí)系統(tǒng)的總體功能不變。利用該恒等式變換可以先抽取再進(jìn)行線性濾波，濾波器長(zhǎng)度可降為原來的[1M，]且把乘法放在低采樣率端以降低功耗，這有利于節(jié)約資源，提高效率。

2 多采樣率濾波器

2.1 整數(shù)倍多采樣濾波器

為了節(jié)約資源、提高效率，高效低運(yùn)算量的濾波器成為多采樣率理論的研究目標(biāo)。

2.1.1 CIC濾波器

1981年，Hogenauer提出一種無乘法的整數(shù)倍變采樣率濾波器——Hogenauer CIC濾波器[7]。CIC濾波器只需將相鄰的[M]個(gè)數(shù)據(jù)相加，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。[h（n）]的[z]變換為[Hz =（1（1-z-1））? （1-z-M）=H1（z）?H2（z）。]其頻率響應(yīng)為：

[Hejω=M?SaωM2 ?Sa-1ω2 ] （1）

其最小旁瓣衰減[αS≈13.46 ]dB，CIC濾波器多級(jí)級(jí)聯(lián)可增加阻帶衰減：[αQS=Q×13.46 ]dB。CIC濾波器[Q]級(jí)級(jí)聯(lián)處理增益較大。CIC濾波器通帶衰減過快，人們提出了很多解決方案改進(jìn)CIC的缺陷[8]。

CIC濾波器用于采樣率變換時(shí)，[H1z]在高數(shù)據(jù)速率端，[H2z]位于低數(shù)據(jù)速率端，采樣率變換器位于中間。

2.1.2 半帶濾波器

半帶濾波器（HBF）適于[M=2N]倍采樣率變換。其頻率響應(yīng)的阻帶帶寬等于通帶帶寬，且通帶波紋等于阻帶波紋。其沖擊響應(yīng)[h（n）]除[n=0]的其余偶數(shù)點(diǎn)全為零，系數(shù)的對(duì)稱性使得乘法次數(shù)減少近3/4。

2.1.3 多相濾波器

多相濾波結(jié)構(gòu)可以有效地降低計(jì)算量、提高處理效率。多相分解是指將數(shù)字濾波器[Hz=n=0N-1hn?z-n]分解成若干個(gè)不同相位的分組。設(shè)[M]為[N]的因子的整數(shù)倍，[D=NM，]則[Hz]可分解為：[Hz =n=0D-1h（nM）（zM）-n+z-1n=0D-1h（nM+1）（zM）-n+…+ z-（M-1） n=0D-1h（nM+M-1）（zM）-n]（2）

多相結(jié)構(gòu)的濾波在抽取后進(jìn)行可降低對(duì)處理速度的要求，濾波器每分支的系數(shù)減少至[NM]個(gè)，減少濾波運(yùn)算的誤差累積。

2.1.4 多采樣級(jí)聯(lián)

多采樣率信號(hào)處理分級(jí)級(jí)聯(lián)后可降低每級(jí)濾波器設(shè)計(jì)復(fù)雜度和運(yùn)算量。多級(jí)級(jí)聯(lián)有兩種方法：一是以乘法次數(shù)或存儲(chǔ)量為準(zhǔn)則選擇最佳的級(jí)數(shù)和各級(jí)變換因子；二是用CIC濾波器、半帶濾波器等簡(jiǎn)單濾波器級(jí)聯(lián)。

M W Coffey給出多級(jí)級(jí)聯(lián)通用性的判別條件，設(shè)過渡帶[Δf=（fs2-fp）（fs2），]其中[fs]為輸出采樣率，[fp]為通帶截止頻率，[α=（2-Δf）2M：]

[T（M，Δf，K）=2ΔfMj=1K-1Mj+i=1K-1M1-αj=1iMj] （3）

式中：[K]為級(jí)聯(lián)數(shù)，[M=i=1KMi，]使式（3）的值最小化可得到最優(yōu)的多級(jí)級(jí)聯(lián)方案[9]。

2.2 任意因子多采樣濾波器

應(yīng)用中常會(huì)遇到非整數(shù)倍采樣率變換，為了使得多采樣率信號(hào)處理性能較高，常使用數(shù)字重構(gòu)技術(shù)。

2.2.1 信號(hào)重構(gòu)

信號(hào)[y（t）]可通過滿足奈奎斯特速率的采樣序列[y（nTi）]完全無失真重構(gòu)，對(duì)重構(gòu)信號(hào)[yt]重采樣可以得到變采樣信號(hào)[y（mTo）=yt?δ（t-mTo）。]在輸出時(shí)刻[mTo=kTi+μkTi，]重采樣信號(hào)為：

