一種基于DEM的CGCS2000城市平面坐標系統(tǒng)確定方法

高昭良

(1.武漢大學測繪遙感信息工程國家重點實驗室，湖北武漢 430079;2.福州市勘測院，福建福州 350003)

1 引言

從2008年7月1日起正式啟用中國大地坐標系統(tǒng)2000(CGCS 2000)作為國家法定的坐標系，作為我國新一代的平面基準［1］。該系統(tǒng)有利于GPS快速、精確地獲取高精度城市坐標和高程成果，有利于GIS與GPS應(yīng)用的結(jié)合，進一步提升數(shù)字城市的綜合服務(wù)能力。

目前全國各地城市基本還是沿用原有的1954北京坐標系、1980西安坐標系統(tǒng)及地方坐標系統(tǒng)，因此，各城市都需要進行采用CGCS2000建立城市平面坐標系統(tǒng)。陳俊勇院士等探討國家小比例尺地圖的“西安80坐標系”更換為“大地參考系1980”(GRS80)，給出這些變化量的大小區(qū)間并討論它對地圖表示可能產(chǎn)生的影響［2］。李江衛(wèi)、解斌等人以武漢市為例，提出了以投影改正平方和最小和投影變形大于 2.5 cm/km的點數(shù)最少為原則進行最佳中央子午線和抵償高程面選取的方法［3］。武豐雷、劉曦燦等人提出建立斜軸墨卡托投影濟南市坐標系［4］。

在討論如何確定城市平面坐標系統(tǒng)選擇時，相關(guān)文獻基本采用兩個方面來驗證:一是采用有限的控制點作為計算結(jié)果驗證，二是采用最小二乘法。由于城市區(qū)域范圍較大，地形起伏分布不均勻，因此，有限的控制點無法全面準確概括。并且少量的地形突變會導致最小二乘法的最優(yōu)評價結(jié)果畸變。本文提出的基于DEM的CGCS2000城市平面坐標系統(tǒng)確定方法可以兼顧解決這兩方面問題。

2 城市平面坐標系統(tǒng)定義模型

一個城市坐標系統(tǒng)確定應(yīng)根據(jù)以上基本原則，還得考慮城市具體地理范圍和形狀，最后來確定城市平面坐標系統(tǒng)的定義模型。根據(jù)《城市測量規(guī)范》，坐標系統(tǒng)應(yīng)遵循以下原則:

(1)投影變形盡量小，投影長度變形值不大于2.5 cm/km(1/4 萬)［5］。

(2)坐標系與國家(省)級控制點應(yīng)聯(lián)測，并建立嚴密的轉(zhuǎn)換關(guān)系［6］。

2.1 高斯投影長度變形分析

由于定義國家大地坐標系的橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面，當采用高斯正形投影將這個曲面上的元素投影到平面上時，投影后就會發(fā)生長度變形問題。高斯投影時，先把地面觀測值歸化至參考橢球面上，再把參考橢球面上的觀測值歸化至高斯平面上。兩次歸化產(chǎn)生的長度變形值稱為投影變形。投影變形△D計算過程如下:

上式中各變量說明如下:

Hm:測量兩端為高出參考橢球面的平均高程，單位:m;

H0:抵償面高程，單位:m;

D:測量長度兩端點平均高程面的水平距離，單位:m;

RA:歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑，可取概值 6 371 000 m，單位:m;

ym:測距邊兩端點投影后近似橫坐標平均值，單位:m;

Rm:測距邊中點的平均曲率半徑，可取概值6 371 000 m，單位:m。

2.2 采用格網(wǎng)占比法確定最佳關(guān)系

對于面積較大的城市或地區(qū)，在確定CGCS2000框架下的平面坐標系時，還應(yīng)根據(jù)區(qū)域地理特點以及建設(shè)發(fā)展的實際情況，合理選取最佳中央子午線和抵償高程面。不斷調(diào)整高程參考面的大地高為H，使其投影變形滿足要求，條件式可近似表示為:

若確定的中央子午線與高程抵償面在城市坐標系統(tǒng)覆蓋的范圍內(nèi)，能夠較好地滿足式(2)或式(3)的關(guān)系，則該中央子午線與高程抵償面關(guān)系最佳。

3 基于DEM模型數(shù)據(jù)的計算模型

大部分學者計算最優(yōu)值采用最小二乘法∑△D2=min［9，10］模型，由于選取的控制點有限，不能全面均勻代表該區(qū)域投影變形，因此，條件通過遍歷搜索獲得∑△D2=min的方案是否可以確定為最優(yōu)，值得商榷。本文基于福州地區(qū) 1∶1萬DEM數(shù)據(jù)，提取分布均勻的高程網(wǎng)格，利用以上的投影計算模型，計算最佳高程抵償面。最佳高程抵償面與中央子午線的計算采取遍歷搜索尋優(yōu)法:搜索范圍在中央經(jīng)度［Lmin，Lmax］，抵償面高程［Hmin，Hmax］內(nèi)，按適合精度的步長，以投影改正平方和最小為原則，以變形值小于 2.5 cm的格網(wǎng)占比(符合變形要求的格網(wǎng)個數(shù)/坐標定義覆蓋區(qū)域的所有格網(wǎng)個數(shù):m/n，if g(i)＜2.5)then m=m+1，n為所有格網(wǎng)數(shù))作為參考觀察指標，按逐步縮小搜索區(qū)間，直到理論最優(yōu)值所在范圍內(nèi)達到預期設(shè)定要求，最后進行幾種最優(yōu)方案比選。本文將這種方法簡稱為格網(wǎng)占比法。

