質(zhì)量分布均勻球體的引力效應

柏 楊

（揚州大學附屬中學 江蘇 揚州 2250 02 ）

1 問題的提出

高中物理“萬有引力定律”一節(jié)中，通過對牛頓研究的介紹，向?qū)W生呈現(xiàn)了萬有引力定律的內(nèi)容，并特別指出，公式中r為兩個質(zhì)點之間的距離，對于質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩個球體球心之間的距離．為什么處理一個均質(zhì)球?qū)η蛲赓|(zhì)點的吸引作用時，可以將球的質(zhì)量集中在它的球心來處理呢？

2 問題的證明

設一密度均勻的球殼，它的厚度t比其半徑r小得多，如圖1所示．那么，對球殼外一個質(zhì)量為m的質(zhì)點P的引力是多少？

假設球殼上每一很小部分對質(zhì)點P的作用力為Fi，根據(jù)萬有引力定律，該力的大小應與球殼每一小部分的質(zhì)量成正比，而與它和質(zhì)點P之間距離的平方成反比，方向沿著它們之間的連線．然后，求得球殼上所有部分對質(zhì)點P的合力，即為該均質(zhì)球?qū)|(zhì)點P的作用力．

圖1

設在A點處球殼的一小部分對質(zhì)點P的引力為F1，而在球殼上離質(zhì)點P同樣遠但位于和A點對稱的B點處同樣質(zhì)量的一小部分對質(zhì)點P的引力為F2，這兩個力的合力為F1＋F2．由對稱性可知，這兩個力垂直O(jiān) P方向的分量彼此抵消，而水平分量F1cosα與F2cosα相等．通過把球分為像這樣一對一對的小塊，可以看出，所有作用在質(zhì)點P上力的垂直O(jiān) P方向的分量都成對相互抵消了，則球殼對質(zhì)點P的合引力只需考慮水平分量即可．

在球殼上取dS的一條圓帶形狀的質(zhì)量元．此圓帶長為2 π（rsinθ），寬為rdθ，厚為t．那么其體積為

dV ＝2 πt r2sinθdθ

設球殼密度為ρ，則圓帶的質(zhì)量為

d M ＝ρdV ＝2 πtρr2sinθdθ

即M ＝4 πtρr2

圓帶對質(zhì)點P所施的力是水平的，其值為

由圖1可以看出

根據(jù)余弦定理

故有

將式（3）微分，得

2xdx＝2R rsinθdθ

即

將式（4）代入式（2），再將式（2）與式（5）代入式（1），從而消去θ與α，得

這就是圓帶dS作用于質(zhì)點P上的引力．

考慮球殼上每一質(zhì)量元，即將式（6）對整個球殼所有圓帶求和．這種求和是對變量x求出遍及整個球殼的積分．因為x的范圍是從最小值R－r到最大值R＋r，所以

故合力為

式中M為球殼的總質(zhì)量．這個結果和假設質(zhì)量為M與m的兩個質(zhì)點相距R時所求得的引力結果完全相同．即一密度均勻的球殼對球殼外一質(zhì)點的引力猶如它的所有質(zhì)量都集中于其球心時的引力．

一個實心球體可當作由大量同心球殼所構成．如果各層球殼具有不同密度，但每一球殼都具有均勻密度，則同樣的結論也適用于這種實心球體．因此，對于像地球、月球或太陽在一定程度上也可視為這類球體的物體來說，討論它們吸引外部物體時，就可以把它們當作質(zhì)點來處理．

應該指出，上述的證明只適用于球體，且只適用于整個球體的密度不變或密度僅為半徑的函數(shù)的情況．

3 問題的推論

推論1：均質(zhì)球殼對內(nèi)部一質(zhì)點的引力為零．

證明：如圖2所示，因為質(zhì)量為m的質(zhì)點位于球殼內(nèi)部，所以R小于r，積分限是從r－R到r＋R．

圖2

因為

所以 F＝0

這個結果，雖然不是顯而易見的，卻是合理的．因為球殼上處于對稱位置的質(zhì)量元對質(zhì)點所施的力具有相反的方向，而總的抵消作用則決定于這一事實，即力正好與質(zhì)點間的距離的平方成反比．據(jù)查，牛頓當年的證明如下．

圖3

如圖3所示，設一質(zhì)點位于球殼內(nèi)任意一點P處．假設球殼厚度與密度都是均勻的．以P為頂點作兩個對頂小圓錐，在球殼面上所截的面積為dA1，dA2．設球殼的質(zhì)量面密度為σ，則截面dA1對P點處質(zhì)點的作用力為

式中的dΩ1為以P為頂點，向上開口的小圓錐的立體角．

同理，截面dA2對質(zhì)點的作用力為

f2＝G m σdΩ2

式中dΩ2為以P為頂點，向下開口的小圓錐的立體角．而dΩ1＝dΩ2，所以f1＝f2，兩截面對質(zhì)點的合力為

f＝f1－f2＝0

通過殼內(nèi)任意一點P作一平面把整個球殼分成兩部分，以P為頂點可以作許多對對頂?shù)男A錐（每對小圓錐處于平面的兩邊），而把兩半球殼表面分割．根據(jù)上述結果，每對對頂?shù)男A錐對P點處的質(zhì)點的合引力為零，而平面兩側的球殼表面正好被這種對頂?shù)男A錐所分割，所以，整個球殼對殼內(nèi)任意一點P處的質(zhì)點的合引力為零．

