挖掘教材資源，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

譚文輝

摘 要： 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓、靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的。但數(shù)學(xué)教材是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體縱向展開(kāi)的，數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵在知識(shí)體系之中，只是猶抱琵琶半遮面而沒(méi)有顯山露水，這樣教師就面臨如何深入挖掘教材中的資源，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想的問(wèn)題。本課題就是在這樣的現(xiàn)實(shí)背景下提出的，先闡述對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想滲透的必要性，再?gòu)膶?shí)踐層面提出了數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想的做法及理性思考。

關(guān)鍵詞： 教材資源 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)方法

一、課題研究的現(xiàn)實(shí)背景和意義

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書(shū)中曾指出：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益。”這是數(shù)學(xué)教育家結(jié)合學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的切身體驗(yàn)對(duì)教師提出的肺腑之言。然而長(zhǎng)期以來(lái)，可能由于受應(yīng)試教育和傳統(tǒng)教學(xué)思想的影響，一些教師只關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，只重視他們解題能力的提高，而忽視從這些知識(shí)的掌握和運(yùn)用中歸納、提取數(shù)學(xué)思想的能力，從而使學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)越來(lái)越難學(xué)，甚至?xí)劇皵?shù)”色變，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一堆冷冰冰的數(shù)字和奇特符號(hào)的組合，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給他們的只是“枯燥、繁難”的回味。事實(shí)上，這是學(xué)生受教師的不良影響，歪曲了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

首先，從學(xué)科本身的特點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)不僅僅是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法一般有兩種：一是數(shù)學(xué)思維方法，這是數(shù)學(xué)方法中較高層次的方法，是數(shù)學(xué)中思考問(wèn)題的方法，它必須一開(kāi)始就逐步滲透。二是數(shù)學(xué)解題方法，這是數(shù)學(xué)解題的通法，相對(duì)于特殊的解題技巧而言，它今后有系統(tǒng)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的之一在于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的品質(zhì)，以及科學(xué)的世界觀和方法論，使學(xué)生能面對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)，能用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析，從而使問(wèn)題得以解決。

其次，從教學(xué)現(xiàn)狀看，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不受重視。相當(dāng)一部分教師在教學(xué)目標(biāo)中只注重知識(shí)與技能的達(dá)標(biāo)，根本沒(méi)有把數(shù)學(xué)思想方法納入目標(biāo)體系，即使納入也只是在課堂上提提名而已。

再次，從數(shù)學(xué)教材體系看，整個(gè)數(shù)學(xué)教材中貫穿兩條主線(xiàn)，一是寫(xiě)進(jìn)教材的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，它是明線(xiàn)，一貫很受重視。另一條是數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這是條暗線(xiàn)，對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)十分重要，但往往被忽視。現(xiàn)在教學(xué)中存在重視知識(shí)達(dá)標(biāo)評(píng)價(jià)，輕視數(shù)學(xué)思想形成的評(píng)價(jià)；重視學(xué)生眼前的分?jǐn)?shù)利益，輕視學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)素質(zhì)發(fā)展等問(wèn)題。一些教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解不透徹，造成數(shù)學(xué)思想方法的滲透在課堂教學(xué)中短時(shí)期難以見(jiàn)成效。因此，在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)難以規(guī)范有序地展開(kāi)，教學(xué)實(shí)踐中僅僅關(guān)注雙基的落實(shí)，滿(mǎn)足學(xué)生考試分?jǐn)?shù)的提高，忽略對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的關(guān)注，導(dǎo)致學(xué)生思維發(fā)展的差異，且后續(xù)發(fā)展的差異越來(lái)越大，這種差異將直接影響學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和解決其他問(wèn)題能力的發(fā)展。教材里各個(gè)章節(jié)里隱含很多數(shù)學(xué)思想方法，教師作為組織者、引導(dǎo)合作者，必須重視數(shù)學(xué)思想方法在日常教學(xué)中的有機(jī)滲透，只有將無(wú)形的數(shù)學(xué)思想方法貫穿到有形的數(shù)學(xué)知識(shí)之中，才有利于從整體上把握數(shù)學(xué)教學(xué)目的，將數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程、解決問(wèn)題的過(guò)程展示給學(xué)生，將思維的方式方法展現(xiàn)給學(xué)生。

基于上述分析，我們抓住數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與靈魂，以數(shù)學(xué)的精神、思想、方法為突破口，提出“依托新教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐研究”這一課題，通過(guò)這一課題的研究挖掘數(shù)學(xué)教材中的有機(jī)資源，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的深入理解，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟能力，真正提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展。

二、課題研究的前提思考

（一）新教材指的是浙江教育出版社出版的7-9年級(jí)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)。

