隨機(jī)投資收益率下帶干擾的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型

王麗霞，李雙東，沈辰

（1.安徽大學(xué)江淮學(xué)院公共基礎(chǔ)部，安徽合肥 230031；2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 230060）

隨機(jī)投資收益率下帶干擾的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型

王麗霞1，李雙東1，沈辰2

（1.安徽大學(xué)江淮學(xué)院公共基礎(chǔ)部，安徽合肥 230031；2.合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽合肥 230060）

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，假定保費(fèi)收入服從復(fù)合Poisson過(guò)程，將初始資金中多余的部分資本用于投資，結(jié)合金融市場(chǎng)的隨機(jī)性，考慮投資收益率為隨機(jī)變量的情形，并將通貨膨脹等隨機(jī)干擾因素的影響也考慮進(jìn)來(lái)。同時(shí)，為減小風(fēng)險(xiǎn)，將模型以比例再保險(xiǎn)策略控制，建立了帶有隨機(jī)保費(fèi)收入、隨機(jī)投資收益和隨機(jī)干擾的再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，使其更為符合實(shí)際。運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)及精算方法得到模型破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式及Lundberg不等式。最后借助MATLAB軟件對(duì)結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值模擬，直觀地說(shuō)明了投資額、投資收益率、再保險(xiǎn)自留水平對(duì)破產(chǎn)概率的影響．

隨機(jī)收益；破產(chǎn)概率；比例再保險(xiǎn)；數(shù)值模擬

引言

風(fēng)險(xiǎn)模型的再保險(xiǎn)和最優(yōu)投資策略的研究，是精算數(shù)學(xué)和保險(xiǎn)業(yè)的熱門(mén)話題，而經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率是學(xué)者們研究的主要對(duì)象①Gerber H U著.成世學(xué)：《數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)輪導(dǎo)論》，嚴(yán)穎譯，北京：世界圖書(shū)出版公司，1997年。，隨著保險(xiǎn)市場(chǎng)的日益完善和競(jìng)爭(zhēng)的日益激烈，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型已不能滿(mǎn)足實(shí)際運(yùn)用的需要，隨之而來(lái)的便是對(duì)于經(jīng)典模型的一系列改進(jìn)。

Boikov②Boikov,A.V.，The Cramér Lundberg model with stochastic premium process.Theory of Probability and its pplications,2003，47，pp.489-493.假定保單收入過(guò)程為齊次復(fù)合Poisson過(guò)程，保費(fèi)收入過(guò)程為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，Wang③Wang,G.Wu,R,Distribution for risk process with astochastic return on investments.Stochastic process 2001.85.pp.329-341.和Yuen④Yuen,K.C.et al,Ruin probabilities for a risk process with stochastic return on investment.Stochastic Proc.Appl.,2004,110.pp.259-341.則考慮將多余的資本用于投資，以提高保險(xiǎn)公司的賠付能力，聶高琴⑤聶高琴，劉黎明：《一類(lèi)帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型》，《統(tǒng)計(jì)與決策》2009年第17期，第160－161頁(yè)。及黎鎖平⑥黎鎖平,劉琪：《投資和干擾具有隨機(jī)保費(fèi)的離散風(fēng)險(xiǎn)模型》，《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》2009年第1期，第9-14頁(yè)。將通貨膨脹等隨機(jī)干擾因素的影響考慮進(jìn)來(lái)，得到了帶干擾風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率的Lundberg不等式。趙金娥⑦趙金娥,王貴紅,龍瑤：《理賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型》，《西南大學(xué)學(xué)報(bào)》(自然科學(xué)版)2013年第3期，第14頁(yè)。假定理賠過(guò)程為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，李棵⑧李棵,趙曉芹：《多因素影響下的三非齊Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型》，《數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用》2013年第1期，第77-81頁(yè)。則考慮了保費(fèi)收取及索賠過(guò)程均為非齊次Poisson過(guò)程，得到了類(lèi)似的結(jié)果。本文假定保險(xiǎn)公司將多余資本用于投資，由于投資種類(lèi)的多樣性、復(fù)雜性，當(dāng)資產(chǎn)組合中的投資種類(lèi)達(dá)到一定數(shù)量時(shí),可假定資產(chǎn)組合的投資收益率服從正態(tài)分布。在此基礎(chǔ)上考慮模型由比例再保險(xiǎn)控制，再保險(xiǎn)對(duì)于分散保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)，增加保險(xiǎn)公司的償付能力有著很重要的作用，因此成為學(xué)者們研究的一個(gè)重要方向①Diasparra M A，Romera R,Bounds for the ruin probability of a discrete-time risk process,J．Appl. Probab.,2009.46.pp.99—112;Christian Irgens,Jostein Paulsen,Optimal controlof risk exposure,reinsurance and investments for insurance portfolios,Insurance:Mathematics and Economics 2004.35.pp.21–51; Liang Z.,Guo J.,Upper bound for ruin probabilities under optimal investment and proportional reinsurance, Applied Stochastic model in business and Industry,2007.23.pp.63-71.，然而在離散情形下的討論則相對(duì)較少，本文在經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上，既考慮了將多余資本投資到具有隨機(jī)投資收益率的金融市場(chǎng)中，又將市場(chǎng)的干擾因素引入進(jìn)來(lái)，為降低風(fēng)險(xiǎn)，以比例再保險(xiǎn)的方式分散風(fēng)險(xiǎn)，使得模型具有更強(qiáng)的實(shí)踐意義。通過(guò)對(duì)新模型的研究，得到了最終破產(chǎn)概率的Lundberg不等式及其一般表達(dá)式，隨后利用MATLAB軟件，對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，利用圖形說(shuō)明了投資額的大小、平均投資收益率，以及再保險(xiǎn)的自留水平對(duì)調(diào)節(jié)系數(shù)的影響，獲得了更有應(yīng)用價(jià)值的結(jié)論。