[y（mTo）=ykTi+μkTi=n=-∞∞y（nTi）?sin[πTikTi+μkTi-nTi]πTikTi+μkTi-nTi] （4）

式中：[μk∈[0，1）]是輸出采樣位置基于輸入時(shí)刻的歸一化偏移量?；谑剑?）可設(shè)計(jì)任意變采樣率模塊，但需存儲(chǔ)大量的系數(shù)，為減少存儲(chǔ)量可用多項(xiàng)式近似重構(gòu)濾波器系數(shù)。

2.2.2 多項(xiàng)式插值

重構(gòu)濾波器系數(shù)可由[N]點(diǎn)拉格朗日多項(xiàng)式逼近[Pm（μ）=i=0N-1ciμi，][μ]為歸一化偏移量，階數(shù)[N]根據(jù)系統(tǒng)性能需求確定。

（1） Farrow結(jié)構(gòu)

Farrow基于拉格朗日插值，提出一種易實(shí)現(xiàn)的變延遲系數(shù)多采樣濾波器嵌套結(jié)構(gòu)[10]：[Pm（μ）=cm（0）+] [μ（cm（1）+μ（cm（2）+μcm（3）））]，則濾波輸出為：

[y（k+μ） =i=03μlm=03cm（i）?x（k-m）] （5）

該結(jié)構(gòu)只需存儲(chǔ)較少的系數(shù)且不計(jì)算冪值，調(diào)整[μ]便可近似重構(gòu)濾波器系數(shù)。

（2） B樣條插值

拉格朗日逼近在邊界波動(dòng)較大。B樣條函數(shù)逼近會(huì)更光滑。[N]次對(duì)稱B樣條[11]：

[βN（t）=1N！k=0N+1（-1）kN+1kt-k+N+12N+] （6）

B樣條插值長(zhǎng)度有限，B樣條所有線段為[N]次且[N]次可微，其所有項(xiàng)的[N]次計(jì)算較拉格朗日內(nèi)插算法復(fù)雜、計(jì)算量較高。常用的數(shù)字信號(hào)處理使用3次B樣條。

3 多采樣率應(yīng)用

多采樣率技術(shù)在現(xiàn)代通信中有著各種形式的廣泛應(yīng)用：如A/D變換、數(shù)字通信、音視頻信號(hào)處理、雷達(dá)信號(hào)處理等。

3.1 A/D中的應(yīng)用

高速ADC中廣泛使用多采樣率處理技術(shù)[12]。Σ?Δ型ADC對(duì)信號(hào)高速采樣，用相鄰采樣值間的差值表示信號(hào)。高倍過采樣使信號(hào)噪聲擴(kuò)展到很寬的頻帶，通過多采樣濾波器降低采樣率并濾除帶外噪聲從而提高系統(tǒng)信噪比。

時(shí)間交織型ADC用多路低速ADC并行對(duì)信號(hào)等間隔交替采樣實(shí)現(xiàn)高速模數(shù)轉(zhuǎn)換。各ADC的時(shí)間不能精確匹配會(huì)影響采樣精度。A/D前用多通道QMF將信號(hào)分為幾個(gè)子帶，每個(gè)子帶的采樣誤差互不干擾，在數(shù)字域信號(hào)綜合并重采樣消除子帶間的不匹配。多采樣率信號(hào)處理可彌補(bǔ)現(xiàn)有ADC性能不足。

3.2 數(shù)字通信中的應(yīng)用

多采樣率信號(hào)處理廣泛應(yīng)用于通信系統(tǒng)中：內(nèi)插濾波器、定時(shí)同步等[13]。D/A前需要對(duì)信號(hào)提高采樣率；解調(diào)端的ADC對(duì)模擬信號(hào)高速采樣，其過采樣倍數(shù)很大，需降低采樣率以節(jié)約系統(tǒng)開銷。

現(xiàn)代定時(shí)恢復(fù)在數(shù)字域進(jìn)行，計(jì)算匹配濾波后數(shù)據(jù)的定時(shí)誤差控制重采樣濾波器計(jì)算最佳采樣點(diǎn)，其精度高、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，已在現(xiàn)代數(shù)字接收機(jī)中廣泛應(yīng)用。

分解/綜合濾波器組可實(shí)現(xiàn)TDMA，CDMA以及FDMA。正交頻分復(fù)用（OFDM）、離散多頻調(diào)制（DMT）等都可用[M]通道濾波器組實(shí)現(xiàn)。

