數(shù)學(xué)建模與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索

周后卿 周琪

摘要：數(shù)學(xué)建模具有開放性、應(yīng)用性、趣味性、挑戰(zhàn)性及可參與性等特點(diǎn)。它作為一項(xiàng)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、實(shí)際應(yīng)用能力、使用計(jì)算機(jī)能力的行之有效的活動(dòng)，越來(lái)越受到廣大數(shù)學(xué)工作者和在校學(xué)生的親睞，這幾年參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)校和人數(shù)呈上升趨勢(shì)就證明了這一點(diǎn)。探討了在建模升溫的背景下如何改革大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想方法的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；大學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)改革

作者簡(jiǎn)介：周后卿（1963-），男，湖南新邵人，邵陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，副教授。（湖南 邵陽(yáng) 422000）周琪（1992-），女，湖南邵陽(yáng)人，湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生。（湖南 長(zhǎng)沙 410128）

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）06-0110-02

開展大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)不僅培養(yǎng)了人才，而且也直接推動(dòng)了大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)改革，這已經(jīng)是明顯的事實(shí)。[1]近幾年來(lái)，參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)的大學(xué)生人數(shù)呈逐年上升的態(tài)勢(shì)。2013年，全國(guó)33個(gè)?。ㄊ?、自治區(qū)，包括香港和澳門）以及新加坡、印度的1326所高校23339隊(duì)的七萬(wàn)多名大學(xué)生參加了建模競(jìng)賽；[2]2012年參賽的高校是1284所，參賽隊(duì)數(shù)21219隊(duì)，參賽學(xué)生六萬(wàn)多名。[3]2011年參賽高校為1251所，超過(guò)了我國(guó)現(xiàn)有高?？倲?shù)的一半，參賽隊(duì)數(shù)達(dá)19490隊(duì)，58000多學(xué)生參賽。[4]目前大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已成為我國(guó)高校規(guī)模最大的學(xué)科性競(jìng)賽活動(dòng)。為什么建模競(jìng)賽引起如此廣泛的重視？它到底對(duì)大學(xué)生能產(chǎn)生多大的影響和作用？李大潛院士在20周年慶典暨2011高教社杯頒獎(jiǎng)儀式上的講話中很好地回答了這個(gè)問(wèn)題：[5]數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路，而且是啟迪數(shù)學(xué)心靈的必勝之途。

隨著社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)，自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經(jīng)濟(jì)、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等。

新的領(lǐng)域滲透，所謂數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的重要組成部分。社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求并不只是需要數(shù)學(xué)家和專門從事數(shù)學(xué)研究的人才，而更大量的是需要在各部門中從事實(shí)際工作的人，善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)的思維方法來(lái)解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問(wèn)題，取得經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。而作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生將獲得有關(guān)的基本概念、基本理論、基本方法和運(yùn)算技能，在抽象思維和邏輯推理的能力上得到進(jìn)一步的培養(yǎng)和提高，為今后學(xué)習(xí)各類后繼課程和解決各類科學(xué)技術(shù)問(wèn)題奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握必需的數(shù)學(xué)工具。

然而，在實(shí)際教學(xué)中，情況不容樂(lè)觀。一方面數(shù)學(xué)確實(shí)很重要，另一方面，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情并不高。原因出于兩個(gè)層面：教師和學(xué)生。相對(duì)說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)教育的滯后是主要原因。在相當(dāng)程度上數(shù)學(xué)教育沒(méi)能跟上科技經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展和變化，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容方法手段變化甚微，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)在科技和社會(huì)以及個(gè)人工作和生活中的重要作用，甚至不能滿足專業(yè)后繼課程的需要。如何轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，改革教學(xué)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，是每個(gè)數(shù)學(xué)教師值得思考和解決的問(wèn)題。本文從改革大學(xué)數(shù)學(xué)的教法，把數(shù)學(xué)建模的思想方法融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，借此提高學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力方面做些探討。