（二）數(shù)學(xué)思想是指人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其研究的本質(zhì)和規(guī)律性認(rèn)識(shí)。它是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問(wèn)題的觀點(diǎn)和根本想法，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)思想方法還有一些觀點(diǎn)上的分歧，包含范圍比較廣泛，但并不影響本課題的研究。本課題的數(shù)學(xué)思想主要定位于通過(guò)挖掘教材中的資源滲透符號(hào)化、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)模型思想這五類(lèi)常用的數(shù)學(xué)思想。

（三）數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法是指人們從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序、途徑，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段，也是數(shù)學(xué)思想的具體化反映。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的，數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻，更抽象地反映數(shù)學(xué)對(duì)象間的內(nèi)在聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)是逐層抽象的，數(shù)學(xué)方法在實(shí)際運(yùn)用中往往具有過(guò)程性和層次性等特點(diǎn)，層次越低，操作性越強(qiáng)。如變換方法包括恒等變換，恒等變換中又分換元法、配方法、待定系數(shù)法等。

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有區(qū)別也有聯(lián)系，首先，兩者都以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現(xiàn)出互為表里的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)思想的指引，是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映和體現(xiàn)，表現(xiàn)形式外顯；數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的結(jié)晶和升華，表現(xiàn)形式內(nèi)隱。數(shù)學(xué)思想往往帶有理論性的特征，而數(shù)學(xué)方法具有實(shí)踐性的傾向。一般來(lái)說(shuō)，強(qiáng)調(diào)指導(dǎo)思想時(shí)稱(chēng)數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)操作過(guò)程時(shí)稱(chēng)數(shù)學(xué)方法。由于人們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究活動(dòng)中，很難把思想和方法嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)，因此常統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)學(xué)思想方法。

（四）數(shù)學(xué)思想的主要特征。

1.導(dǎo)向性。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性是指研究數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)思維的策略。數(shù)學(xué)思想的導(dǎo)向性表現(xiàn)在它既是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根源，又是建立數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，還是解決具體問(wèn)題“向?qū)А薄Ｕ缛毡緦W(xué)者米山國(guó)藏所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的精神、思想是創(chuàng)造數(shù)學(xué)著作，發(fā)現(xiàn)新的東西，使數(shù)學(xué)得以不斷地向前發(fā)展的根源?！北热鐦O限思想既是微積分理論的基礎(chǔ)，又是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法。在解決具體問(wèn)題中，數(shù)學(xué)思想往往起主導(dǎo)作用，尤其是它對(duì)產(chǎn)生一個(gè)好“念頭”、一種好“思路”、一種好“猜想”提供方向。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想在指示解題的方向時(shí)，還為數(shù)學(xué)方法的具體實(shí)施留有應(yīng)變的余地。

2.統(tǒng)攝性。數(shù)學(xué)思想對(duì)于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法具有巨大的凝聚力，它是聯(lián)系知識(shí)的紐帶，具有舉綱張目的作用。數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。雖然數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)量的不同是影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)方面，但是，即使有同樣數(shù)量的知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生，由于知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系結(jié)構(gòu)的差異，也會(huì)造成數(shù)學(xué)能力發(fā)展不平衡。二是發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)思想在知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的過(guò)程中起重要的中介作用。如果說(shuō)能力是知識(shí)的結(jié)晶的話(huà)，那么思想往往起著結(jié)晶核的作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)教材中的定義、定理、公式等外顯知識(shí)時(shí)，若未能了解這些知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，則很難真正理解知識(shí)，因而就會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)了不少，但由于缺乏數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)，知識(shí)沒(méi)有活性，能力卻得不到發(fā)展的現(xiàn)象。另一方面，數(shù)學(xué)思想將分散的知識(shí)吸附起來(lái)，組成一個(gè)整體，并且能像滾雪球那樣越滾越大。

3.概括性。人們的理性認(rèn)識(shí)之所以高于感性認(rèn)識(shí)，是因?yàn)槔硇哉J(rèn)識(shí)能反映、揭示事物的普遍的必然的本質(zhì)屬性和聯(lián)系，這就是理性認(rèn)識(shí)的一大特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想在這方面具有突出的表現(xiàn)，即數(shù)學(xué)思想具有較高的概括性。概括性程度的不同決定數(shù)學(xué)思想有層次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性揭示得越深刻，對(duì)問(wèn)題的理解就愈透徹。數(shù)學(xué)思想的概括性還表現(xiàn)在客觀存在，能反映數(shù)學(xué)對(duì)象之間的聯(lián)系和內(nèi)部規(guī)律上。

4.遷移性。高度的概括性導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想具有廣泛的遷移性。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，這是數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的基礎(chǔ)和根源，是溝通數(shù)學(xué)各部分、各分支間聯(lián)系的橋梁和紐帶，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的基石。這種遷移性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)外部：能溝通數(shù)學(xué)與其他科學(xué)、與社會(huì)的聯(lián)系，產(chǎn)生更廣泛的遷移。