3.3 音視頻中的應(yīng)用

濾波器組理論也用于音視頻的壓縮、編碼及識(shí)別。QMF最初用于語音壓縮[14]，后逐漸用于圖像、視頻壓縮。多通道濾波器組對(duì)子帶按信息量編碼，舍棄無信息的子帶對(duì)信息壓縮。通過內(nèi)插和各子帶疊加可無失真重建信號(hào)。多維多采樣率信號(hào)處理可直接處理圖像、視頻等多維信號(hào)。

3.4 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的應(yīng)用

近年來，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FrFT）作為一種新的時(shí)頻分析工具而興起，它是傳統(tǒng)傅里葉變換的一般形式。傳統(tǒng)傅里葉變換是[α=π2]的FrFT域，很多信號(hào)在此域上并不是帶限，但在其他[α] FrFT域上卻是帶限的，這類信號(hào)的分析需要在FrFT域進(jìn)行。信號(hào)[x（t）]角度為[α]的離散時(shí)間分?jǐn)?shù)階傅里葉變換為[15]：

[Xα（u）=1-jcosα2π?-∞+∞x（n）?ej12（n2+u2）cotα-juncscα] （7）

FrFT域中，周期[Δup=2πsinαΔt，][Δt]為時(shí)域采樣周期；[α=pπ2]則稱[p]階FrFT；[ω=u?Δt]為數(shù)字頻率。根據(jù)式（4），F(xiàn)rFT的信號(hào)重構(gòu)公式為：

[xr（t）=e-jt22cotαn=-∞∞e-j（nTs）22cotαx（nTs）? Ts[sin（Ωα（t-nTs）cscα）]πt-nTs] （8）

FrFT可處理傳統(tǒng)傅里葉域無法處理的時(shí)變信號(hào)以及隨機(jī)非平穩(wěn)信號(hào)等，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 語

隨著通信需求的增加，信號(hào)的傳輸速度也越來越高，多采樣率理論變得越來越重要且得到了極大的發(fā)展。多速率信號(hào)處理的應(yīng)用會(huì)節(jié)約資源、減少工程代價(jià)。多速率信號(hào)處理與其他理論相結(jié)合將是未來發(fā)展的方向，例如：多采樣率理論與小波變換相結(jié)合從細(xì)節(jié)上分析信號(hào)頻譜；多采樣率信號(hào)處理理論用于擴(kuò)頻信號(hào)或者盲信號(hào)處理中以降低復(fù)雜度。總之，多采樣率信號(hào)處理理論將隨著通信技術(shù)的發(fā)展而成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] OPPENHEIM A V， SCHAFER R W. Discrete?time signal processing [M]. 3rd ed. New Jersy： PEARSON， 2010.

[2] HARRIS F J. Multirate signal processing for communication systems [M]. New Jersy： PEARSON， 2004.

[3] AACH T， FUH H. Shift variance measures for multirate LPSV filter banks with random input signals [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2012， 60（10）： 5125?5134.

[4] CROCHIERE R E， RABINER L R. Interpolation and decimation of digital signals： a tutorial review [J]. Proceedings of the IEEE， 1981， 69（3）： 300?331.

[5] VAIDYANATHAN P P， NGUYEN T Q. A “TRICK” for the design of FIR half?band filters [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems， 1987， 34（3）： 297?300.

[6] VAIDYANATHAN P P. Multirate digital filters， filter banks， polyphase networks， and applications： a tutorial [J]. Procee?dings of the IEEE， 1990， 78（1）： 56?93.

[7] HOGENAUER E B. An economical class of digital filters for decimation and interpolation [J]. IEEE Transactions on ASSP， 1981， 29（2）： 155?162.

[8] DOLECEK G J. Compensated sharpened comb decima? tion filter [C]// 7th ISPA. Dubrovnik： [s.n.]， 2011： 15?19.

[9] MINTZER F. On half?band third?band and nth band fir filter and their design [J]. IEEE Transactions on ASSP， 1982， 30： 734?738.

[10] COFFEY M W. Optimizing multistage decimation and interpolation processing [J]. IEEE SPL， 2003， 10（4）： 107?110.

[11] FARROW C W. A continuously variable digital delay element [C]// Proceedings of 1988 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. Espoo： IEEE， 1988， 3： 2641?2645.

[12] UNSER M， ALDROUBI V， EDEN M. B?spline signal proces?sing： I?Theory [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1993， 41（2）： 821?833.

[13] PILLAI M， JOHANSSON H. Efficient signal reconstru? ction scheme for time?interleaved ADCs [J]. IEEE Proceedings， 2012， 20（3）： 357?360.

[14] CHUNG C， CHEN W. Orthogonal multirate modulation [J]. IEEE Transactions on Communications， 2012， 60（1）： 30?36.

