變式教學法在概念教學中的應用及思考

曹達鋒

摘 要： 數(shù)學概念教學是數(shù)學教學過程中的一個重要環(huán)節(jié)，是數(shù)學教學的核心。作者在教學中發(fā)現(xiàn)，學生對概念的學習往往不盡如人意，存在許多問題。變式教學法，是通過構造一系列變式的方法展示知識的發(fā)生發(fā)展的過程、數(shù)學問題的結構和演變的過程、解決問題的思維過程，從而形成一種思維訓練的有效模式。本文嘗試借助變式教學法，在概念教學過程中采用“對概念引入的變式，使實際現(xiàn)象數(shù)學化”、“對概念關鍵特征的變式，使學生掌握概念的本質屬性”、“對概念的變式訓練，使學生所學概念得到鞏固”三個策略，彌補學生在概念學習中的不足，并針對概念變式教學提出思考。

關鍵詞： 數(shù)學概念教學 變式教學法 教學應用 教學思考

一

概念是數(shù)學的“細胞”，脫離數(shù)學概念便無法進行數(shù)學思維，也無法構成數(shù)學思想和方法。數(shù)學中的每一個判斷、每一種推理，都是在數(shù)學概念的基礎上展開的?？梢哉f數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識的核心，是進一步學習數(shù)學定理、公式、法則、方法及提高能力的基礎。因此，數(shù)學概念教學十分重要，它是整個教學過程中的一個重要環(huán)節(jié)。然而，由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規(guī)定性，致使教師在教學中往往只重視培養(yǎng)學生思維的邏輯性和精確性，在教學方式上以“告訴”為主，迫使學生“被動”記住新概念，從而置學生于被動地位，使思維呈依賴性，這顯然不利于學生的長遠發(fā)展。在實際教學中，筆者了解到，學生在學習數(shù)學概念時呈現(xiàn)出一些認知和方法上的誤區(qū)。

1.忽視探究概念的生成過程和意義。很多學生常感覺概念學起來枯燥乏味，只需記記背背就可以了，完全是囫圇吞棗，而事實上并未了解概念的由來，因此不能理解概念的意義，更不能進一步將概念為自己所使用。

2.難于把握概念的外延和內(nèi)涵。換句話說，很多學生往往很難區(qū)分概念的本質特征和非本質特征。例如：在學習三角函數(shù)時，教材從引入、探索定義到例習題，都是在直角三角形中進行的，這樣學生在頭腦中就把“直角三角形中的銳角才有正弦余弦”這個非本質特征概括出來，從而縮小概念的外延。

3.無法駕輕就熟運用概念解題。概念教學的終極目標是解決問題，然而，仍存在一部分學生在拿到一道題目時不知該用哪個概念解題。究其原因，此類學生事實上并沒有真正掌握概念，或者說對于概念的學習并沒有得到有效的鞏固。

針對以上學生在學習概念時所表露出來的種種不足，在概念教學中運用變式，顯得非常必要和重要。利用變式引導學生積極地參與概念的生成過程，尋找概念的關鍵特征，那么學生就能置身于老師創(chuàng)設的情境中，像數(shù)學家那樣“經(jīng)歷”一次數(shù)學概念的形成，以及概念的內(nèi)涵和外延的揭示過程。

二

變式教學法，它的核心是利用構造一系列變式的方法，展示知識發(fā)生、發(fā)展過程，數(shù)學問題的結構和演變過程，解決問題的思維過程，以及創(chuàng)設暴露思維障礙情境，從而形成一種思維訓練的有效模式。它的主要作用在于凝聚學生的注意力，培養(yǎng)學生在相同條件下遷移、發(fā)散知識的能力。它能做到結構清晰、層次分明，使不同層次的學生各有所得，嘗到成功的樂趣，并激發(fā)學習熱情，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

把變式教學運用到概念教學中的主要作用是使學生在獲得對概念的多角度理解和鞏固的同時，讓學生“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)造”，通過多樣化的變式培養(yǎng)他們的觀察、分析及概括能力，培養(yǎng)他們的思維能力和創(chuàng)新意識。

1.對概念引入的變式，使實際現(xiàn)象數(shù)學化。數(shù)學概念的一個基本特征是抽象性，然而，許多數(shù)學概念又直接來自具體的感性經(jīng)驗。因此，概念引入教學的關鍵是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系。數(shù)學概念的引入就是揭示概念發(fā)生的實際背景和基礎，了解它的必要性與合理性，初步揭示它的內(nèi)涵與外延，給概念下定義。同時，通過對概念引入的變式，實際現(xiàn)象數(shù)學化，達到展示知識形成的過程，促進學生概念的形成。