一、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

所謂數(shù)學(xué)建模，就是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化，明確實(shí)際問(wèn)題中最重要的變量和參數(shù)，通過(guò)調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問(wèn)題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分折和解決問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程的多次執(zhí)行和完善就是數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程。歷史上，歐幾里德幾何和微積分的發(fā)明就是最光輝最成功的兩個(gè)數(shù)學(xué)建模。[5]數(shù)學(xué)建模具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育所缺乏的一些特點(diǎn)：

1.開放性與應(yīng)用性

數(shù)學(xué)建模的題目由工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活等領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化加工而成，非常具有實(shí)用性和挑戰(zhàn)。如近幾年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的題目：2013年的“碎紙片的拼接復(fù)原”、“車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響”；2012年的“葡萄酒的評(píng)價(jià)”、“太陽(yáng)能小屋的設(shè)計(jì)”；2011年的“城市表層土壤重金屬分析”、“交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度”；2010年“儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定”、“上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估”。每一道題都緊扣當(dāng)前社會(huì)熱點(diǎn)，具有時(shí)代意義。由于沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。這就需要參賽者具有深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，和對(duì)實(shí)際問(wèn)題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介，是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。

2.挑戰(zhàn)性

參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽前培訓(xùn)的同學(xué)大都需要學(xué)習(xí)諸如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計(jì)算方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、層次分析法、模糊數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)軟件包的使用等等“短課程”（或講座）。學(xué)時(shí)不多，主要是靠同學(xué)們自己去學(xué)。培訓(xùn)中廣泛采用討論班方式，自己報(bào)告、討論、辯論，教師主要起質(zhì)疑、答疑、輔導(dǎo)的作用，這樣可以充分調(diào)動(dòng)同學(xué)們的積極性，充分發(fā)揮同學(xué)們的潛能。競(jìng)賽中使用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件，如Mathemathmatica、Matlab、Mapple甚至排版軟件等。這對(duì)學(xué)生來(lái)講既是壓力又是挑戰(zhàn)，有助于學(xué)生自學(xué)能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的培養(yǎng)。參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽不管取沒(méi)取得名次，對(duì)參賽者都是極好的鍛煉，一次參賽，終生受益。許多參加過(guò)競(jìng)賽的學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和科研能力顯著提高，在以后的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)，得到用人單位的普遍認(rèn)可。

3.團(tuán)隊(duì)精神

競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時(shí)間內(nèi)可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)、軟件和互聯(lián)網(wǎng)。要完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文，這就要求隊(duì)員具有集體合作的團(tuán)隊(duì)精神，有組織協(xié)調(diào)溝通、預(yù)測(cè)規(guī)劃管理能力，特別是及時(shí)妥協(xié)的能力，也需要參賽隊(duì)員用博大的胸襟、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度、積極主動(dòng)的身心去參與。而這些品質(zhì)正是用人單位所看重的，但在平時(shí)課堂學(xué)習(xí)中很難形成。團(tuán)隊(duì)精神是數(shù)學(xué)建模是否取得好成績(jī)的最重要的因素。一隊(duì)三個(gè)人既要分工又要合作，大家相互支持，相互鼓勵(lì)。數(shù)學(xué)好的主要建模，計(jì)算機(jī)好的負(fù)責(zé)編程，寫作好的管論文寫作。很多時(shí)候一個(gè)人的思考是不全面的，只靠一個(gè)人的力量，要在三天之內(nèi)寫出一篇高水平的文章幾乎是不可能的，只有大家一起討論才有可能把問(wèn)題搞清楚。