[15] MAGANTI S. Suppression of interference in speech signals via multirate filter banks [C]// 8th CSNDSP. Poznan： [s.n.]， 2012： 1?4.

[16] 陶然，張惠云，王越.多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理理論及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

3.4 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的應(yīng)用

近年來，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FrFT）作為一種新的時(shí)頻分析工具而興起，它是傳統(tǒng)傅里葉變換的一般形式。傳統(tǒng)傅里葉變換是[α=π2]的FrFT域，很多信號(hào)在此域上并不是帶限，但在其他[α] FrFT域上卻是帶限的，這類信號(hào)的分析需要在FrFT域進(jìn)行。信號(hào)[x（t）]角度為[α]的離散時(shí)間分?jǐn)?shù)階傅里葉變換為[15]：

[Xα（u）=1-jcosα2π?-∞+∞x（n）?ej12（n2+u2）cotα-juncscα] （7）

FrFT域中，周期[Δup=2πsinαΔt，][Δt]為時(shí)域采樣周期；[α=pπ2]則稱[p]階FrFT；[ω=u?Δt]為數(shù)字頻率。根據(jù)式（4），F(xiàn)rFT的信號(hào)重構(gòu)公式為：

[xr（t）=e-jt22cotαn=-∞∞e-j（nTs）22cotαx（nTs）? Ts[sin（Ωα（t-nTs）cscα）]πt-nTs] （8）

FrFT可處理傳統(tǒng)傅里葉域無法處理的時(shí)變信號(hào)以及隨機(jī)非平穩(wěn)信號(hào)等，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 語

隨著通信需求的增加，信號(hào)的傳輸速度也越來越高，多采樣率理論變得越來越重要且得到了極大的發(fā)展。多速率信號(hào)處理的應(yīng)用會(huì)節(jié)約資源、減少工程代價(jià)。多速率信號(hào)處理與其他理論相結(jié)合將是未來發(fā)展的方向，例如：多采樣率理論與小波變換相結(jié)合從細(xì)節(jié)上分析信號(hào)頻譜；多采樣率信號(hào)處理理論用于擴(kuò)頻信號(hào)或者盲信號(hào)處理中以降低復(fù)雜度?？傊嗖蓸勇市盘?hào)處理理論將隨著通信技術(shù)的發(fā)展而成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] OPPENHEIM A V， SCHAFER R W. Discrete?time signal processing [M]. 3rd ed. New Jersy： PEARSON， 2010.

[2] HARRIS F J. Multirate signal processing for communication systems [M]. New Jersy： PEARSON， 2004.

[3] AACH T， FUH H. Shift variance measures for multirate LPSV filter banks with random input signals [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2012， 60（10）： 5125?5134.

[4] CROCHIERE R E， RABINER L R. Interpolation and decimation of digital signals： a tutorial review [J]. Proceedings of the IEEE， 1981， 69（3）： 300?331.

[5] VAIDYANATHAN P P， NGUYEN T Q. A “TRICK” for the design of FIR half?band filters [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems， 1987， 34（3）： 297?300.

[6] VAIDYANATHAN P P. Multirate digital filters， filter banks， polyphase networks， and applications： a tutorial [J]. Procee?dings of the IEEE， 1990， 78（1）： 56?93.

[7] HOGENAUER E B. An economical class of digital filters for decimation and interpolation [J]. IEEE Transactions on ASSP， 1981， 29（2）： 155?162.

[8] DOLECEK G J. Compensated sharpened comb decima? tion filter [C]// 7th ISPA. Dubrovnik： [s.n.]， 2011： 15?19.

[9] MINTZER F. On half?band third?band and nth band fir filter and their design [J]. IEEE Transactions on ASSP， 1982， 30： 734?738.

[10] COFFEY M W. Optimizing multistage decimation and interpolation processing [J]. IEEE SPL， 2003， 10（4）： 107?110.

[11] FARROW C W. A continuously variable digital delay element [C]// Proceedings of 1988 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. Espoo： IEEE， 1988， 3： 2641?2645.

[12] UNSER M， ALDROUBI V， EDEN M. B?spline signal proces?sing： I?Theory [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1993， 41（2）： 821?833.

[13] PILLAI M， JOHANSSON H. Efficient signal reconstru? ction scheme for time?interleaved ADCs [J]. IEEE Proceedings， 2012， 20（3）： 357?360.

[14] CHUNG C， CHEN W. Orthogonal multirate modulation [J]. IEEE Transactions on Communications， 2012， 60（1）： 30?36.

[15] MAGANTI S. Suppression of interference in speech signals via multirate filter banks [C]// 8th CSNDSP. Poznan： [s.n.]， 2012： 1?4.

