線性代數(shù)教學(xué)中的一點(diǎn)體會

劉鳳霞

摘 要： 線性代數(shù)是一門重要的公共基礎(chǔ)課程，作者結(jié)合線性代數(shù)課程的特點(diǎn)與課堂教學(xué)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了在線性代數(shù)教學(xué)中的體會。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 教學(xué)方法 教學(xué)體會

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)課之一。它是研究行列式、矩陣?yán)碚摗⒕€性方程組、向量空間和二次型的一門學(xué)科，在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用。學(xué)好這門課程，對于加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)的抽象思維訓(xùn)練，邏輯表達(dá)和分析問題及解決問題的能力的提高是非常有用的。但是線性代數(shù)的內(nèi)容比較抽象，如何使學(xué)生更好地掌握這門課程，提高教學(xué)質(zhì)量，是值得研究的問題。以下是我在教學(xué)實(shí)踐中的心得與體會。

一、具體內(nèi)容的由淺入深和總體內(nèi)容的融會貫通

我們在實(shí)際教學(xué)中，常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，教師在上面講得滿頭大汗，學(xué)生在下面聽得云里霧里乃至因跟不上進(jìn)度而走神，或者跟上了進(jìn)度卻因定義定理推論過多，在做題時仍然比較茫然，不知該從哪個角度思考問題。久而久之，失敗的經(jīng)歷多了，學(xué)生就失去了學(xué)習(xí)這門課程的興趣和動力。為了避免這種現(xiàn)象，老師應(yīng)該根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。以“線性方程組的解”這一節(jié)為例，一上來就是定理及其證明，一般講完定理和證明這些抽象的內(nèi)容后，學(xué)生已經(jīng)有些暈了，再講例題，必然積極性不高，學(xué)習(xí)效果不好。在實(shí)際教學(xué)中，本著從具體到抽象、由淺入深的原則，我們可以對教學(xué)內(nèi)容做適當(dāng)調(diào)整。可以先舉三個具體的例子說明定理的三種情況，在學(xué)生有了直觀了解后，再介紹定理內(nèi)容及其證明，進(jìn)一步讓學(xué)生有嚴(yán)密系統(tǒng)的認(rèn)知。最后給出一些例子，讓學(xué)生自己動手，加深對定理的理解，掌握如何運(yùn)用定理內(nèi)容做題。

線性代數(shù)課程中各章節(jié)的內(nèi)容并不是各自孤立的，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，梳理知識點(diǎn)可以把各個知識點(diǎn)串聯(lián)起來，使得知識更加條理化和系統(tǒng)化，有利于學(xué)生更好地掌握知識。應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常將前后知識聯(lián)系起來，這樣等課程結(jié)束后就能形成一個清晰的知識脈絡(luò)，更有利于知識的掌握。例如在講第四章第二節(jié)“向量組的線性相關(guān)性”這一節(jié)時，我們應(yīng)該先回顧齊次線性方程組有非零解和只有零解的充要條件，然后在講完線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義時，給學(xué)生一定的時間自己考慮這兩個知識點(diǎn)有沒有什么關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生自己得出線性相關(guān)和線性無關(guān)的充要條件的定理。通過這個過程，學(xué)生從知識的接受者轉(zhuǎn)變?yōu)樘剿髡?，提高學(xué)習(xí)積極性和主動性及學(xué)習(xí)能力，并且將前后章節(jié)內(nèi)容緊密聯(lián)系起來。

二、課上多做練習(xí)，讓學(xué)生有自己思考的時間，積極參與到課堂教學(xué)中

學(xué)生是課堂的主體，教師起主導(dǎo)作用，因此教師講課時不能自說自話地將學(xué)生孤立起來，而是要讓學(xué)生參與課堂教學(xué)，還要巧妙穿插課堂練習(xí)，讓學(xué)生積極參與到課堂練習(xí)中。

1.講完新內(nèi)容做練習(xí)。每節(jié)課講完新內(nèi)容，尤其是重要章節(jié)和重要知識點(diǎn)后，都要多做練習(xí)，加深學(xué)生對新內(nèi)容的記憶和理解。例如矩陣的初等行變換這種重要運(yùn)算，在后面求矩陣的秩，向量組的秩，逆矩陣，以及求解方程組都要用到，所以講完初等行變換，多讓學(xué)生做課堂練習(xí)，讓學(xué)生自己拿起筆做一次初等行變換，感受一下到底是如何運(yùn)作的?？墒沁x什么樣的題目作為課堂練習(xí)呢？我們可以把后面的知識點(diǎn)具體應(yīng)用的例子先拿出來讓學(xué)生練。這樣不僅練習(xí)了新學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而且為學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容做了鋪墊。比如講逆矩陣這節(jié)一定有求逆矩陣的例子，我們可以把這個矩陣讓學(xué)生做初等行變換練習(xí)，也可以用向量組的秩這一節(jié)的例子做課堂練習(xí)。這樣既可以省去教師找例子的時間，而且在講后面內(nèi)容時，由于這些例子前面已做過練習(xí)，因而可以節(jié)省授課時間，用于做更多的課堂練習(xí)。

2.將后面章節(jié)要用的知識點(diǎn)做練習(xí)。有些內(nèi)容的證明中用到一些知識點(diǎn)，在前面的章節(jié)中沒有講到，但在證明中直接用了，那我們可以把這些知識點(diǎn)在前面章節(jié)講完新內(nèi)容時做練習(xí)，這樣在講證明時可以保證證明過程的連貫性。