1 模型的建立

在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，定義如下模型：

其中Uo=u為保險(xiǎn)公司的初始資金，Un表示保險(xiǎn)公司第n期的盈余，對(duì)模型做出以下假設(shè)：

（1）F為依據(jù)保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)狀況測(cè)算出的用于投資的資金，為一常數(shù)；{Ii，i＞1}，{Xi，i＞1}，{Yi，i＞1}均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，Ii表示第i期投資收益，Xi和Yi分別為第i期的保費(fèi)收入及賠付額，假定：Ii～N（μ0，σ02），且E（X1）=μ1，E（Y2）=μ2；

（2）M（n）和N（n）分別為時(shí)間段（0,n]內(nèi)保險(xiǎn)公司收到的保單總數(shù)和索賠總數(shù)，分別服從參數(shù)為λ1，λ2的Possion過(guò)程；

（3）{Wn}是離散的Browaian運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)Δn很小時(shí)，E（Wn）=0,D（Wn）=n；

（4）假定變量{Ii，i＞1}，{Xi，i＞1}，{Yi，i＞1}，{M（n），n＞1}，{N（n），n＞1}，{Wn，n＞1}相互獨(dú)立.

模型中，函數(shù)h（b，y）為一個(gè)再保險(xiǎn)策略，0＜h（b，y）＜y表示索賠額中由保險(xiǎn)公司支付的部分，剩下的y-h（b，y）由再保險(xiǎn)公司賠付。本文考慮比例再保險(xiǎn)，即h（b，y）=by，其中b∈[0，1]為一常數(shù)，表示自留水平，當(dāng)b=1，即為無(wú)再保險(xiǎn)情形。C（b）為在自留水平b下，支付給再保險(xiǎn)人的保費(fèi)，由期望值保費(fèi)原理：

注：當(dāng)b=1，Ij=j時(shí)，即模型轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[6]中的式子.為保證公司正常經(jīng)營(yíng)，假定E（Snb）＞0，即Fμ0＞bλ2μ2-λ1（μ1-C（b）），令

為原保險(xiǎn)公司的安全附加系數(shù).

