例談放縮法證明不等式

李衛(wèi)東

摘 要：放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，它同時(shí)也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，它對(duì)學(xué)生的能力要求較高。

關(guān)鍵詞：放縮法 證明 不等式

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0097-02

廣東省2009-2013年連續(xù)五年高考理科數(shù)學(xué)有四年（2009年第20題（2），2011年第20題（2），2012年第19題（Ⅲ），2013年第19題（Ⅲ））考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，并且都在第二問(wèn)考到了放縮法，由此可見，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)，它同時(shí)也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，它對(duì)學(xué)生的能力要求較高。

1 放縮法簡(jiǎn)介

在一些需要利用不等式的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，我們常常要把某些項(xiàng)“放大”或“縮小”，“增加”某些項(xiàng)或“舍棄”某些項(xiàng)，利用不等式的傳遞性，用較大的項(xiàng)（或較小的項(xiàng)）來(lái)代替原來(lái)的項(xiàng)，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，達(dá)到所要求的結(jié)果，這種變化就叫放縮變化。

放縮法的基本原理是：構(gòu)造數(shù)B，使得A>B，且B>CA>C。放縮法的關(guān)鍵是：正確、恰當(dāng)?shù)卣业健爸薪閿?shù)”B。

2 放縮法常用的技巧有

（1）放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮。（2）舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項(xiàng)放縮。（3）運(yùn)用基本不等式或絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮。（4）利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮。（5）利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮。

3 例談放縮法的技巧應(yīng)用

從上述四道廣東高考理科數(shù)學(xué)試題所處的位置與試題的難易程度來(lái)看，學(xué)生要想在高考規(guī)定的時(shí)間內(nèi)順利地“攻城拔寨”，是有一定難度的。很多學(xué)生對(duì)不等式的證明，尤其是用放縮法證明不等式心存恐懼，一看題便覺(jué)得無(wú)從下手。接下來(lái)，我結(jié)合近幾年相關(guān)的廣東高考試題，談?wù)勛约涸凇胺趴s法證明不等式”教學(xué)中的一些做法，與大家交流。

3.1 放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮

例1：（2013年廣東卷/理第19題（Ⅲ））求證：+++…+<。

（方法一）分析：當(dāng)n≥3時(shí)，

<=-，

∴不等式左邊<1++（-）+…+（-）=-<，從而得證。

（方法二）分析：當(dāng)n≥2時(shí)，

<==（-），

∴不等式左邊<1+（-）+（-）+…+（-）=1++-（+）<。

（方法三）分析：當(dāng)n≥2時(shí)，

<==-，

∴不等式左邊<1+（-）+（-）+…+（-）=-<<。

反思：（1）此題通過(guò)三種方法縮小分母n2實(shí)現(xiàn)分式放大：n2>（n-1）n；n2>（n-1）（n+1）；n2>（n-）（n+）。（2）對(duì)式子放縮的途徑很多，但并不是任意放縮都可以證明不等式，而應(yīng)該放縮得“恰如其分”，實(shí)現(xiàn)精細(xì)放縮，同時(shí)也需要學(xué)生有創(chuàng)新精神。（3）有時(shí)為了證明所需結(jié)論，并不需要每項(xiàng)都放縮。例如本題的三種方法，如果每項(xiàng)都放大，就不能達(dá)到證題的目的。至于如何放縮，哪些項(xiàng)不需要放縮，這就需要學(xué)生敏銳的觀察能力去判斷了。當(dāng)然也需要學(xué)生多次嘗試，才能尋找到正確的放縮途徑。（4）放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項(xiàng)相消求和，從而證明不等式，即裂項(xiàng)放縮法是探求解題思路常用的一條途徑。

3.2 舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項(xiàng)進(jìn)行放縮

例2：（2012年廣東卷/理第19題（3））已知an=3n-2n，求證：+++…+<。

（方法一）分析：∵an=3n-2n=3n[1-（）n]≥3n-1，∴≤（）n-1，

∴不等式左邊≤（）0+（）1+（）2+…+（）n-1=-（）n<。

（方法二）分析：當(dāng)n≥3時(shí)，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n-2n>4C2 n=2n（n-1）<=（-），