[16] 陶然，張惠云，王越.多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理理論及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

3.4 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的應(yīng)用

近年來，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FrFT）作為一種新的時(shí)頻分析工具而興起，它是傳統(tǒng)傅里葉變換的一般形式。傳統(tǒng)傅里葉變換是[α=π2]的FrFT域，很多信號(hào)在此域上并不是帶限，但在其他[α] FrFT域上卻是帶限的，這類信號(hào)的分析需要在FrFT域進(jìn)行。信號(hào)[x（t）]角度為[α]的離散時(shí)間分?jǐn)?shù)階傅里葉變換為[15]：

[Xα（u）=1-jcosα2π?-∞+∞x（n）?ej12（n2+u2）cotα-juncscα] （7）

FrFT域中，周期[Δup=2πsinαΔt，][Δt]為時(shí)域采樣周期；[α=pπ2]則稱[p]階FrFT；[ω=u?Δt]為數(shù)字頻率。根據(jù)式（4），F(xiàn)rFT的信號(hào)重構(gòu)公式為：

[xr（t）=e-jt22cotαn=-∞∞e-j（nTs）22cotαx（nTs）? Ts[sin（Ωα（t-nTs）cscα）]πt-nTs] （8）

FrFT可處理傳統(tǒng)傅里葉域無法處理的時(shí)變信號(hào)以及隨機(jī)非平穩(wěn)信號(hào)等，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 語

隨著通信需求的增加，信號(hào)的傳輸速度也越來越高，多采樣率理論變得越來越重要且得到了極大的發(fā)展。多速率信號(hào)處理的應(yīng)用會(huì)節(jié)約資源、減少工程代價(jià)。多速率信號(hào)處理與其他理論相結(jié)合將是未來發(fā)展的方向，例如：多采樣率理論與小波變換相結(jié)合從細(xì)節(jié)上分析信號(hào)頻譜；多采樣率信號(hào)處理理論用于擴(kuò)頻信號(hào)或者盲信號(hào)處理中以降低復(fù)雜度。總之，多采樣率信號(hào)處理理論將隨著通信技術(shù)的發(fā)展而成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] OPPENHEIM A V， SCHAFER R W. Discrete?time signal processing [M]. 3rd ed. New Jersy： PEARSON， 2010.

[2] HARRIS F J. Multirate signal processing for communication systems [M]. New Jersy： PEARSON， 2004.

[3] AACH T， FUH H. Shift variance measures for multirate LPSV filter banks with random input signals [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2012， 60（10）： 5125?5134.

[4] CROCHIERE R E， RABINER L R. Interpolation and decimation of digital signals： a tutorial review [J]. Proceedings of the IEEE， 1981， 69（3）： 300?331.

[5] VAIDYANATHAN P P， NGUYEN T Q. A “TRICK” for the design of FIR half?band filters [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems， 1987， 34（3）： 297?300.

[6] VAIDYANATHAN P P. Multirate digital filters， filter banks， polyphase networks， and applications： a tutorial [J]. Procee?dings of the IEEE， 1990， 78（1）： 56?93.

[7] HOGENAUER E B. An economical class of digital filters for decimation and interpolation [J]. IEEE Transactions on ASSP， 1981， 29（2）： 155?162.

[8] DOLECEK G J. Compensated sharpened comb decima? tion filter [C]// 7th ISPA. Dubrovnik： [s.n.]， 2011： 15?19.

[9] MINTZER F. On half?band third?band and nth band fir filter and their design [J]. IEEE Transactions on ASSP， 1982， 30： 734?738.

[10] COFFEY M W. Optimizing multistage decimation and interpolation processing [J]. IEEE SPL， 2003， 10（4）： 107?110.

[11] FARROW C W. A continuously variable digital delay element [C]// Proceedings of 1988 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. Espoo： IEEE， 1988， 3： 2641?2645.

[12] UNSER M， ALDROUBI V， EDEN M. B?spline signal proces?sing： I?Theory [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1993， 41（2）： 821?833.

[13] PILLAI M， JOHANSSON H. Efficient signal reconstru? ction scheme for time?interleaved ADCs [J]. IEEE Proceedings， 2012， 20（3）： 357?360.

[14] CHUNG C， CHEN W. Orthogonal multirate modulation [J]. IEEE Transactions on Communications， 2012， 60（1）： 30?36.

[15] MAGANTI S. Suppression of interference in speech signals via multirate filter banks [C]// 8th CSNDSP. Poznan： [s.n.]， 2012： 1?4.

[16] 陶然，張惠云，王越.多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理理論及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.