案例1：在教授函數(shù)概念（浙教版八年級上冊）“在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù)……”時，筆者就嘗試在教學中通過加油站加油實況（播放錄像）的展示引出函數(shù)概念。當看完錄像片段后，筆者提出如下問題：“同學們發(fā)現(xiàn)什么有趣的現(xiàn)象了嗎？”

學生A答：“三個小格子，有一個小格子一動不動，而另外兩個小格子里的數(shù)字卻跳個不停?！?/p>

學生B答：“油價7.68元/升不變，而油量與金額跳個不停。”

筆者緊接著問：“為什么這兩個數(shù)字要一齊跳呢？”

學生C接過我的話說：“在加油過程中，油量在變，所以金額也跟著變化?！?/p>

筆者問：“那么在加油過程中，這三個量分別是什么量（常量或變量。）”

學生集體答：“油的單價（7.68元/升）始終保持不變，它是‘常量，油量和金額可以取不同的值，所以它們都是‘變量。”

筆者乘機引出：“這就是我們今天這節(jié)課研究的內(nèi)容。在加油這個變化過程中，有兩個變量（油量x和金額y），對于油量x每一確定值，金額y都會有唯一確定的值與它對應，那我們就說金額y是油量x的函數(shù)，x叫做自變量?！?/p>

函數(shù)概念是初中階段數(shù)學學習的一個重要內(nèi)容，同時它又是一個非常抽象的概念，如何讓學生真正理解函數(shù)概念一直是教學的難點?！墩n程標準》指出：數(shù)學課程不僅要考慮數(shù)學自身的特點，更應該遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)……數(shù)學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上。

筆者根據(jù)學生的現(xiàn)有知識水平、課堂教學目標、具體學習內(nèi)容等方面，通過對概念引入進行變式，創(chuàng)設出了符合學生生活經(jīng)驗和認知特點的情境。只有在具體、可感、實際并具有親和力的情境下，才能讓學生感到數(shù)學概念原來并不抽象。如此，既可讓學生自覺參與和投入到學習中，又有利于學習目標的實現(xiàn)，最終促進學生概念體系的形成。

2.對概念關鍵特征的變式，使學生掌握概念的本質屬性。概念引入后，學生雖然對概念的定義有了初步的了解，但并沒有將理性認識上升為科學概念體系。因此，還必須引導學生全面深刻地分析、理解概念，明確其內(nèi)涵和外延及概念間的關系，對概念關鍵特征進行變式，使學生把握概念的本質屬性，達到既知其然，又知其所以然的目的。

案例2：在“同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角”概念教學，先要求學生認清“三線八角”（如圖一）：

筆者先讓學生認清三線關系，即哪兩條直線被另一條直線所截，進一步再從角與角之間的關系入手，引導分析，概括出同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義。

同位角：注意兩個“同位”是指既要在前兩條直線的同一位置，又都在第三條直線的同旁的兩個角，圖中的∠1、∠5都是在前兩條直線a、b的上方，同時又在第三條直線c的左邊，因此∠1與∠5是同位，給出變式圖形（圖二）。

內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角：首先抓住一個“內(nèi)”字——在前兩條直線之間即“內(nèi)部”去找，發(fā)現(xiàn)∠2、∠3、∠5、∠8，同時發(fā)現(xiàn)，∠2與∠8它們被第三條直線c錯開了，所以就是內(nèi)錯角；∠2與∠5它們在第三條直線c的同旁，所以就是同旁內(nèi)角。

在概念思維中，學生形成一個概念就要做到在思維過程中對一類事物共有的本質屬性進行概括。概括是否明確，直接影響到它所形成的概念是否真實、正確。筆者通過對同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角三個概念的關鍵特征進行變式，引領學生積極參與形成概念和明確概念的全過程，從中不僅讓學生真正把握概念的本質特征，區(qū)分不同概念之間的本質差別，而且訓練學生的思維能力。如此，可使大部分學生牢牢掌握概念的關鍵點，并在解題時運用自如。

案例3：在學習三角函數(shù)時，筆者嘗試如下方法作出變式。

變式一：如圖一，求∠B的正弦值。

變式二：如圖二，已知等腰△ABC，AB=AC=13，BC=10，求∠B的正弦值。

學生活動：過A點作AD垂直BC，則AD與AB的比值就是∠B的正弦值。

3.對概念的變式訓練，使學生所學概念得到鞏固。數(shù)學概念的教學，通常是從生動直觀上升到抽象思維，又從抽象思維落實到具體實踐，這樣多次反復才能完成。因此，鞏固和運用概念是概念教學非常重要的環(huán)節(jié)。心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固就會很快遺忘。鞏固概念，應在引入、形成概念之后，引導學生正確地復述，運用變式訓練，熟悉概念、鞏固概念、運用概念，提高解決問題的能力。教師應根據(jù)教學目標和學習交流中所得到的反饋信息，精心選編題目，并通過變式得到一組變式訓練題組，讓學生在探索、變式、解答中，深化對概念的理解。