三、依托新教材培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐與研究

數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、發(fā)展、形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，通過(guò)問(wèn)題解決體現(xiàn)的，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要以學(xué)生接受知識(shí)的全過(guò)程加以滲透，以便逐漸形成。

（一）數(shù)學(xué)思想形成的過(guò)程

從認(rèn)識(shí)論的角度看，對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)，必須經(jīng)歷“具體—抽象—具體”，即從感性的具體到抽象的規(guī)定，再?gòu)某橄蟮囊?guī)定上升到思維中具體的過(guò)程。

對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)所形成的“感性的具體”是指掌握某部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容，如具體的概念、定理、公式、法則等?！俺橄蟮囊?guī)定”是指掌握某些數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法。認(rèn)識(shí)過(guò)程達(dá)到的“思維中的具體”則是指數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。

從上圖可以看出數(shù)學(xué)思想形成必須經(jīng)歷掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、明確其中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)這一過(guò)程。數(shù)學(xué)思想的形成主要來(lái)自于以下渠道：

1.在知識(shí)發(fā)生中挖掘數(shù)學(xué)思想方法。

在教學(xué)過(guò)程中，要注意知識(shí)的形成過(guò)程，特別是定理、性質(zhì)、公式的推導(dǎo)過(guò)程和例題求解的過(guò)程，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法就是在這個(gè)過(guò)程中形成和發(fā)展的。

（1）在概念、定理的講述中呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。

概念是思維的細(xì)胞，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。因而概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)完整地體現(xiàn)這一過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生揭示隱藏于概念之中的思維內(nèi)核。如“有理數(shù)”一章就是最好的例證，學(xué)生初次接觸負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等抽象概念時(shí)，往往理解上有困難，如果能有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)數(shù)軸幫助理解就可以降低理解這些概念的難度。

（2）在規(guī)律、法則的推導(dǎo)運(yùn)用中引進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法。

在定理、性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過(guò)程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系，最后引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論。如，學(xué)生在學(xué)習(xí)一元一次方程的解法時(shí)，如果只是讓學(xué)生注意解一元一次方程的步驟，即去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等，而未掌握解一元一次方程的思想——求出一個(gè)與原方程同解的且解是明顯的方程，即ax=b（a≠0），那么學(xué)生對(duì)這一思想的精髓就不會(huì)真正領(lǐng)悟，對(duì)解方程的認(rèn)識(shí)只能是“知其然，而不知其所以然”。在教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)解決步驟的同時(shí)應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)所反映出的“化歸”思想方法，使學(xué)生真正體會(huì)解題步驟是“化歸”思想方法指導(dǎo)下的具體外顯，這樣學(xué)生才會(huì)舉一反三，建立數(shù)學(xué)模型，加強(qiáng)方法遷移。

2.在思維活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須充分暴露思維過(guò)程，讓學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思想，才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。例如八下“多邊形”的教學(xué)可以借三角形、四邊形、五邊形等圖形的分析探求，讓學(xué)生大膽猜想，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方法，滲透類(lèi)比、歸納、猜想思想，在驗(yàn)證所得結(jié)論中結(jié)合多邊形可化歸三角形處理從而得以證明，從中滲透化歸思想和分類(lèi)思想。

3.在問(wèn)題解決過(guò)程中揭示數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索與解決過(guò)程，實(shí)質(zhì)是命題不斷變化和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的觀念性成果，它存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程之中。數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索與解決，都遵循數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)。數(shù)學(xué)問(wèn)題的推廣、引申和解決過(guò)程既是新的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)和解決的過(guò)程，又是數(shù)學(xué)思想方法深化的過(guò)程。一些教師往往有這樣的困惑：題目講得不少，但是學(xué)生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微變化就不知所措，不能形成較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力，更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就是教師在問(wèn)題解決中就題論題，沒(méi)有抓住問(wèn)題的本質(zhì)，沒(méi)有突出數(shù)學(xué)思想方法，“只有劍招，沒(méi)有劍魂”。

在解題教學(xué)中，教師首先要善于通過(guò)選擇典型例題進(jìn)行解題示范，通過(guò)范例展現(xiàn)自己是如何“想”數(shù)學(xué)，如何“做”數(shù)學(xué)的。進(jìn)一步說(shuō)，就是自己是怎樣審清題意的，是怎樣運(yùn)用探索法誘發(fā)靈感、產(chǎn)生“好念頭”的，是怎樣對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和變更的，是怎樣通過(guò)解題進(jìn)行回顧、概括形成方法和模式的，是怎樣運(yùn)用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論的，等等。其次，在解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生善于反思，達(dá)到舉一反三的效果。