例1.我們可以在相似矩陣這一節(jié)，講矩陣A與B相似時，補(bǔ)充A-λE與B-λE也相似這個結(jié)論，讓學(xué)生做課堂練習(xí)。因?yàn)樵谙乱还?jié)對稱矩陣的對角化這一節(jié)，有個推論內(nèi)容為：對稱矩陣的k重特征值恰好有k個線性無關(guān)的特征向量。證明這個推論時會用到“若A與Λ相似，則A-λE與Λ-λE也相似”。加了這個課堂練習(xí)，一方面可以加深學(xué)生對于兩個矩陣相似的定義，另一方面在后一節(jié)講推論的證明時比較輕松連貫。

例2.我們可以在向量組的線性相關(guān)性這一節(jié)，讓學(xué)生證明：線性無關(guān)的向量組增加相同位置分量后還是一個線性無關(guān)的向量組；線性相關(guān)的向量組刪減相同位置分量后還是一個線性相關(guān)的向量組。這樣一方面可以加深學(xué)生對線性相關(guān)和線性無關(guān)的判別，另一方面為后面基礎(chǔ)解系的講解做鋪墊，因?yàn)楹竺鏁玫骄€性無關(guān)的向量組增加相同位置分量后還是一個線性無關(guān)的向量組。

做課堂練習(xí)，一方面讓學(xué)生有獨(dú)立思考的時間，幫助學(xué)生吸收理解課堂上所學(xué)的知識，另一方面讓學(xué)生真正會用這些知識，提高和增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心。值得注意的是，老師要起主導(dǎo)作用，一方面要選一些盡可能對后面學(xué)習(xí)有幫助的例子，另一方面不能讓課堂練習(xí)影響教學(xué)進(jìn)度。

三、注重答疑與歸納總結(jié)

1.注重答疑。教師通過批改作業(yè)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并且在課堂上留一定的時間講解作業(yè)中出現(xiàn)的問題及解答學(xué)生的提問。這樣不僅可以幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)中的疑惑問題，進(jìn)一步理解和掌握課堂教學(xué)內(nèi)容，還有助于教師自身發(fā)現(xiàn)教學(xué)過程中存在的問題，及時調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)。所以答疑非常重要，教師一定要注重答疑，并且及時答疑，這樣有助于學(xué)生及時解決問題，與老師的教學(xué)進(jìn)度同步，從而保持學(xué)習(xí)這門課的興趣和信心。

2.學(xué)習(xí)過程中的歸納總結(jié)非常重要。任何課程的學(xué)習(xí)都是溫故而知新的，因此講完一章后，最好加一個本章小結(jié)，給學(xué)生一個本章的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖要求一目了然，精簡明晰，能體現(xiàn)一章的主體結(jié)構(gòu)，對照這個圖表，運(yùn)用發(fā)散性思維啟發(fā)學(xué)生，看他們能想起多少相關(guān)的知識。這有助于學(xué)生從整體上把握這一章的脈絡(luò)，并且在一起回顧相關(guān)內(nèi)容時，引導(dǎo)學(xué)生看他們能想起多少他們做過的與此相關(guān)的習(xí)題。這個歸納總結(jié)的過程不僅有助于學(xué)生做這一章的綜合習(xí)題，更有助于引入下一章的內(nèi)容，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教師在講課過程中應(yīng)該總結(jié)一些相似的或容易混淆的內(nèi)容，將它們列成表格，方便學(xué)生記憶。例如我們講過的一些特殊矩陣，對稱矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，相似矩陣，合同矩陣，正定矩陣等，可以把它們總結(jié)在一張表里，和學(xué)生一起列出它們的定義、性質(zhì)及相關(guān)的典型習(xí)題。又比如最大無關(guān)組，基礎(chǔ)解系，基這三個定義，我們也可以將它們列成一張表，說明基礎(chǔ)解系和基是特殊的向量組的最大無關(guān)組，加深學(xué)生對這些定義的理解。對于一些不同章節(jié)介紹的等價的性質(zhì)，比如矩陣可逆，矩陣的行列式不等于零，矩陣與單位矩陣等價，滿秩矩陣，等等，這些都是等價的性質(zhì)，教師可以列成一張表，同時將不可逆矩陣的類似的一些等價性質(zhì)列在同一張表里，讓學(xué)生一目了然。

教師在講解某些新知識點(diǎn)時，可以補(bǔ)充總結(jié)這個新知識點(diǎn)具有的某些之前章節(jié)的性質(zhì)。例如在相似矩陣這一節(jié)，在講“若矩陣A與B相似，則A與B的特征值相同”這個定理時，我們可以補(bǔ)充結(jié)論：矩陣A與B相似；A與B等價；A與B的秩相同；A與B的行列式相同。做這樣的總結(jié)后，不僅可以加深學(xué)生對矩陣相似這個新知識點(diǎn)的理解，幫助學(xué)生回憶之前學(xué)過的知識點(diǎn)，而且有助于提高學(xué)生分析和解答綜合題的能力。

任何授課方式的探索，目的都只有一個，就是讓學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識并學(xué)以致用。時代在飛速發(fā)展，對人才的要求越來越高，線性代數(shù)是高等院校中理工科和經(jīng)管類等學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)性課程，更是他們學(xué)好本專業(yè)后繼課程的前提，這就要求教師能夠與時俱進(jìn)，多用心多思考，不斷探討適合學(xué)生的授課方法，學(xué)無止境，教學(xué)相長。

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