∴不等式左邊<1++（-）+…+（-）=-<。

反思：（1）方法一通過(guò)an舍去（）n代數(shù)項(xiàng)縮小分母，實(shí)現(xiàn)分式的放大，放縮的目的為了構(gòu)造等比數(shù)列求和。（2）方法二通過(guò)二項(xiàng)展開式（1+2）n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n舍去代數(shù)項(xiàng)1+C1 n2+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n，實(shí)現(xiàn)縮小分母。（3）方法二與例1類似，放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項(xiàng)相消求和，從而證明不等式。

3.3 運(yùn)用基本不等式放縮

例3：（2011年廣東卷/理第20題（2））已知b>0，且b≠2，an=，求證：an<+1。

證明：∵b≠2，∴b2n+22n>2=2n+1bn，…，bn+1·2n-1+bn-1·2n+1>2=2n+1bn。

將以上n個(gè)式子相加，得：b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n>n2n+1bn，

∴an<

=

====+1。

反思：（1）本題通過(guò)認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地運(yùn)用基本不等式：a+b≥2，（a>0，b>0）進(jìn)行放縮證明不等式。（2）本題放縮的目的是為了分子能合并、抵消，從而化簡(jiǎn)式子。

3.4 利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮

例4：求證：+++…+

分析：要證原不等式，轉(zhuǎn)證：

+++…+<[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]，

轉(zhuǎn)證：

令x=構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+ln（1-x），（00，（n≥2）。由此，解題思路已經(jīng)通暢。

反思：（1）本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)的單調(diào)性放縮證明不等式。（2）函數(shù)的巧妙構(gòu)造，需要認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征。

3.5 利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮

例5：（2013年廣州市高三調(diào)研測(cè)試/理第21題（2））若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”。若數(shù)列{xn}對(duì)所有的正整數(shù)n都有|xn+1-xn|≤，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|<。

證明：∵g（x）=sinx是R上的“平緩函數(shù)”，

∴|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|≤<=（-）。

∵|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+…+（y2-y1）|≤|（yn+1-yn）|+|（yn-yn-1）|+…+|（y2-y1）|，

∴|yn+1-y1|≤[（-）+（-）+…+（1-）]=（1-）<。

反思：本題是根據(jù)題目所給的“平緩函數(shù)”定義，絕對(duì)值不等式，以及已知條件多次放縮證明不等式，它是絕對(duì)值不等式在放縮思想指導(dǎo)下的綜合運(yùn)用。

放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ?，學(xué)生卻常考常怕。不等式的應(yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性。數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，而不等關(guān)系是深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規(guī)律可循，總會(huì)有“撥得云開見日出”的時(shí)刻！

參考文獻(xiàn)

[1] 王海容.放縮法證明數(shù)列不等式[j].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2011（4）：84.

摘 要：放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，它同時(shí)也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，它對(duì)學(xué)生的能力要求較高。

關(guān)鍵詞：放縮法 證明 不等式

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0097-02

廣東省2009-2013年連續(xù)五年高考理科數(shù)學(xué)有四年（2009年第20題（2），2011年第20題（2），2012年第19題（Ⅲ），2013年第19題（Ⅲ））考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，并且都在第二問(wèn)考到了放縮法，由此可見，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)，它同時(shí)也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，它對(duì)學(xué)生的能力要求較高。

1 放縮法簡(jiǎn)介

在一些需要利用不等式的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，我們常常要把某些項(xiàng)“放大”或“縮小”，“增加”某些項(xiàng)或“舍棄”某些項(xiàng)，利用不等式的傳遞性，用較大的項(xiàng)（或較小的項(xiàng)）來(lái)代替原來(lái)的項(xiàng)，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，達(dá)到所要求的結(jié)果，這種變化就叫放縮變化。

放縮法的基本原理是：構(gòu)造數(shù)B，使得A>B，且B>CA>C。放縮法的關(guān)鍵是：正確、恰當(dāng)?shù)卣业健爸薪閿?shù)”B。

2 放縮法常用的技巧有

（1）放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮。（2）舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項(xiàng)放縮。（3）運(yùn)用基本不等式或絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮。（4）利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮。（5）利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮。