4.在知識(shí)整理歸納中概括數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想方法融于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想作出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想方法要納入教學(xué)計(jì)劃，應(yīng)有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的概括過(guò)程，尤其在章節(jié)結(jié)束或單元復(fù)習(xí)中對(duì)知識(shí)復(fù)習(xí)的同時(shí)，將統(tǒng)攝知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法概括出來(lái)，可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)，也使其對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學(xué)知識(shí)，形成獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力。例如，在二元一次方程組的解法中有這樣的敘述：這種解法的思路是，通過(guò)“代入”、“加減”，達(dá)到消元（即消去一個(gè)未知數(shù)）的目的，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在教學(xué)實(shí)踐中給足時(shí)間，讓學(xué)生自讀，結(jié)合課本題目，專(zhuān)項(xiàng)討論“消元”怎樣進(jìn)行，不僅突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，更重要的是強(qiáng)化內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法。

為此，我們不難發(fā)現(xiàn)，由于同一數(shù)學(xué)知識(shí)可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，因此通過(guò)課堂小結(jié)、單元總結(jié)或總復(fù)習(xí)，甚至在某個(gè)概念、定理公式、問(wèn)題教學(xué)都可以在縱橫兩方面歸納概括出數(shù)學(xué)思想方法。

（二）數(shù)學(xué)思想在教材中的體現(xiàn)及實(shí)踐操作

大量的、較高層次的思想方法蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，處于潛形態(tài)，教師應(yīng)該將深層知識(shí)揭示出來(lái)，將這些深層知識(shí)由潛形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轱@形態(tài)，由對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的朦朧感受轉(zhuǎn)變?yōu)槊魑睦斫夂驼莆铡?/p>

1.符號(hào)化、方程與函數(shù)思想。

符號(hào)化思想、方程思想和函數(shù)思想本來(lái)是三個(gè)不同的思想，它們各有側(cè)重點(diǎn)，符號(hào)化偏重于形式化、結(jié)構(gòu)化。方程思想相對(duì)于算術(shù)法，偏重于關(guān)注問(wèn)題中的等量關(guān)系、構(gòu)造方程，由解方程而達(dá)到問(wèn)題解決。函數(shù)思想則偏重于事物的運(yùn)動(dòng)變化，尋求變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。但是，一方面由于數(shù)學(xué)知識(shí)量畢竟有限，這三種思想的形成還有待學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中完成，另一方面這三種思想存在有機(jī)聯(lián)系，符號(hào)化是方程思想實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)，而方程又可以看做是函數(shù)的特殊情況，方程方法是研究函數(shù)的有力工具。

（1）符號(hào)化思想。符號(hào)既可以表示數(shù)，又可以表示量；既可以表示未知數(shù)，又可以表示已知數(shù)；既可以表示常量，又可以表示變量，還可以用符號(hào)表示運(yùn)算、表示關(guān)系、表示語(yǔ)句、表示圖形。如七年級(jí)上冊(cè)4.1《用字母表示數(shù)》用節(jié)前語(yǔ)中的兒歌青蛙跳水動(dòng)畫(huà)場(chǎng)面，寓教于樂(lè)地引出用字母表示數(shù)的思想，認(rèn)識(shí)到字母表示數(shù)具有問(wèn)題的一般性，就便于問(wèn)題的研究和解決，由此就可產(chǎn)生從算術(shù)到代數(shù)的認(rèn)識(shí)飛躍。學(xué)生領(lǐng)會(huì)用字母表示數(shù)的思想就可順利地進(jìn)行以下內(nèi)容的教學(xué)：①用字母表示問(wèn)題（代數(shù)式模仿、列代數(shù)式）；②用字母表示規(guī)律（運(yùn)算定理、計(jì)算公式、認(rèn)識(shí)數(shù)式通性的思想）；③用字母表示數(shù)解題（適應(yīng)字母式問(wèn)題能力）。

（2）方程思想。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過(guò)設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問(wèn)題的思想稱(chēng)為方程思想。

如（“7.3線(xiàn)段的長(zhǎng)短比較”例3）如圖1，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C，D把線(xiàn)段AB三等分，已知線(xiàn)段CP的長(zhǎng)為1.5cm，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)。在講解完書(shū)上的解法之后，引導(dǎo)學(xué)生分析：能否用方程的思想解決呢？這一問(wèn)不僅引起學(xué)生的好奇，而且激活學(xué)生的思維，多種解決問(wèn)題方法的產(chǎn)生也就不足為奇了。

如果設(shè)∠AOC的度數(shù)為x度，那么∠COB的度數(shù)就等于（x+30）度，再根據(jù)∠AOC與∠COB是互為鄰補(bǔ)角，就得到下面的方程。

x+（x+30）=180，解得x=75.即∠AOC=75°，∴∠COB=105°，∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°+37.5°=142.5°.