2 主要結(jié)果

定義：破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{n＞1|Unb＜0}，最終破產(chǎn)概率ψb(n)=P（T＜∞|U0b=u），則T為一停時(shí)。

定理1存在函數(shù)g（r）使得E[e-rSbn]=eng（r），且方程g（r）=0有唯一正解R，并稱(chēng)之為調(diào)節(jié)系數(shù)。

具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性，根據(jù)模型假設(shè)知{Ii，i＞1}，{Xi，i＞1}，{Yi，i＞1}，{M（n），n＞1}，{N（n），n＞1}，{Wn，n＞1}相互獨(dú)立，且復(fù)合Possion過(guò)程和Brownian運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性，易知結(jié)論成立。

下證（5）式成立?！舥＞0，r＞0由全概率公式知：

3 數(shù)值模擬

為直觀地說(shuō)明本文所得出的結(jié)論，本節(jié)利用MATLAB軟件對(duì)模型的結(jié)論進(jìn)行了數(shù)值模擬，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定保費(fèi)收入及索賠額服從指數(shù)分布。

(1)取θ=10%，σ02=0.012自留水平b=0.5，在投資平均收益率μ0分別取0.02及0.05時(shí)，得到投資額F與調(diào)節(jié)系數(shù)R的關(guān)系圖(圖1)，由圖1可以看出：Ⅰ.投資總額對(duì)保險(xiǎn)人的經(jīng)營(yíng)狀況有很大的影響，但在收益率隨機(jī)的情形，并非投資數(shù)額越多越好，只有恰當(dāng)?shù)剡x擇最佳投資額(圖中峰值的位置),才能使破產(chǎn)概率的上界最??；Ⅱ.不同的投資收益率影響著投資金額及破產(chǎn)概率上界：平均收益率越大，調(diào)節(jié)系數(shù)越大，相應(yīng)的破產(chǎn)概率上界越小，最佳投資額也相對(duì)偏大.

圖1 投資額F與調(diào)節(jié)系數(shù)R的關(guān)系

圖2 自留水平b與調(diào)節(jié)系數(shù)R的關(guān)系

(2)取定μ0=0.05，在投資額不同的情形分別得到自留水平b與調(diào)節(jié)系數(shù)R的關(guān)系（圖2），圖2表明破產(chǎn)概率上界隨自留水平b的增大而增大，這說(shuō)明再保險(xiǎn)對(duì)保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)狀況至關(guān)重要，而同一自留水平下，不同的投資額對(duì)調(diào)節(jié)系數(shù)的影響也不一樣，因此投資額的選擇不僅跟當(dāng)前的投資收益率有關(guān)，還應(yīng)以自留水平作為重要的參照。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)學(xué)者們推廣的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了更深入的研究，不僅考慮了隨機(jī)投資收益率，且將模型運(yùn)用比例再保險(xiǎn)進(jìn)行控制，大大加強(qiáng)了模型的實(shí)用性，利用數(shù)值模擬讓結(jié)論更直觀，但本文所研究模型還可以做更進(jìn)一步的推廣，例如考慮模型的隨機(jī)利率以及不同的保費(fèi)收取過(guò)程和索賠過(guò)程等。

A reinsurance risk model with interference under random return on investment rates

WANG Lixia，LI Shuangdong，SHEN Chen

An improved model based on the classical risk process is established,it is assumed that premium income is modeled by a compound Poisson process,and the surplus capital is invested,with the randomness of the financial market,the return rate of the investment is considered as random variables,and inflation in insurance business is also taken into account in the model.In order to reduce the risk,the model can be controlled by proportional reinsurance which made the model more practical.Then the formulas of ultimate ruin probability and Lundberg inequality for the improved model are obtained.To illustrate these results,some numerical examples are included by using the software of MATLAB.The influence of the amount of investment,the rate of return on investment and reinsurance retention level on the upper bound of ruin probability is intuitive illustrated.

random income;ruin probability;proportional reinsurance;numerical simulation.

F224.7

A

1009-9530（2014）05-0065-04

2013-09-17

安徽大學(xué)江淮學(xué)院科研基金項(xiàng)目“比例再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的研究”（2012KJ1002），合肥師范學(xué)院產(chǎn)學(xué)研教育課程項(xiàng)目“金融數(shù)據(jù)搜集與分析”（2012CXY11）

王麗霞（1984-），女，安徽大學(xué)講師江淮學(xué)院講師，主要研究方向：風(fēng)險(xiǎn)精算理論。