案例4：如在學習平方根的概念時，可以設計這樣的變式訓練。

例題：16的平方根是？搖？搖 ？搖？搖。

此例題主要是讓學生理解、掌握平方根的概念。但本節(jié)課還介紹了正的平方根，負的平方根這兩個概念。學生在剛剛學習這幾個概念時，往往區(qū)分不開，為了讓學生加深對這幾個概念的理解，筆者在例題的基礎上設置了變式1。

變式1：16的正的平方根是？搖 ？搖？搖？搖。16的負的平方根是？搖？搖 ？搖？搖。

通過這個變式1和例題的對比，學生可以很清晰地理解幾個概念的聯(lián)系和區(qū)別，加深對概念的內(nèi)化理解。

在平方根這節(jié)課的教學時，還介紹了平方根、正的平方根、負的平方根的符號表達式，但在應用時學生對符號式和文字表達理解不夠深刻，往往到初三復習時還會出現(xiàn)理解錯誤，因此在變式1的基礎上筆者又出示了變式2。

學生在解決變式2時出錯率很高，把此題錯誤的理解成“求16的正的平方根，得到的答案多數(shù)為4”，這正是學生沒有理解好符號與文字表達的關系的具體體現(xiàn)。在學生出錯的基礎上講解，此題要經(jīng)過兩次運算，先算等于4，再算4的正的平方根等于2。學生聽完講解恍然大悟，理解了自己出錯的真正原因，加深了對符號表達和概念的理解。

接下來，為了鍛煉學生對概念的靈活掌握和應用，培養(yǎng)學生逆向思維的能力筆者設置了下面的變式題。

變式3：已知a的平方根是±0.5，則a=？搖？搖 ？搖？搖。

通過這個變式訓練，學生對平方根的概念掌握更靈活，數(shù)學思維能力也得到提高。給出概念之后，及時采取多種形式的變式，進一步提高學生對概念的認識，有助于學生鞏固已學的概念。

三

加強對概念的變式訓練，促使學生從感性認識上升到理性認識。只有在理解和形成概念的基礎上，引導他們對學過的概念進行歸納整理，才有利于更好地掌握概念，明確哪些是事物的本質屬性，哪些是事物的非本質屬性。

概念變式教學運用，有利于學生輕松理解概念的本質屬性，促使學生進行有意義的學習，避免反復機械訓練，一味地被動灌輸，進而建立新概念與已有概念的本質聯(lián)系，并幫助學生形成良好的知識結構，靈活的問題解決能力，以及概念體系。當然任何事物都應遵循科學合理原則，變式在概念教學過程中的運用也不例外。在采用概念變式教學過程中，筆者認為應該注意以下幾點：

1.概念變式前要有預設和針對性。變式是為了讓學生更好地理解概念、掌握概念，而不是為了變式而變式，那樣反而導致“過則不及”。因此，我們在平時的概念教學中，對概念變式前要有充分的預設和針對性，針對學生掌握程度，對學生模糊、易錯、易混淆的概念進行針對性變式，這樣才能真正把握概念，從而切實提高數(shù)學學習效率。

2.概念變式時要把握兩個“度”。在概念教學中，變式要注意兩個“度”：一個是引用的變式例子要有“梯度”，要循序漸進，切不可追求“一步到位”，否則容易使學生產(chǎn)生畏難情緒，影響問題的解決，從而降低學習效率；另一個就是引用例子不要“過度”，變式的數(shù)量要“適度”，不是多多益善，否則就成了題海戰(zhàn)，反而會降低學生學習的積極性。

3.概念變式后要有系統(tǒng)總結。教師要對變式進行分析及系統(tǒng)的總結。每呈現(xiàn)一類實例必須分析其所具有的特征，并引導學生認識哪些是本質特征，哪些是非本質特征。當所呈現(xiàn)的各類實例都分析完之后，應該進行系統(tǒng)總結，歸納和概括各類實例中分析出來的本質特征與非本質特征，從而進一步排除非本質特征，突出和強調共同的、本質的特征，達到事半功倍的教學效果。

參考文獻：

[1]中學數(shù)學教學引論.石油大學出版社.

[2]鄭強.初中數(shù)學課堂教學的55個細節(jié).四川教育出版社.

[3]劉長春.在函數(shù)教學中實施變式教學.數(shù)學教學.

[4]浙教版初中數(shù)學教材.

[5]陳學軍.影響數(shù)學概念學習的因素及其對策.中學數(shù)學月刊，2012（4）.

[6]王偉.數(shù)學變式百例精講.寧波出版社，2006.

[7]初中數(shù)學新課程標準，2012.