一些解析函數(shù)空間上積分算子的范數(shù)

羅家平，文 郵

（嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 廣東 梅州 514015）

一些解析函數(shù)空間上積分算子的范數(shù)

羅家平，文 郵

（嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 廣東 梅州 514015）

若f是單位圓盤D上的解析函數(shù)，Volterra積分算子定義如下：

文章給出了Jg在不同的解析函數(shù)空間上的范數(shù)計(jì)算.

范數(shù)；積分算子；解析函數(shù)空間

1 引言

令D＝{z:z＜1}是復(fù)平面C上的單位圓盤.H（D）表示單位圓盤D上的解析函數(shù).定義1.1當(dāng)0＜p＜∞，若對(duì)f∈H（D），且滿足

定義1.2當(dāng)α＞0，α-Bloch空間記為Bα.若f∈H（D），Bα空間由滿足下列條件的函數(shù)組成：

特別地，當(dāng)α＝1時(shí)，Bα記為B.

定義1.3當(dāng)0≤s＜∞，0＜p＜∞.若f∈H（D）且滿足

則稱f屬于Hp.H∞稱為Bers-型空間，對(duì)f∈H∞，有

對(duì)空間H∞s賦予范數(shù)H∞，則H∞s為巴拿赫空間.

定義1.4當(dāng)0≤p＜∞，若f∈H（D）且滿足f'∈Hp，該空間記為Sp.對(duì)Sp賦予以下范數(shù)

則Sp為巴拿赫空間.

定義1.5當(dāng)-1＜α＜∞，若f∈H（D）且滿足

則稱f屬于Dα.

定義1.6假設(shè)g∶D→C1是全純映射且h∈H（D）.積分算子Jg也稱為Volterra型算子定義如下：

定義1.7若T為解析函數(shù)空間上的算子，T的范數(shù)為

Pommerenke在文獻(xiàn)[11]中證明積分算子Jg在Hardy空間上有界性的充要條件；Bergman空間上積分算子Jg有界性的充要條件見文獻(xiàn)[2-3]；關(guān)于積分算子Jg的其他結(jié)論可見文獻(xiàn)[1-4，6-10].在本論文中，討論了積分算子Jg在不同的解析函數(shù)空間上范數(shù)的估計(jì).

2 主要結(jié)論與證明

在這一節(jié)中，將給出主要結(jié)論與證明.結(jié)論的證明需要用到下面的引理.

首先給出Jg從Hα∞到Bα的范數(shù)，結(jié)論如下：

定理2.2設(shè)0≤α＜∞.如果g∈H（D），積分算子Jg從到Bα有界的充分必要條件是supz∈D.進(jìn)一步，有.

因此

反之，記c＝supz∈Dg（'z）.對(duì)任意ε＞0，存在z1∈D，使得g（'z1）＞c-ε.令

很容易驗(yàn)證h∈Hα∞且hH∞＝1.又由

和

由ε的任意性，可得

由（7）和（11）可得結(jié)論.證畢.

因此

反之，記c＝supz∈Dg（'z）.對(duì)任意ε＞0，存在z1∈D，使得g（'z1）＞c-ε.令

令z＝reiθ，由Poisson積分方程可得

且有 h（z1）（1-z12）1/p＝1，所以

由ε的任意性，可得

由（12）和（13）可得結(jié)論.證畢.

最后，給出Jg從H∞到其他解析函數(shù)空間上有界的范數(shù)，結(jié)論如下：

定理5下列結(jié)論成立：

（1）設(shè)-1＜α＜∞.如果g∈H（D），積分算子Jg從H∞到Dα有界的充分必要條件是supz∈Dg（'z）＜∞.進(jìn)一步，有

定理5的證明與文獻(xiàn)[10]中的引理3.3類似，在此省略.

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Norm of an Integral Operator on Some Analytic Function Spaces

LUO Jiaping,WEN You
（School of Mathematics,JiayingUniversity,Meizhou 514015,Guangdong,China）

norm;integral operator;analytic function spaces

TP391

A

1001-4217（2017）03-0042-04

2016-09-02

羅家平（1994—），女，漢族，研究方向?yàn)楹瘮?shù)空間與算子理論.

基目項(xiàng)目：廣東大學(xué)生科技創(chuàng)新培育專項(xiàng)資金（“攀登計(jì)劃”專項(xiàng)資金）資助（pdjh20160465）.