推論2：如地球具有均勻密度，則在地球表面處g值為最大，而離開地球表面后，不論是向外還是向內(nèi)，g值都逐漸減?。?/p>

證明：假設地球具有均勻密度，則當一質(zhì)點進入地球內(nèi)部越深時，地球?qū)λ┑囊妥兊迷饺?，因為在質(zhì)點所在位置以外的球殼所含的物質(zhì)對該質(zhì)點沒有作用力．當質(zhì)點處在地球中心時，引力就變?yōu)榱悖虼?，如地球具有均勻密度，則在地球表面處g值為最大，而離開地球表面后，不論是向外還是向內(nèi)，g值都逐漸減小．

4 問題的應用

【應用1】如圖4所示，若能沿著地球直徑挖通一條穿過地球的隧道．

（1）證明落入隧道的一個質(zhì)點的運動是簡諧運動．（這里忽略所有摩擦力并假設地球具有均勻密度）

（2）若通過這個隧道來傳遞郵件，那么，從一端投入而從另一端遞出需要多長時間？

（3）若使郵件沿著地球的某一直徑的隧道傳遞，試求郵件通過地心時的速率有多大？

圖4

解析：（1）離地球球心距離為r的一質(zhì)點所受地球引力完全來自該質(zhì)點位置以內(nèi)的球體中的物質(zhì)，外層球殼對該質(zhì)點沒有作用力．設地球密度是均勻的，其值為ρ，則在考慮引力作用時，半徑為r的球體內(nèi)的質(zhì)量可看作集中于地球球心，設為M′，則M′＝．因此，作用在質(zhì)點上的力為

式中負號表示引力指向地球球心．將M′的表示式代入上式，得

（2）此簡諧運動的周期是

取ρ＝5．51 ×103k g／m3

G＝6．67 ×10－11N·m2／k g2

代入數(shù)據(jù)得

T ＝84 ．2m i n

傳遞時間為周期的一半，即約42 min．有意思的是，這個結論與以第一宇宙速度運動的結果一樣．

（3）質(zhì)量為m的郵件在距離地心為r處所受到的萬有引力為

式中的負號表示F與r方向相反，根據(jù)牛頓第二定律得

即

其中

上面方程的解為

r＝Rcos（ω t＋φ）

可見，地心為其平衡位置，做諧振動的物體通過平衡位置時速率達到最大值，即

代入數(shù)據(jù)得

v＝7．9×103m／s

這個速度恰好是第一宇宙速度．

以上兩個恰好并非偶然，其實是物體以第一宇宙速度做勻速圓周運動在x軸上的投影．

【應用2】如圖5所示，如穿過地球的隧道不是沿著直徑而是沿著一弦線．

（1）那么在這隧道內(nèi)，物體的運動仍是簡諧運動．這里假設地球密度是均勻的．

（2）試求周期．

（3）試問物體沿著這隧道運動的最大速率能否達到沿著直徑隧道運動的最大速率？

圖5

解析：（1）根據(jù)上例中所說的理由，質(zhì)量為m的物體在隧道內(nèi)距離地心為r處所受到的萬有引力的大小為

其中ρ為地球的平均密度．

F在y軸上的分量為

其中ω2＝πGρ，此式為簡諧運動的微分方程，因此，物體在隧道內(nèi)的運動是簡諧運動，且其圓頻率與物體在沿著直徑隧道運動時相同．

代入數(shù)據(jù)得

T＝84 min

（3）物體沿隧道做簡諧運動的運動方程為

y＝y(tǒng)0cos（ω t＋φ）

式中y0為y的最大值，即隧道長度的一半．物體的運動速率為

物體的最大速率為y0ω，而物體沿著直徑隧道運動的最大速率為R ω，顯然y0ω＜R ω．所以，最大速率達不到沿著直徑隧道運動時的最大速率．

其實地球內(nèi)部g值隨深度而改變的情況是，在地核內(nèi)（離地面2900 k m以下）g的數(shù)值由10 ．37 m／s2單調(diào)地（非線性地）減小到零；離地面4000 k m以下，g的實際變化是不確知的．在地球內(nèi)部、地核外各處的g值變化不大，這說明，地核外的平均密度比地核的平均密度?。畬嶋H情況是從地面到深度為33 k m處為地殼，平均密度為3．0g／c m3；深度從33 k m到2900 k m的范圍為地幔，平均密度為4．5 g／c m3．

1 （美）R·瑞斯尼克，D·哈里德 ．物理學（第一卷第二冊）．鄭永，等譯．北京：科學出版社，1985

2 彭大斌主編．物理競賽教程（第四版）．上海：華東師范大學出版社，2012