二、把數(shù)學(xué)建模的思想方法融入數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中

既然數(shù)學(xué)建模具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，那么，為什么不把數(shù)學(xué)建模的思想方法滲入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中呢？所以在探討數(shù)學(xué)教學(xué)改革的時(shí)候，必須考慮如何將數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模有機(jī)結(jié)合，努力探索更有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，真正培養(yǎng)21世紀(jì)所需要的人才。數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，數(shù)學(xué)的教學(xué)不能完全和外部世界隔離開來(lái)。關(guān)起門來(lái)在數(shù)學(xué)的概念、方法和理論中打圈子，處于自我封閉狀態(tài)，以致學(xué)生在學(xué)了許多據(jù)說(shuō)是非常重要、十分有用的數(shù)學(xué)知識(shí)以后，卻不怎么會(huì)應(yīng)用或無(wú)法應(yīng)用。這種尷尬的局面與當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)模式息息相關(guān)。大部分高校的教學(xué)還是采取滿堂灌的方法，理論與實(shí)際脫節(jié)。所以高等教育要在高度信息化的時(shí)代培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的高科技人才，將數(shù)學(xué)建模引入教育過(guò)程已是大勢(shì)所趨。數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的優(yōu)劣決定了一批人在知識(shí)經(jīng)濟(jì)中的競(jìng)爭(zhēng)能力，而他們的能力缺失直接影響到國(guó)家的整體競(jìng)爭(zhēng)力。由此，數(shù)學(xué)教育不能僅僅是按部就班的靜態(tài)傳授，它更應(yīng)該注重對(duì)學(xué)科精神的領(lǐng)會(huì)。只有這樣，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)面前才不會(huì)束手無(wú)策，才能創(chuàng)新與發(fā)現(xiàn)。在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法，培養(yǎng)高質(zhì)量高層次科技人才。課堂教學(xué)是一個(gè)很重要的渠道，不要以為課堂只能夠靜態(tài)傳授書本上的知識(shí)，對(duì)書本外的東西可以置之不理。其實(shí)，傳授知識(shí)與培養(yǎng)能力相輔相成，知識(shí)是能力的基礎(chǔ)，能力是知識(shí)的發(fā)揮。要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，數(shù)學(xué)建模是有效途徑。數(shù)學(xué)建?？梢耘囵B(yǎng)分析推理計(jì)算的能力，應(yīng)用計(jì)算機(jī)、相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件以及因特網(wǎng)的能力，創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力、洞察力、應(yīng)變能力等等。那教師在教學(xué)中就要結(jié)合教材內(nèi)容結(jié)合現(xiàn)實(shí)，要有意識(shí)地引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生建模。如今，大數(shù)據(jù)時(shí)代全面來(lái)臨，[7]互聯(lián)網(wǎng)每天產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，如何從海量的數(shù)據(jù)中洞察、提煉出有價(jià)值的東西，不是每個(gè)人能做到的，需要具備技術(shù)能力、市場(chǎng)分析能力、數(shù)據(jù)分析能力，而數(shù)學(xué)建模人才是三大能力的潛在人才。數(shù)學(xué)建模人才通過(guò)必要的訓(xùn)練就有可能成為大數(shù)據(jù)人才，就有可能在數(shù)據(jù)分析的道路上馳騁。在數(shù)學(xué)教學(xué)中如果教師能夠聯(lián)系實(shí)際，向?qū)W生介紹一些書本外的知識(shí)，開拓學(xué)生的視野，讓學(xué)生及時(shí)了解當(dāng)前科技的有關(guān)動(dòng)態(tài)，無(wú)疑對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情會(huì)起到一個(gè)助推作用。

三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的措施

1.教師要積極轉(zhuǎn)變思想觀念，主動(dòng)充實(shí)提高

與其它數(shù)學(xué)類課程相比，數(shù)學(xué)建模難度大，涉及面廣，形式靈活，對(duì)教師和學(xué)生要求高。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過(guò)程。對(duì)教師來(lái)說(shuō)這是一個(gè)新的挑戰(zhàn)，不能滿足已有的知識(shí)水平，要不斷地學(xué)習(xí)補(bǔ)充提高新思想新知識(shí)新方法。轉(zhuǎn)變觀念，改變過(guò)去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識(shí)傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，做到以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問(wèn)題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來(lái)組織教學(xué)工作。通過(guò)教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，使他們?cè)谝院蟮墓ぷ髦心芙?jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問(wèn)題；提高他們盡量利用計(jì)算機(jī)軟件及當(dāng)代高新科技成果的意識(shí)，能將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)去解決實(shí)際問(wèn)題。

