論數(shù)學思維能力中的分類思想

束從武

(中國科學技術(shù)大學附屬中學，安徽合肥 230051)

論數(shù)學思維能力中的分類思想

束從武

(中國科學技術(shù)大學附屬中學，安徽合肥 230051)

數(shù)學思想是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，分類是一種重要的數(shù)學思想，分類思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。

分類以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。分類應(yīng)在同一標準下具有完備性和互斥性，不同的類之間的邏輯關(guān)系是“或”，因此，分類的結(jié)果是集合運算的“并”，通過分類思想的學習，培養(yǎng)學生思維的條理性，縝密性，提高學生的思維能力。

初中數(shù)學中，分類問題總體歸結(jié)為兩類，涉及數(shù)與代數(shù)、空間與圖形，因此，分類思想是安徽省中考每年必考的核心思想方法。

數(shù)學；分類思想；思維能力

數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。

分類是一種重要的數(shù)學思想。初中數(shù)學學習的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類、圖形的分類、代數(shù)式的分類、函數(shù)的分類等。

一、何謂分類思想

分類思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。分類以比較為基礎(chǔ)，比較是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。

分類討論的思想貫穿于整個中學數(shù)學教學，如實數(shù)、絕對值、相反數(shù)等概念是通過分類的方式給出定義；有理數(shù)的加法、不等式的基本性質(zhì)等是通過分類明確法則和具體性質(zhì)；已知等腰三角形的兩邊長求周長，或已知直角三角形的兩邊長求面積等，結(jié)論的情況不唯一時，需要分類求解；已知關(guān)于x的方程有實數(shù)解，求參數(shù)a的取值范圍，由于參數(shù)a的取值不同，方程可能是一次方程，也可能是二次方程，從而導致不同的結(jié)果等等，都是需要通過分類進行解決。

分類思想是中學數(shù)學的重要思想方法之一，也是每年中考中必考的思想方法，因此必須掌握并運用好分類思想。如何在課堂教學中滲透和落實分類思想，這是一個長期的工作，筆者就通過習題的講解讓學生領(lǐng)會和掌握分類思想做了嘗試，淺析如下。

二、分類問題特征

大多數(shù)的學生在面對一個數(shù)學問題時，不易判斷此問題是否需要用到分類的方法來解決，無法根據(jù)問題情境迅速辨認問題是否分類，分類問題有何特征？請觀察下列幾組例題：

例1⑴已知a=3，b=5，求代數(shù)式a+b的值；

⑵已知|a|=3，b=5，求代數(shù)式a+b的值。

例2⑴已知直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，求面積；

⑵已知直角三角形的兩條邊長分別為3和4，求面積。例3⑴一組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為1、3、5、x，極差為6，求x的值；

⑵一組數(shù)據(jù)依次為1、3、5、x，極差為6，求x的值。

例4⑴解關(guān)于x的方程2x－b=0；

⑵解關(guān)于x的方程ax－b=0。

每例的第⑴小題因為條件具體明確，只有一種可能，沒有第二種情況，因此答案是唯一確定的。

每例的第⑵小題雖然條件也具體明確，但是條件產(chǎn)生出不同的情況：如|a|=3，a的值不唯一，可以為3或－3；直角三角形的兩條邊長分別為3和4，此時3和4是哪兩邊情況不唯一，可以是兩條直角邊或一條直角邊和斜邊；一組數(shù)據(jù)依次為1、3、5、x，其中x可能是最大值，或最小值，或既不是最大值也不是最小值，情況不唯一；關(guān)于x的方程ax－b= 0中未知數(shù)x的系數(shù)a的取值情況不唯一，可以取0或不為0，當a=0時，b的取值又對解產(chǎn)生影響。

通過上述例題組可以看出，當已知條件出現(xiàn)不同的可能，或者情況不唯一的特征時，需要進行分類解答。

三、如何進行分類

當問題面臨的情況不唯一時，需要進行分類，那么如何進行分類呢？請看下面一組例題：

例1下列分類是否正確：

⑴實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù)；

⑵三角形分為銳角三角形和鈍角三角形；

解析：⑴中實數(shù)的分類中遺漏了零，⑵中三角形按角分類遺漏了直角三角形，⑶中當a=0時，如果b≠0，則x=0；如果b=0，則x可取全體實數(shù)，默認b≠0，遺漏了b=0的情況。