3 例談放縮法的技巧應(yīng)用

從上述四道廣東高考理科數(shù)學(xué)試題所處的位置與試題的難易程度來(lái)看，學(xué)生要想在高考規(guī)定的時(shí)間內(nèi)順利地“攻城拔寨”，是有一定難度的。很多學(xué)生對(duì)不等式的證明，尤其是用放縮法證明不等式心存恐懼，一看題便覺(jué)得無(wú)從下手。接下來(lái)，我結(jié)合近幾年相關(guān)的廣東高考試題，談?wù)勛约涸凇胺趴s法證明不等式”教學(xué)中的一些做法，與大家交流。

3.1 放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮

例1：（2013年廣東卷/理第19題（Ⅲ））求證：+++…+<。

（方法一）分析：當(dāng)n≥3時(shí)，

<=-，

∴不等式左邊<1++（-）+…+（-）=-<，從而得證。

（方法二）分析：當(dāng)n≥2時(shí)，

<==（-），

∴不等式左邊<1+（-）+（-）+…+（-）=1++-（+）<。

（方法三）分析：當(dāng)n≥2時(shí)，

<==-，

∴不等式左邊<1+（-）+（-）+…+（-）=-<<。

反思：（1）此題通過(guò)三種方法縮小分母n2實(shí)現(xiàn)分式放大：n2>（n-1）n；n2>（n-1）（n+1）；n2>（n-）（n+）。（2）對(duì)式子放縮的途徑很多，但并不是任意放縮都可以證明不等式，而應(yīng)該放縮得“恰如其分”，實(shí)現(xiàn)精細(xì)放縮，同時(shí)也需要學(xué)生有創(chuàng)新精神。（3）有時(shí)為了證明所需結(jié)論，并不需要每項(xiàng)都放縮。例如本題的三種方法，如果每項(xiàng)都放大，就不能達(dá)到證題的目的。至于如何放縮，哪些項(xiàng)不需要放縮，這就需要學(xué)生敏銳的觀察能力去判斷了。當(dāng)然也需要學(xué)生多次嘗試，才能尋找到正確的放縮途徑。（4）放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項(xiàng)相消求和，從而證明不等式，即裂項(xiàng)放縮法是探求解題思路常用的一條途徑。

3.2 舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項(xiàng)進(jìn)行放縮

例2：（2012年廣東卷/理第19題（3））已知an=3n-2n，求證：+++…+<。

（方法一）分析：∵an=3n-2n=3n[1-（）n]≥3n-1，∴≤（）n-1，

∴不等式左邊≤（）0+（）1+（）2+…+（）n-1=-（）n<。

（方法二）分析：當(dāng)n≥3時(shí)，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n-2n>4C2 n=2n（n-1）<=（-），

∴不等式左邊<1++（-）+…+（-）=-<。

反思：（1）方法一通過(guò)an舍去（）n代數(shù)項(xiàng)縮小分母，實(shí)現(xiàn)分式的放大，放縮的目的為了構(gòu)造等比數(shù)列求和。（2）方法二通過(guò)二項(xiàng)展開式（1+2）n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n舍去代數(shù)項(xiàng)1+C1 n2+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n，實(shí)現(xiàn)縮小分母。（3）方法二與例1類似，放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項(xiàng)相消求和，從而證明不等式。

3.3 運(yùn)用基本不等式放縮

例3：（2011年廣東卷/理第20題（2））已知b>0，且b≠2，an=，求證：an<+1。

證明：∵b≠2，∴b2n+22n>2=2n+1bn，…，bn+1·2n-1+bn-1·2n+1>2=2n+1bn。

將以上n個(gè)式子相加，得：b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n>n2n+1bn，

∴an<

=

====+1。

反思：（1）本題通過(guò)認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地運(yùn)用基本不等式：a+b≥2，（a>0，b>0）進(jìn)行放縮證明不等式。（2）本題放縮的目的是為了分子能合并、抵消，從而化簡(jiǎn)式子。

3.4 利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮

例4：求證：+++…+

分析：要證原不等式，轉(zhuǎn)證：

+++…+<[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]，

轉(zhuǎn)證：

令x=構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+ln（1-x），（00，（n≥2）。由此，解題思路已經(jīng)通暢。

反思：（1）本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)的單調(diào)性放縮證明不等式。（2）函數(shù)的巧妙構(gòu)造，需要認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征。