2.讓學(xué)生做學(xué)習(xí)、建模的主人

數(shù)學(xué)建模應(yīng)以學(xué)生為主，教師不要包辦代替。教師可以利用一些事先設(shè)計(jì)好的問(wèn)題啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)。鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，形成一個(gè)生動(dòng)活潑的環(huán)境和氣氛。教學(xué)過(guò)程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)舉素質(zhì)，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，是解決問(wèn)題的過(guò)程而不是知識(shí)與結(jié)果。

例如，在概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、習(xí)題的處理上，不能一味地按照教材照本宣科地上。應(yīng)適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充生產(chǎn)實(shí)踐中所遇到的有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，適當(dāng)?shù)匾M(jìn)一些條件不充分的實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生自己動(dòng)手收集、分析數(shù)據(jù)、建立模型，通過(guò)學(xué)生自主地、能動(dòng)地認(rèn)識(shí)、理解和抽象問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的興趣和能力。例如： 某學(xué)校有12000 名學(xué)生，學(xué)校有4個(gè)食堂。每天吃飯時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，應(yīng)設(shè)置多少個(gè)窗口才能解決這種現(xiàn)象？像這樣學(xué)生每天面對(duì)的問(wèn)題，可以鼓勵(lì)學(xué)生去調(diào)查去分析，找到解決問(wèn)題的方法。

由于數(shù)學(xué)建模無(wú)固定的模式可循，它需要利用各種技能、技巧進(jìn)行分析和綜合，因而教師要鼓勵(lì)學(xué)生敢于提出問(wèn)題和見(jiàn)解，加強(qiáng)學(xué)生間相互交流、相互學(xué)習(xí)的能力，積極引導(dǎo)學(xué)生自主地去了解問(wèn)題的背景，查閱相關(guān)資料，以此提高學(xué)生的自學(xué)能力。

線性代數(shù)是一門重要的基礎(chǔ)課，它具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性。傳統(tǒng)教學(xué)中基本采用重概念，重計(jì)算的思路方法，這樣，教學(xué)的結(jié)果只是讓學(xué)生感覺(jué)到學(xué)習(xí)線性代數(shù)的抽象性、邏輯性，而沒(méi)有體現(xiàn)出它的實(shí)用性。如果采用案例教學(xué)，以案例作為教材，使學(xué)生進(jìn)入某種情景，充當(dāng)某個(gè)角色，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自己的思考和交流，找出問(wèn)題的原因，尋求解決問(wèn)題的辦法，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性積極性可能會(huì)更大一些融合數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模過(guò)程及其應(yīng)用的線性代數(shù)基本知識(shí)，內(nèi)容具有綜合性強(qiáng)、涉及面廣，可以在較短時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的樂(lè)趣，體會(huì)到解決實(shí)際問(wèn)題的思路和過(guò)程。既能讓學(xué)生盡早接觸實(shí)際問(wèn)題，又能讓學(xué)生較快地接受解決問(wèn)題的思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，有利于促使學(xué)生開展研究型學(xué)習(xí)，也有利于開展研究型教學(xué)。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，遠(yuǎn)不止傳授一些已有的知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，把知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己思維結(jié)果的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)建模思想，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，既是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的過(guò)程，也是挖掘?qū)W生創(chuàng)造潛能的過(guò)程。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模思想教育，把本學(xué)科的新觀念、新思想、新方法補(bǔ)充進(jìn)來(lái)以開闊學(xué)生的視野和思維，引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和重視。

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