教材中能用方程思想解決的問(wèn)題有很多，如“7.6余角和補(bǔ)角”一節(jié)中的例2：已知一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù)。本章復(fù)習(xí)題的第5、10、11、15題等。在教學(xué)中，適時(shí)適度地引導(dǎo)學(xué)生用方程的思想思考問(wèn)題，不僅有利于學(xué)生建立模型思想，而且能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

③函數(shù)思想。世界上一切事物都處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過(guò)程中，我們?cè)诮虒W(xué)中必須重視函數(shù)思想方法的教學(xué)。函數(shù)思想是一種考慮對(duì)應(yīng)、考慮運(yùn)動(dòng)變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫(huà)另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過(guò)渡到研究變化過(guò)程的思想方法。函數(shù)思想的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)函數(shù)思想方法，讓學(xué)生逐漸形成以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察事物，并借助函數(shù)關(guān)系思考解決問(wèn)題。

如八（上）一次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2：小聰和小慧去某風(fēng)景區(qū)游覽，約好在“飛瀑”見(jiàn)面，上午7：00小聰乘電動(dòng)汽車(chē)從“古剎”出發(fā)，沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車(chē)速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發(fā)，騎電動(dòng)自行車(chē)沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車(chē)速為26km/h。

（1）當(dāng)小聰追上小慧時(shí)，他們是否已經(jīng)過(guò)了“草甸”？

（2）當(dāng)小聰?shù)竭_(dá)“飛瀑”時(shí)，小慧離“飛瀑”還有多少km？

第一個(gè)問(wèn)題對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是有一定的“恐懼感”。我們不妨讓每個(gè)同學(xué)都先獨(dú)立思考，至少想到一種方法，然后小組交流。通過(guò)合作學(xué)習(xí)后展示討論結(jié)果時(shí)，有以下幾種思考方法。

法一：把這個(gè)問(wèn)題看成是純粹的應(yīng)用題，則是一個(gè)同時(shí)不同地出發(fā)的追及問(wèn)題，只要算出什么時(shí)候什么地方追上就能判斷小聰追上小慧時(shí)，他們是否已經(jīng)過(guò)了“草甸”；有兩種不同解題思路，一種是用算術(shù)的方法，另一種是用列方程解決。

法二：因?yàn)樾÷敽托』鬯叩穆烦膛c時(shí)間是呈正比例關(guān)系的兩個(gè)變量，所以可用函數(shù)知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題，追上的時(shí)間與地點(diǎn)就是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，而這里兩個(gè)變量的設(shè)法也有多種，真可謂思維異彩紛呈。

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，我們完全拋給學(xué)生，讓他們合作討論完成。

第一小組：生1：用算術(shù)的方法求解；

生3和生4都是用方程的方法。

第二小組：生5、生6都是用方程的方法。

生8不會(huì)解答，但在其他同學(xué)的幫助下懂得了如何列方程進(jìn)行解答。

該生介紹這種方法后，得到了大家的一致認(rèn)同，最后教師作出延伸，從上述幾種方法的解答中我們發(fā)現(xiàn)：兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1，36），就是二元一次方程組s=36ts=26t+10的解?？梢?jiàn)，用圖像法也能求方程組的解（近似解）。

2.數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語(yǔ)）。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長(zhǎng)河中的一條主線(xiàn)，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺(jué)的啟示。另一方面，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)潔明快，而且可以大大開(kāi)拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。為了培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，在七年級(jí)數(shù)學(xué)中就可以有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

如在《有理數(shù)》一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結(jié)合在一起的內(nèi)容。這樣在討論相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的幾何意義時(shí)，數(shù)和形結(jié)合得合理將為學(xué)習(xí)降低難度。

（1）利用圖像，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)情境。七年級(jí)教材通過(guò)溫度計(jì)引出數(shù)軸概念，能夠具體、直觀地掌握負(fù)數(shù)的意義。利用數(shù)軸把點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系揭示出來(lái)，這樣數(shù)量關(guān)系常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的反映和描述。

（2）相反數(shù)。在數(shù)軸上，相反數(shù)就是在原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)。零的相反數(shù)是它本身即原點(diǎn)。如圖：

（3）絕對(duì)值。在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離。在下圖中，A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大，所以A點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值比B點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值大。

（4）倒數(shù)。在數(shù)軸上表示a與1的位置關(guān)系?？梢越Y(jié)合數(shù)軸加以分析，把0、+1、-1作為分界點(diǎn)，然后再進(jìn)行討論。

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開(kāi)始，直觀是圖形的特征。例如，利用數(shù)軸可以比較兩個(gè)有理數(shù)大小，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，常常不過(guò)了符號(hào)關(guān)，利用數(shù)軸學(xué)生可以準(zhǔn)確、快速地確定結(jié)論。相反數(shù)概念的引入、理解，都依賴(lài)“數(shù)軸”，特別是教材第一次出現(xiàn)字母表示數(shù)：數(shù)的相反數(shù)是時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)思維難點(diǎn)，利用數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解：可以是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)。