3.5 利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮

例5：（2013年廣州市高三調(diào)研測(cè)試/理第21題（2））若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”。若數(shù)列{xn}對(duì)所有的正整數(shù)n都有|xn+1-xn|≤，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|<。

證明：∵g（x）=sinx是R上的“平緩函數(shù)”，

∴|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|≤<=（-）。

∵|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+…+（y2-y1）|≤|（yn+1-yn）|+|（yn-yn-1）|+…+|（y2-y1）|，

∴|yn+1-y1|≤[（-）+（-）+…+（1-）]=（1-）<。

反思：本題是根據(jù)題目所給的“平緩函數(shù)”定義，絕對(duì)值不等式，以及已知條件多次放縮證明不等式，它是絕對(duì)值不等式在放縮思想指導(dǎo)下的綜合運(yùn)用。

放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ?，學(xué)生卻常考常怕。不等式的應(yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性。數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，而不等關(guān)系是深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規(guī)律可循，總會(huì)有“撥得云開見日出”的時(shí)刻！

參考文獻(xiàn)

[1] 王海容.放縮法證明數(shù)列不等式[j].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2011（4）：84.

摘 要：放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，它同時(shí)也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，它對(duì)學(xué)生的能力要求較高。

關(guān)鍵詞：放縮法 證明 不等式

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0097-02

廣東省2009-2013年連續(xù)五年高考理科數(shù)學(xué)有四年（2009年第20題（2），2011年第20題（2），2012年第19題（Ⅲ），2013年第19題（Ⅲ））考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，并且都在第二問(wèn)考到了放縮法，由此可見，放縮法的考查已經(jīng)逐漸形成了廣東高考理科數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)，它同時(shí)也是難點(diǎn)。放縮法它著重考查學(xué)生的觀察聯(lián)想能力，式子變形能力，邏輯思維能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，它對(duì)學(xué)生的能力要求較高。

1 放縮法簡(jiǎn)介

在一些需要利用不等式的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，我們常常要把某些項(xiàng)“放大”或“縮小”，“增加”某些項(xiàng)或“舍棄”某些項(xiàng)，利用不等式的傳遞性，用較大的項(xiàng)（或較小的項(xiàng)）來(lái)代替原來(lái)的項(xiàng)，使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，達(dá)到所要求的結(jié)果，這種變化就叫放縮變化。

放縮法的基本原理是：構(gòu)造數(shù)B，使得A>B，且B>CA>C。放縮法的關(guān)鍵是：正確、恰當(dāng)?shù)卣业健爸薪閿?shù)”B。

2 放縮法常用的技巧有

（1）放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮。（2）舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項(xiàng)放縮。（3）運(yùn)用基本不等式或絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮。（4）利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮。（5）利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮。

3 例談放縮法的技巧應(yīng)用

從上述四道廣東高考理科數(shù)學(xué)試題所處的位置與試題的難易程度來(lái)看，學(xué)生要想在高考規(guī)定的時(shí)間內(nèi)順利地“攻城拔寨”，是有一定難度的。很多學(xué)生對(duì)不等式的證明，尤其是用放縮法證明不等式心存恐懼，一看題便覺(jué)得無(wú)從下手。接下來(lái)，我結(jié)合近幾年相關(guān)的廣東高考試題，談?wù)勛约涸凇胺趴s法證明不等式”教學(xué)中的一些做法，與大家交流。

