關(guān)于n階可微函數(shù)的加權(quán)Ostrowski型不等式

時統(tǒng)業(yè), 吳 涵, 韋曉萍

(海軍指揮學(xué)院 浦口分院, 南京 211800)

關(guān)于n階可微函數(shù)的加權(quán)Ostrowski型不等式

時統(tǒng)業(yè), 吳 涵, 韋曉萍

(海軍指揮學(xué)院 浦口分院, 南京 211800)

針對n階可微函數(shù), 利用積分恒等式和積分性質(zhì)建立了兩個帶有權(quán)函數(shù)的Ostrowski不等式．

Ostrowski型不等式;n階可微函數(shù); 權(quán)函數(shù)

引言

在1938年, Ostrowski對具有一階有界導(dǎo)函數(shù)的可微函數(shù), 建立了下面的不等式．

定理A[1]設(shè):[,]fa b→R是(a,b)上的可微函數(shù), 且其導(dǎo)函數(shù)f′在(a,b)上有界, 則對任意x∈[a,b], 有

近些年來, 已有許多文獻(xiàn)給出Ostrowski不等式的各種改進(jìn)和推廣, 比如文[1～12]．本文考慮n階可微函數(shù), 給出一些新的Ostrowski型不等式.

為此, 需要引入函數(shù)k(t):

并考慮其簡單的性態(tài), 其中g(shù):[a,b]→R是正的可積函數(shù), 且定義函數(shù)

引理1函數(shù)k1(t)和k2(t)可分別表示為

由此可見k1(t)≤0,t∈[a,x]; (?1)nk2(t)≥0,t∈[x,b]．

證明我們有

類似可得k2(t)的另一表達(dá)式．

為方便起見, 記

引理2設(shè)f:[a,b]→R是(a,b)上的n+1階可微函數(shù), 且f(n+1)∈L1[a,b], 則有

證明由分部積分法, 得

由k1(t)和k2(t)的定義, 對i=0,1,…,n, 容易得到

于是

式(2)和(3)相加得式(1)．

引理3設(shè)f:[a,b]→R是(a,b)上的n+1階可微函數(shù), 且f(n+1)∈L1[a,b], α, β∈(0,1), α+β=1,則有

證明

主要結(jié)果

定理1設(shè)f:[a,b]→R是(a,b)上的n+1階可微函數(shù), 且f(n+1)∈L1[a,b]. 若||f(n+1)||∞= sup|f(n+1)(t)|<∞, 則有

證明由引理2, 得

類似可得

由式(6)、(7)、(8)得式(5)．

注1在定理1中, 分別取n=0,1,2, 則有

若g關(guān)于對稱, 在式(9)中取則有

注2在定理1中, 取g≡1, 則有

特別地, 取n=2, 則有

定理2設(shè)f:[a,b]→R是(a,b)上的n+1階可微函數(shù), 且f(n+1)∈L1[a,b], α,β∈(0,1), α+β=1, 則有

證明由引理3, 得

將式(7)、(8)帶入式(11), 得到式(10)．

注3在定理3中, 取g≡1, 則有

注4在定理3中, 取n=1, 則有

在上式中取g≡1, 則有

定理3設(shè)f:[a,b]→R是(a,b)上的n+1階可微函數(shù), 且f(n+1)∈Lp[a,b], 則有

其中B表示Belta函數(shù)．

證明由引理2和H?lder不等式, 得

因?yàn)間≤A, 故由引理1, 得

于是

類似地, 有

由式(13)、(14)、(15)得式(12)．

注5在定理3中, 取g≡1, 則有

定理4設(shè)f:[a,b]→R是(a,b)上的n+1階可微函數(shù), 且f(n+1)∈Lp[a,b], α,β∈(0,1), α+β=1, 則有

證明由引理3和H?lder不等式, 得

由式(14)、(15)、(17)得式(16)．

注6在定理4中, 取g≡1, 則有

在上式中, 取n=1, 則有

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Some Weighted Ostrowski Type Inequalities for n-Time Differentiable Functions

SHI Tong-ye, WU Han, WEI Xiao-ping
(Pukou Institute, Naval Command College, Nanjing 211800, China)

Two weighted Ostrowski type inequalities forn-time differentiable functions are obtained by using the identity and the integral property.

Ostrowski type inequality;n-time differentiable function; weight function

O178

A

1672-5298(2014)03-0007-07

2014-05-18

時統(tǒng)業(yè)(1963?), 男, 河北張家口人, 碩士, 海軍指揮學(xué)院浦口分院副教授. 主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)