分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下美式亞式期權(quán)的近似定價法

林漢燕，袁 媛

（桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西 桂林，541004）

分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下美式亞式期權(quán)的近似定價法

林漢燕，袁 媛

（桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西 桂林，541004）

在分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下，首先應(yīng)用偏微分方程法簡要推導(dǎo)具有固定敲定價格的歐式幾何平均亞式期權(quán)的定價公式，然后將標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型下美式期權(quán)定價的二次近似法推廣到美式亞式期權(quán)，得到具有固定敲定價格的美式幾何平均亞式期權(quán)價格的近似解析式.

分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型；美式亞式期權(quán)；幾何平均；二次近似法

0引言

亞式期權(quán)是期權(quán)在到期日的收益依賴于整個有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格平均值的合約.由于亞式期權(quán)是一種強路徑依賴型期權(quán)，所以可以避免投機者通過操縱標(biāo)的資產(chǎn)價格獲得暴利；另一方面，由于亞式期權(quán)比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)便宜，而且隨著時間增大，期權(quán)價格呈下降趨勢，所以對于某些公司亞式期權(quán)比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)更有吸引力.目前亞式期權(quán)在國際貿(mào)易、基金公司、保險公司等金融領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，很多學(xué)者對它的定價進行了研究[1-4]，但這些成果都是針對標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型下的歐式亞式期權(quán)，美式亞式期權(quán)的研究很少.美式亞式期權(quán)是場內(nèi)外交易的重要期權(quán)之一，由于它具有美式期權(quán)的特點，可以在到期日前提前實施，但何時實施獲利最多未知，不能得到價格解的顯示表達式；同時又具有亞式期權(quán)的特點，所以定價顯得更復(fù)雜.目前美式亞式期權(quán)的研究成果有Ben-Ameur等用動態(tài)規(guī)劃法研究美式亞式期權(quán)價格[5]；Hanse等在標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型下研究具有浮動價格的算術(shù)平均和幾何平均的美式亞式期權(quán)價格的定價[6]；王旭等先利用Monte-Carlo模擬Black-Scholes模型下標(biāo)的資產(chǎn)的價格路徑，然后應(yīng)用偏最小二乘回歸法計算美式亞式期權(quán)價格[7]；孔文濤等在標(biāo)的資產(chǎn)價格服從跳躍-擴散模型、利率遵循短期隨機利率模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用總體最小二乘擬蒙特卡羅方法為美式亞式期權(quán)定價[8]等.分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型[9]是比標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型更接近股票運動特征的模型.在分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下，文獻[10]用擬條件期望法得到了浮動價格的平均歐式亞式期權(quán)的定價公式；文獻[11]給出了基于可靠性思想的期權(quán)定價方法；文獻[12]應(yīng)用保險精算法推導(dǎo)具有固定敲定價格的幾何平均歐式亞式期權(quán)的定價公式；文獻[13]應(yīng)用隨機分析理論討論亞式期權(quán)的定價；文獻[14]應(yīng)用偏微分方程法研究亞式期權(quán)的定價.本文在分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下，對連續(xù)情形下具有固定敲定價格的幾何平均美式亞式期權(quán)的價格進行研究.為下文敘述方便，首先用偏微分方程方法[14]簡要推導(dǎo)歐式幾何平均亞式期權(quán)的定價公式.在這基礎(chǔ)上，將標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型下美式期權(quán)定價的二次近似法[15]應(yīng)用到美式亞式期權(quán)，得到期權(quán)價格的近似解析式.

1 基本模型

定義1設(shè)（Ω，F(xiàn)，R）是一個完備的概率空間，H∈（0，1），稱連續(xù)的高斯過程BH＝{B（Ht）；t≥0}是Hurst參數(shù)為H的分?jǐn)?shù)布朗運動，如果它滿足：

這里E表示關(guān)于概率測度P的期望.

分?jǐn)?shù)布朗運動的另一個重要性質(zhì)是具有自相似性，即對任意的H∈（0，1）和α＞0，B（Hαt）與αHB（Ht）有相同的有限維概率分布.本文討論Hurst參數(shù)1/2＜H＜1時的情形.