3.1 放大或縮小分子或分母進(jìn)行放縮

例1：（2013年廣東卷/理第19題（Ⅲ））求證：+++…+<。

（方法一）分析：當(dāng)n≥3時(shí)，

<=-，

∴不等式左邊<1++（-）+…+（-）=-<，從而得證。

（方法二）分析：當(dāng)n≥2時(shí)，

<==（-），

∴不等式左邊<1+（-）+（-）+…+（-）=1++-（+）<。

（方法三）分析：當(dāng)n≥2時(shí)，

<==-，

∴不等式左邊<1+（-）+（-）+…+（-）=-<<。

反思：（1）此題通過(guò)三種方法縮小分母n2實(shí)現(xiàn)分式放大：n2>（n-1）n；n2>（n-1）（n+1）；n2>（n-）（n+）。（2）對(duì)式子放縮的途徑很多，但并不是任意放縮都可以證明不等式，而應(yīng)該放縮得“恰如其分”，實(shí)現(xiàn)精細(xì)放縮，同時(shí)也需要學(xué)生有創(chuàng)新精神。（3）有時(shí)為了證明所需結(jié)論，并不需要每項(xiàng)都放縮。例如本題的三種方法，如果每項(xiàng)都放大，就不能達(dá)到證題的目的。至于如何放縮，哪些項(xiàng)不需要放縮，這就需要學(xué)生敏銳的觀察能力去判斷了。當(dāng)然也需要學(xué)生多次嘗試，才能尋找到正確的放縮途徑。（4）放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項(xiàng)相消求和，從而證明不等式，即裂項(xiàng)放縮法是探求解題思路常用的一條途徑。

3.2 舍掉或加進(jìn)一些代數(shù)項(xiàng)進(jìn)行放縮

例2：（2012年廣東卷/理第19題（3））已知an=3n-2n，求證：+++…+<。

（方法一）分析：∵an=3n-2n=3n[1-（）n]≥3n-1，∴≤（）n-1，

∴不等式左邊≤（）0+（）1+（）2+…+（）n-1=-（）n<。

（方法二）分析：當(dāng)n≥3時(shí)，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n-2n>4C2 n=2n（n-1）<=（-），

∴不等式左邊<1++（-）+…+（-）=-<。

反思：（1）方法一通過(guò)an舍去（）n代數(shù)項(xiàng)縮小分母，實(shí)現(xiàn)分式的放大，放縮的目的為了構(gòu)造等比數(shù)列求和。（2）方法二通過(guò)二項(xiàng)展開式（1+2）n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n舍去代數(shù)項(xiàng)1+C1 n2+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n，實(shí)現(xiàn)縮小分母。（3）方法二與例1類似，放縮的目的是為了能夠?qū)崿F(xiàn)裂項(xiàng)相消求和，從而證明不等式。

3.3 運(yùn)用基本不等式放縮

例3：（2011年廣東卷/理第20題（2））已知b>0，且b≠2，an=，求證：an<+1。

證明：∵b≠2，∴b2n+22n>2=2n+1bn，…，bn+1·2n-1+bn-1·2n+1>2=2n+1bn。

將以上n個(gè)式子相加，得：b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n>n2n+1bn，

∴an<

=

====+1。

反思：（1）本題通過(guò)認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地運(yùn)用基本不等式：a+b≥2，（a>0，b>0）進(jìn)行放縮證明不等式。（2）本題放縮的目的是為了分子能合并、抵消，從而化簡(jiǎn)式子。

3.4 利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等進(jìn)行放縮

例4：求證：+++…+

分析：要證原不等式，轉(zhuǎn)證：

+++…+<[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]，

轉(zhuǎn)證：

令x=構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+ln（1-x），（00，（n≥2）。由此，解題思路已經(jīng)通暢。

反思：（1）本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性，再用函數(shù)的單調(diào)性放縮證明不等式。（2）函數(shù)的巧妙構(gòu)造，需要認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征。

3.5 利用題目本身所給的條件或已經(jīng)證明的結(jié)論進(jìn)行放縮

例5：（2013年廣州市高三調(diào)研測(cè)試/理第21題（2））若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”。若數(shù)列{xn}對(duì)所有的正整數(shù)n都有|xn+1-xn|≤，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|<。

證明：∵g（x）=sinx是R上的“平緩函數(shù)”，

∴|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|≤<=（-）。

∵|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+…+（y2-y1）|≤|（yn+1-yn）|+|（yn-yn-1）|+…+|（y2-y1）|，

∴|yn+1-y1|≤[（-）+（-）+…+（1-）]=（1-）<。

反思：本題是根據(jù)題目所給的“平緩函數(shù)”定義，絕對(duì)值不等式，以及已知條件多次放縮證明不等式，它是絕對(duì)值不等式在放縮思想指導(dǎo)下的綜合運(yùn)用。

放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ?，學(xué)生卻?？汲Ｅ?。不等式的應(yīng)用體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性。數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，而不等關(guān)系是深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規(guī)律可循，總會(huì)有“撥得云開見日出”的時(shí)刻！

參考文獻(xiàn)

[1] 王海容.放縮法證明數(shù)列不等式[j].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2011（4）：84.