在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過(guò)程中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡(jiǎn)單原則。當(dāng)然在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：

（1）善于觀察圖形，揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

（3）切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖。

教師可以通過(guò)各種形式有意識(shí)地使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)形結(jié)合方法具有形象、直觀、易于說(shuō)明等優(yōu)點(diǎn)，并初步學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合觀點(diǎn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

3.分類(lèi)討論思想。

分類(lèi)討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法。分類(lèi)是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化。我們可啟發(fā)學(xué)生按不同的情況對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，如實(shí)數(shù)的分類(lèi)、三角形的分類(lèi)、方程的分類(lèi)等，幫助他們掌握好分類(lèi)的方法原則形成分類(lèi)的思想。當(dāng)數(shù)量大小不確定，或圖形的位置、形狀不確定時(shí)，常?？梢赃\(yùn)用分類(lèi)討論的思想分析解決。如對(duì)七年級(jí)有理數(shù)的加法教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、探究，將有理數(shù)的加法分為三類(lèi)進(jìn)行研究，正確歸納出有理數(shù)加法法則，這樣學(xué)生不僅掌握具體的“法則”，而且對(duì)“分類(lèi)”有深刻的認(rèn)識(shí)，能在較復(fù)雜的情況下，利用掌握好的分類(lèi)的思想方法，正確地確定標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地進(jìn)行分類(lèi)，從而使看問(wèn)題更加全面。

在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，必須遵循以下原則：

（1）分類(lèi)原則——不重復(fù)、不遺漏。由于學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)有時(shí)帶有片面性或缺乏條理性，因此在解決問(wèn)題過(guò)程中，往往違背這個(gè)原則。實(shí)際上，在教材中定理證明、例題、習(xí)題中都采用分類(lèi)思想，只要同學(xué)們認(rèn)真鉆研教材，多思考，并注意解題后的回顧與總結(jié)，在分類(lèi)時(shí)就會(huì)做到不重、不漏。

（2）對(duì)復(fù)雜問(wèn)題采用多級(jí)分類(lèi)。對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題有時(shí)進(jìn)行一級(jí)分類(lèi)，很難將問(wèn)題討論清楚，這時(shí)需要對(duì)其中一類(lèi)或幾類(lèi)再進(jìn)行分類(lèi)，即多級(jí)分類(lèi)。多級(jí)分類(lèi)是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)注意：①每一級(jí)分類(lèi)一定要把握好分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。②每一級(jí)里，要始終如一地按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)討論，同時(shí)每一級(jí)都要以“不重不漏”為原則。教材中很多定義、定理、公式本身是分類(lèi)定義、分類(lèi)概括的，教師在教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸體會(huì)分類(lèi)討論的思想。

如（“7.2線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)”課內(nèi)練習(xí)的第2題），請(qǐng)寫(xiě)出圖3中以O(shè)為端點(diǎn)的各條射線(xiàn)。

這是一個(gè)封閉性的題目，條件明確，結(jié)論唯一。如果在教學(xué)中，我們?cè)趯W(xué)生練習(xí)完之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，把這個(gè)問(wèn)題中的條件“以O(shè)為端點(diǎn)”去掉，那么圖中又有多少條射線(xiàn)呢？這就是一個(gè)以射線(xiàn)端點(diǎn)為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)分類(lèi)問(wèn)題。該問(wèn)題雖小，但它讓學(xué)生看到了分類(lèi)思想解決問(wèn)題的巨大作用。如果再把這個(gè)圖形進(jìn)行變式，點(diǎn)A為直線(xiàn)BC上的一點(diǎn)，那么在圖4中有幾條射線(xiàn)呢？

進(jìn)一步，如果直線(xiàn)BC上有3個(gè)點(diǎn)，4個(gè)點(diǎn)，乃至n個(gè)點(diǎn)，那么圖4中又有多少條射線(xiàn)呢？至此，學(xué)生自己已經(jīng)不難解決這個(gè)問(wèn)題了。

再如（“7.5角的大小比較”例2），如圖5，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度數(shù)。

這是一道幾何計(jì)算題，它包含簡(jiǎn)單的推理過(guò)程，怎樣有條理地表述解題過(guò)程，這是幾何入門(mén)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生遇到的又一個(gè)難點(diǎn)。就本題來(lái)說(shuō)，為使學(xué)生能表述清楚語(yǔ)句之間的邏輯關(guān)系，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的圖形，找出圖5中與解題有關(guān)的角，分清哪些是已知度數(shù)的角，哪個(gè)是所求的角；其次根據(jù)已知條件和圖形，分析角與角的數(shù)量關(guān)系。然而，這樣的能力培養(yǎng)在學(xué)習(xí)的初始階段是需要模仿的，那么怎樣選擇問(wèn)題呢？我們不妨對(duì)例2做簡(jiǎn)單的變式，把題中的“如圖”兩字刪去，這時(shí)由于圖形位置的不確定性，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)討論，學(xué)生對(duì)問(wèn)題既有新鮮感，又可以模仿例題的格式學(xué)習(xí)，正可謂一舉兩得。