現(xiàn)假設(shè)金融市場僅有兩種資產(chǎn)，資產(chǎn)交易的額度和時間連續(xù)，交易時間為[0，T]，可以買空賣空，不存在交易稅收和費用，借款和存款的利率相同.設(shè)第一種資產(chǎn)是連續(xù)支付紅利的風(fēng)險資產(chǎn)，其價格S＝S（t）滿足分?jǐn)?shù)布朗運動：

第二種資產(chǎn)是無風(fēng)險證券，其價格A（t）滿足：

其中r（t）表示無風(fēng)險利率，q（t）表示紅利率，σ≠0表示股價瞬時波動率（常數(shù)），μ（t）表示股價期望回報率，B（Ht）表示分?jǐn)?shù)布朗運動，“◇”表示W(wǎng)ick積分.模型（1）、（2）稱為分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型，并且是無套利的完全市場模型.

文獻[14]證明了分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下連續(xù)情形的具有固定敲定價格的歐式幾何平均亞式期權(quán)的價格F（t，J，S）滿足：

2 歐式具有固定敲定價格的幾何平均亞式期權(quán)的定價

定理1分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下無風(fēng)險率為r，紅利率為q，波動率為σ（r、q、σ均為常數(shù)），到期時間為T，執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均亞式看漲期權(quán)在時刻t的價格c（t，J，S）為

類似得

定理2分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下無風(fēng)險率為r，紅利率為q，波動率為σ（r、q、σ均為常數(shù)），到期時間為T，執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均亞式看跌期權(quán)在時刻t的價格p（t，J，S）為

3 美式具有固定敲定價格的幾何平均亞式期權(quán)的近似定價

設(shè)e（ξ，t）＝e（t，J，S）（ξ同前）為t時刻美式亞式看漲期權(quán)價格的提前實施溢價，則e（ξ，t）＝U（ξ，t）-u（ξ，t），其中U（ξ，t）＝C（t，J，S）、u（ξ，t）＝c（t，J，S）分別為t時刻美式亞式看漲期權(quán)和歐式亞式看漲期權(quán)價格.U（ξ，t）適合定解問題

其中0＜ξ＜ξ*，0＜t＜T，ξ*表示美式亞式看漲期權(quán)的最佳實施邊界.顯然e（ξ，t）滿足方程

令e（ξ，t）＝h（φ）g（ξ，h（φ）），其中h＝h（φ）、φ＝φ（t）待定，且φ（t）滿足φ（T）＝0，上式可化為

由此得

定理3分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下無風(fēng)險率為r，紅利率為q，波動率為σ（r、q、σ均為常數(shù)），到期時間為T，執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均美式亞式看漲期權(quán)在t時刻價格C（t，J，S）為

類似得

定理4分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下無風(fēng)險率為r，紅利率為q，波動率為σ（r、q、σ均為常數(shù)），到期時間為T，執(zhí)行價格為K的具有固定敲定價格幾何平均美式亞式看跌期權(quán)在t時刻價格P（t，J，S）為

4 結(jié)論

本文在分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型下用二次近似法推導(dǎo)了連續(xù)情形的具有固定敲定價格美式亞式期權(quán)定價的近似公式.公式形式與Black-Scholes模型下標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)定價的近似公式相似.

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American-Style Asian Option Pricing in the Fractional Black-Scholes Model

LIN Hanyan,YUAN Yuan
（Guilin Universityof Aerospace Technology,Facultyof Science,Guilin 541004,Guangxi,China）

The formulas of the European-style geometric average Asian option with fix strike price by partial differential equation method in the fractional Black-Scholes model are derived. Based on the formulas,the classical quadratic approximation in the standard Black-Scholes model is applied to the pricing of American-style Asian option.The approximate formulas of American-style geometric average Asian option with fix strike price are obtained.

fractional Black-Scholes model;American-style Asian option;geometric average; quadratic approximation

O211.6；F830.9

A

1001-4217（2017）03-0015-07

2016-09-02

林漢燕（1973—），女，漢族，廣西貴港人，碩士，副教授，研究方向：金融數(shù)學(xué). E-mail：linhanyan2006@163.com

廣西教育廳科研項目（YB2014436）.