這三個小題都進行了分類，但是每個問題分類都不全面，即每個問題的分類都有遺漏，不具有完備性。

例2下列分類是否正確：

（1）實數(shù)分為非正實數(shù)和非負實數(shù)；

（2）三角形分為不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形；

解析：⑴中實數(shù)零既屬于非正實數(shù)，又屬于非負實數(shù)，在兩類中都含有該元素，重復了。⑵中三角形按邊進行分類，等邊三角形是屬于等腰三角形中的特殊情形，包含于等腰三角形中，因此，等邊三角形既屬于等腰三角形，又屬于等邊三角形，同樣重復了。

這兩個小題的分類，都出現(xiàn)了相同的情況，存在元素在不同的類中重復出現(xiàn)，不具有互斥性。

例3下列說法是否正確：

（1）三角形包含銳角三角形、等腰三角形和直角三角形；

（2）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過第四象限，則k＜0或b＜0。

解析：⑴中銳角三角形和直角三角形是以角為標準進行的分類，而等腰三角形是以邊為標準進行的分類，分類標準不統(tǒng)一，按角分類遺漏了鈍角三角形，按邊分類有遺漏了不等邊三角形，而等腰三角形中可能有銳角三角形，也可能有直角三角形，還可能有鈍角三角形，既有遺漏又有重復。⑵中k＜0或b＜0是從兩個不同的標準進行答題，既有遺漏又有重復。如以k為標準進行分類，答案為k＜0，b一切實數(shù)，或k＞0且b＜0；如以b為標準進行分類，答案為b＜0，k≠0，或b≥0，k＜0。

這兩個小題在分類時不是以一個標準進行，難免出現(xiàn)遺漏和重復的情況，因此，分類需要在一個標準下進行。

通過上述三個例題可以看出，分類需要在同一標準下進行，每個元素都需要考慮，不能有遺漏，滿足分類的完備性，同時每個元素只能在一個類中，不能既屬于此類又屬于彼類，滿足分類的互斥性。簡單的說，就是在同一標準下，既沒有重復又沒有遺漏，即“不重不漏”。

四、整合分類結(jié)果

一個問題分類并逐類進行解答后，原問題的結(jié)果是什么？即如何把各類的答案整合到一起，請看下面一組問題：

例1一個三角形的兩邊長分別為4和5，第三邊的長是一元二次方程x2－7x+12=0的一個根，判斷此三角形的形狀。

解析：方程x2－7x+12=0的根是x=3，或x=4。當x=3時，三邊長分別為3、4和5，此三角形是直角三角形；當x=4時，三邊長分別為4、4和5，此三角形是等腰三角形。綜上所述此三角形是直角三角形或等腰三角形。

例2若關(guān)于x的方程kx2－6x+9=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

例3等腰三角形有兩邊長分別為4和9，則這個等腰三角形的周長為＿＿。

解析：等腰三角形的邊分為腰和底邊兩類，當腰長為4時，三邊為4、4和9，周長為17；當腰長為9時，三邊為4、9和9，周長為22.由于4、4和9作為三角形的三邊長與三邊關(guān)系相矛盾，不符合題意，須舍去，綜上所述這個三角形的周長為22.

例4方程|x|+8=3x的解是＿＿。

解析：當x≥0時，原方程為x+8=3x，解得x= 4；當x＜0時，原方程為－x+8=3x，解得x=2，這與此類的前提條件x＜0相矛盾，須舍去。綜上所述方程|x|+8=3x的解是x=4。

每一類問題的答案如何整合為原題的答案，首先要明確分類問題中的每類之間的邏輯關(guān)系是“或”，因此每一類的結(jié)果之間是“或”的關(guān)系；其次從集合的運算角度知道，A∪B={x|x∈A或X∈B}，因此原題的答案應(yīng)該是各類的結(jié)果進行“并”。

五、提高思維能力

初中階段利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母參數(shù)不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題；其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性，提高學生的思維能力，這也是中考數(shù)學重點考查的原因。

On the classifcation of mathematical thinking ability

SHU Congwu

Mathematical thinking is the abstraction and generalization of mathematics knowledge and methods on high level.Assorting thought is an important kind of mathematical thinking which is based on similarities and differences in the nature of mathematics and classifies objects for study into different kinds.

Classification is on the basis of comparison,comparison is the precondition of classification,and classification is the result of comparison.Classification should have completeness and exclusiveness according to the same standard.The logical relationship between different classes is"or".Therefore,the result of the classification is"union"of set operation.By studying assorting thought,logic and rigor of students'thinking are cultivated and students'thinking ability is improved.

In junior high school mathematics,classification problems overall boils down to two categories,number and algebra,space and graphics.Therefore,assorting thought is a core thought which must be involved in senior high school entrance examination in Anhui province every year.

mathematics；assorting thought；thinking ability

G632

A

1009-9530（2014）05-0131-03

2014-07-26

束從武（1965-），男，中國科學技術(shù)大學附屬中學高級教師。