4.化歸與轉(zhuǎn)化思想。

所謂“化歸”，從字面上看可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)中把待解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中，最終獲得原問(wèn)題解答的一種手段和方法。化歸方法用框圖可直觀表示為：

其中，問(wèn)題B常被稱(chēng)作化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段被稱(chēng)為化歸途徑或化歸策略?；瘹w包括三個(gè)要素，即化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)和化歸策略?；瘹w的方向是：由未知到已知，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，由困難到容易。

在數(shù)學(xué)教材中無(wú)處不滲透化歸思想，我們時(shí)常需要把高次的化為低次的，把多元的化為單元的，把高維的化為低維的，把指數(shù)運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，把幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題，化無(wú)理為有理等。從化歸的方向上來(lái)看，化歸的方向大致可以分為下面兩種：

（1）新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化

在數(shù)學(xué)教材中，有許多新知識(shí)的獲得或新問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)或已解決的問(wèn)題完成的，也就是將新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得到解決。下面就以解方程為例分析這種化歸的方向。

①消元降次化歸，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。

I.降次化歸解一元方程

解一元二次方程時(shí)有以下四種解法：

b.如果將方程通過(guò)配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負(fù)的常數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

c.如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積，就可以得到兩個(gè)因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。

d.如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。

從以上分析不難看出：將“一元二次”這個(gè)新知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“一元一次”這個(gè)已知知識(shí)點(diǎn)之際，也就是順利求解一元二次方程之時(shí)。因此，應(yīng)用化歸思想降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。

II.消元化歸解方程組

解二元一次方程組，其方法是通過(guò)加減消元或是代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即完成從新知識(shí)點(diǎn)到已知知識(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，從而得到求解。三元一次方程組，通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而使問(wèn)題得解。

②分式方程整式化，實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向已知知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化。

新教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級(jí)（下），后者雖然在教材中沒(méi)有安排，但是在中考復(fù)習(xí)中也會(huì)頻頻出現(xiàn)，可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識(shí)模式是解分式方程的思路。這里需要注意的是在分式方程整式化變形過(guò)程中，有可能不是恒等變形，可能產(chǎn)生增根，所以分式方程必須驗(yàn)根。

縱觀整個(gè)教材，除解方程問(wèn)題外，還有許多知識(shí)的轉(zhuǎn)化都屬于新知識(shí)向已知知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)塊的轉(zhuǎn)化，如：異分母分?jǐn)?shù)的加減法，通過(guò)通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減法；多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和解決；梯形的中位線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線(xiàn)解決等，無(wú)不滲透化歸思想。

（2）一般情況向特殊情況的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中除上述的化歸方向外，還有一類(lèi)化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問(wèn)題，然后通過(guò)恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問(wèn)題解決，這也是解決新問(wèn)題獲得新知識(shí)的一種重要的化歸方向。

如九年級(jí)上冊(cè)圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關(guān)系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內(nèi)部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。

圖二 圖三 圖四

在第一種位置關(guān)系中，圓心角∠BOC恰為△AOC的外角，這時(shí)很容易得到結(jié)論；在第二、三兩種位置關(guān)系中，我們均可作出過(guò)點(diǎn)A的直徑，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一種情況，同樣可以證得結(jié)論。上述問(wèn)題的解決都是先解決特殊條件或特殊情況下的問(wèn)題，然后通過(guò)恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問(wèn)題解決，同時(shí)此定理的證明也滲透合理的分類(lèi)數(shù)學(xué)思想。

5.數(shù)學(xué)模型思想。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為：數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)所揭示的是人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。各種數(shù)學(xué)概念和各種數(shù)學(xué)命題都具有超越特殊對(duì)象的普遍意義，它們都是一種模式。如果把數(shù)學(xué)理解為由概念、命題、問(wèn)題和方法等組合成的復(fù)合體，那么掌握模式的思想就有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)模型就是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過(guò)程，大致可用如下框圖說(shuō)明：

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用、拓展”的過(guò)程，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，自己研究、探索，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，從而體會(huì)方程、不等式、函數(shù)等是現(xiàn)實(shí)世界的模型，初步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

如“用不等式知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)就可使用課后一道習(xí)題引入：

師：不等式（組）是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量不等關(guān)系的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可用不等式（組）知識(shí)來(lái)解決。

問(wèn)題：某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，共有20道題，評(píng)分辦法是：對(duì)于每一道題，答對(duì)給10分，答錯(cuò)或不答扣5分。如果某學(xué)生總得分不少于80分，那么這個(gè)學(xué)生至少要答對(duì)多少道題？