3.1 基于福州地區(qū)DEM提取500 m格網(wǎng)間距高程點

為了避免采用有限的控制點不夠均勻，代表性不夠，從而導致最優(yōu)關(guān)系計算不夠嚴密。因此，利用福州地區(qū) 1∶1萬DEM數(shù)據(jù)，福州地區(qū) 1∶1萬DEM數(shù)據(jù)格網(wǎng)尺寸為 12.5 m，高程精度 1 m。坐標系統(tǒng)為1980西安坐標系，1985黃海高程基準。根據(jù)福州山地地形的變化情況，選擇邊長 250 m格網(wǎng)來提取高程，基本可以滿足計算需要。按一定的格網(wǎng)間距提取三維坐標點，進行最優(yōu)關(guān)系計算。

3.2 最優(yōu)中央子午線和抵償高程面確定算法流程

(1)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)準備:按投影經(jīng)度步長2分(約3 km)、抵償面高程步長 50 m設(shè)置，生成所有計算方案表1、基于CGCS2000坐標系統(tǒng)的格網(wǎng)中心點數(shù)據(jù)表2。

(2)按遍歷計算每個方案每個格網(wǎng)點的變形值△D，存入表3。

(3)完成一個方案的變形值計算后，將∑△D2和△D≤2.5 cm的格網(wǎng)占比結(jié)果計算存入表3的對應(yīng)方案符合。

(4)最后遍歷搜索法對比最優(yōu)方案。

具體算法流程圖如圖1所示:

圖1 計算流程圖

3.3 最優(yōu)中央子午線和抵償高程面計算實驗結(jié)果

以福州地區(qū)數(shù)據(jù)為例進行實驗計算，選擇精度118°40'～119°40'范圍內(nèi)，按 2 分步長遞增，高程抵償面從 0 m～600 m，按 20 m步長遞增，對福州地區(qū)范圍內(nèi)的格網(wǎng)數(shù)據(jù)進行遍歷計算。計算結(jié)果得到最優(yōu)方案不同，如下:

(1)格網(wǎng)占比法:按△D≤2.5 cm的網(wǎng)格占比最大計算結(jié)果及對比數(shù)據(jù)。

變形值符合要求的格網(wǎng)占比計算結(jié)果及對比數(shù)據(jù)表 表1

變形值符合要求的格網(wǎng)占比模型計算結(jié)果表1列出最大的5個方案，最優(yōu)的方案是中央子午線為119°34'，高程抵償面為 50 m，符合每千米變形△D≤2.5 cm的網(wǎng)格占福州區(qū)域內(nèi)格網(wǎng)總數(shù)的55.62%。但是每千米變形值平方和為39.78并非最小。空間分布專題圖如圖2(b)所示。

(2)最小二乘法:∑△D2最小值計算結(jié)果及對比數(shù)據(jù)。

每公里變形值平方和計算結(jié)果及對比數(shù)據(jù)表表2

∑△D2最小值模型計算結(jié)果表2列出最小的5個方案，最優(yōu)的方案是中央子午線為119°30'，高程抵償面為 150 m，符合每千米變形值平方和最小為38.00。但是符合每千米變形△D≤2.5 cm的網(wǎng)格占福州區(qū)域內(nèi)格網(wǎng)總數(shù)為37.90%?？臻g分布專題圖如圖2(b)所示。

圖2 格網(wǎng)占比法與最小二乘法最優(yōu)方案對比圖

從圖2很明顯看出左圖的符合每千米變形△D≤2.5 cm的網(wǎng)格覆蓋量比右圖合理，左圖福州市中心及沿海經(jīng)濟開發(fā)熱點平原區(qū)域基本符合要求，而右圖福州市中心城區(qū)大東邊區(qū)域與沿海平潭島及羅源區(qū)域大部分都不符合變形要求。顯然，按格網(wǎng)占比法計算模型結(jié)果更為科學合理、更符合實際應(yīng)用需要。按福州地方平面坐標系統(tǒng)選擇的投影中央子午線為119°18'21″方 案［11］，計 算 結(jié) 果 為 符 合 每 千 米 變形△D≤2.5 cm的網(wǎng)格占比為46.04%，每千米變形值平方和值為64.15，并不是最優(yōu)的方案。福州地區(qū)西北面基本為丘陵高山，許多高程基本在 400 m以上，經(jīng)過遍歷搜索計算，驗證了該地形變化規(guī)律不適合采用高程抵償面長度歸化改正與投影變形進行抵消的計算模型。對于該高山區(qū)域的測圖，只能采用抬高投影面的方法。

4 結(jié)論

本文采用DEM數(shù)據(jù)與地理信息系統(tǒng)計算方法，對CGCS2000城市平面坐標系統(tǒng)定義的兩個計算模型進行研究，得出采用格網(wǎng)占比法方法得出的最優(yōu)高程抵償面與中央子午線的選擇方案更具嚴密性，該方法對城市區(qū)域CGCS2000平面坐標系統(tǒng)定義具有較大的參考意義。

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