師：這個(gè)問(wèn)題含有那些要素？

生1：閱讀后略加思考答：①答對(duì)題數(shù)，②答錯(cuò)或不答題數(shù)，③試題數(shù)，④總得分?jǐn)?shù)。其中，已知量：試題數(shù)=20、答對(duì)一題給10分，某題答錯(cuò)或不答扣5分、某學(xué)生總得分不少于80分，未知量：這個(gè)學(xué)生至少要答對(duì)多少道題？

師：要素之間的數(shù)量關(guān)系如何？

生2：略加思考答：①答對(duì)題數(shù)+答錯(cuò)或不答題數(shù)=20；②答對(duì)題數(shù)×10+答錯(cuò)或不答題數(shù)×（-5）≥80；③答對(duì)題數(shù)×10≤200；④答錯(cuò)或不答題數(shù)×（-5）≥-100。

師：非常好！這是問(wèn)題解決過(guò)程中的重要一環(huán)——分析。對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖表語(yǔ)言能使數(shù)量關(guān)系更清晰。

師：怎樣用符號(hào)表示這些關(guān)系？

生3：設(shè)答對(duì)題數(shù)為x，則10x-5（20-x）≥80

生4：設(shè)答對(duì)題數(shù)為x，答錯(cuò)或不答題數(shù)為y，則x+y=2010x-5y≥80

生5：設(shè)答錯(cuò)或不答題數(shù)至多為x，則15x≤200-80

生6：設(shè)答對(duì)題數(shù)為x，則-100+15x≥80

師：多角度思考問(wèn)題是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘訣！這是問(wèn)題解決的第二個(gè)環(huán)節(jié)——建模。同一個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可能具有多樣性！

師：怎樣解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生7：……

師：這是問(wèn)題解決的第三個(gè)環(huán)節(jié)——解模。

師：這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解是不是實(shí)際問(wèn)題的解？

生8：……

師：這是問(wèn)題解決的第四個(gè)環(huán)節(jié)——還原。

師：上述四個(gè)數(shù)學(xué)模型那個(gè)更有價(jià)值？為什么？

生9：……

師：這個(gè)問(wèn)題還有其他解法嗎？

生10：相互研討后答：逐步逼近法（教師有改動(dòng)）：答對(duì)10題、11題、12題……進(jìn)行試探，逐步逼近）。

師：這是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，尤其用于解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。

師：上述問(wèn)題改答對(duì)一題給10分，答錯(cuò)一題扣5分，不答不給分也不扣分呢？

眾生：對(duì)不答題數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論。

師：思路正確！請(qǐng)你將其具體化，試試看。

師：這是問(wèn)題解決的第五個(gè)環(huán)節(jié)——反思。

師：現(xiàn)在我們?cè)倩仡櫼幌律鲜鰡?wèn)題解決的全過(guò)程，繼續(xù)思考并回答下列問(wèn)題：

（1）分析有哪些具體方法？（如自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖表語(yǔ)言等）

（2）建模的實(shí)質(zhì)是什么？（實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題——符號(hào)語(yǔ)言）

（3）解模的本質(zhì)是什么？（邏輯推理）

（4）還原的理由是什么？（實(shí)際問(wèn)題的解應(yīng)該具有實(shí)際意義）

（5）反思的視角與視點(diǎn)是什么？（模型是否具有多樣性、解法是否具有多樣性、問(wèn)題是否具有一般性、知識(shí)與方法是否具有內(nèi)在聯(lián)系性等）

學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)并作出概括。

師：請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下“問(wèn)題解決”的過(guò)程與方法，對(duì)今后學(xué)習(xí)是否具有指導(dǎo)作用？過(guò)去用過(guò)這種思想方法嗎？

眾生：……

師：不等式10x-5（20-x）≥80是否具有實(shí)際意義？請(qǐng)你結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際，提出盡可能多的問(wèn)題？

生：……

師：在這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你有哪些收獲與感受？請(qǐng)大家提出自己的觀點(diǎn)，毫無(wú)保留地交流自己的學(xué)習(xí)成果與思想。

四、結(jié)語(yǔ)

隨著新課改的進(jìn)一步深化，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生變化，由接受性學(xué)習(xí)變?yōu)檠芯啃詫W(xué)習(xí)；學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)移，從培養(yǎng)學(xué)生“分析與解決問(wèn)題的能力”轉(zhuǎn)移到“發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力”；教育評(píng)價(jià)從重結(jié)果的終結(jié)性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)到達(dá)到結(jié)果的過(guò)程性評(píng)價(jià)。那么數(shù)學(xué)教育教給學(xué)生，毫無(wú)疑問(wèn)是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法為手段，開(kāi)發(fā)學(xué)生潛能，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)生活。僅僅將數(shù)學(xué)作為一種工具，不能科學(xué)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會(huì)中的地位和價(jià)值。

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