位場(chǎng)向下延拓的加速Landweber迭代法

朱占龍,楊功流,,楊淑潔

1.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210096;2.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,北京 100191

位場(chǎng)向下延拓的加速Landweber迭代法

朱占龍1,楊功流1,2,楊淑潔2

1.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210096;2.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院,北京 100191

利用航空測(cè)量數(shù)據(jù)向下延拓得到不同高度的位場(chǎng)數(shù)據(jù)可以提高測(cè)量成果的綜合利用率。Landweber迭代法是一種有效解決位場(chǎng)向下延拓的實(shí)用方法。鑒于Landweber迭代法的收斂速度比較慢,提出采用加速Landweber迭代法,推導(dǎo)得到兩種迭代法對(duì)應(yīng)的波數(shù)域算子并通過(guò)仿真分析算子的濾波特性,最后結(jié)合模型實(shí)例驗(yàn)證了所提出的加速Landweber迭代法不僅能有效進(jìn)行位場(chǎng)向下延拓,而且比Landweber迭代法更高效。

位場(chǎng);向下延拓;正則化方法;加速Landweber迭代法;收斂速度

1 引 言

隨著磁傳感器技術(shù)的進(jìn)步[1-2]以及磁力測(cè)量系統(tǒng)的改進(jìn)[3-5],航空磁力測(cè)量已經(jīng)日趨成熟,尤其是在海平面、地表和超低空等測(cè)量條件惡劣的地區(qū),航空磁力測(cè)量更是不可或缺。采用航磁數(shù)據(jù)進(jìn)行不同高度的向下延拓可以彌補(bǔ)條件惡劣地區(qū)磁場(chǎng)資料的不足,因此,深入研究穩(wěn)定的向下延拓方法具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

向下延拓問(wèn)題是一個(gè)將噪聲數(shù)據(jù)放大的過(guò)程,屬于病態(tài)問(wèn)題[6-8]。若采用不合適的延拓方法,將無(wú)法得到穩(wěn)定的解。傳統(tǒng)的向下延拓方法是快速傅里葉變換法,但是利用該方法向下延拓得到的解極其不穩(wěn)定[9-10],可靠的延拓深度一般不會(huì)超過(guò)2～3倍點(diǎn)距[11]。隨著數(shù)學(xué)的研究發(fā)展,許多新理論和方法被成功地應(yīng)用到此類(lèi)病態(tài)問(wèn)題的計(jì)算中來(lái)。文獻(xiàn)[11]采用的迭代法能夠穩(wěn)定向下延拓20倍點(diǎn)距,在一定程度上解決了此類(lèi)問(wèn)題。近些年來(lái),采用正則化方法[12]進(jìn)行向下延拓成為該工程技術(shù)領(lǐng)域的熱點(diǎn),文獻(xiàn)[13]考慮了正則化參數(shù)和地形對(duì)延拓結(jié)果的影響;文獻(xiàn)[14]利用該方法研究了在航空重力測(cè)量數(shù)據(jù)向下延拓問(wèn)題并分析了兩種正則化方法的差異[15],正則化方法中的Landweber迭代法也在一定程度上解決了此類(lèi)問(wèn)題[16]。

以上方法均為向下延拓問(wèn)題的解決提供了一定思路,但是工程化的應(yīng)用需要計(jì)算更快速、效率更高效,因此本文著重研究向下延拓方法的運(yùn)算效率問(wèn)題,提出采用加速Landweber迭代法[17],結(jié)合模型數(shù)據(jù)分析Landweber迭代法和加速Landweber迭代法波數(shù)域算子的濾波特性,展示了加速Landweber迭代法在位場(chǎng)向下延拓中的計(jì)算效率與延拓精度。

2 位場(chǎng)向下延拓原理

如圖1所示,水平面z＝0和z＝h之間是無(wú)源空間,設(shè)z軸向下為正,場(chǎng)源位于z＝h以下(h＞0)。觀測(cè)面為水平面(z＝0),該平面上的位場(chǎng)f(x,0)為已知,計(jì)算觀測(cè)面以下至場(chǎng)源以上平面的位場(chǎng)f(x,h)稱(chēng)為位場(chǎng)的向下延拓。

圖1 向下延拓示意圖Fig.1 Schematic diagram of downward continuation

根據(jù)位場(chǎng)向上延拓公式,得觀測(cè)平面位場(chǎng)f(x,0)與向下延拓位場(chǎng)f(x,h)之間的關(guān)系[18]

觀測(cè)平面上的位場(chǎng)數(shù)據(jù)fδx()往往是帶有高頻噪聲的數(shù)據(jù),當(dāng)位場(chǎng)向下延拓時(shí),由于隨著的增加,延拓算子呈指數(shù)規(guī)律增加,所以求得的g x()將非常不穩(wěn)定,這就是位場(chǎng)向下延拓不穩(wěn)定的本質(zhì)。由此可見(jiàn),當(dāng)高頻噪聲存在時(shí),向下延拓視為一個(gè)不適定問(wèn)題,對(duì)其直接作傅里葉變換以及反變換所得到的結(jié)果,不能作為向下延拓平面位場(chǎng)的穩(wěn)定近似解。

3 位場(chǎng)向下延拓的迭代法及相應(yīng)的波數(shù)域算子

同第一類(lèi)Fredholm積分方程比較,式(2)可以表示為[19]

式中,K為Fredholm算子,對(duì)于形如式(5)的不適定問(wèn)題求解一般采用正則化方法,其中Landweber迭代法是一種廣泛應(yīng)用的方法。

3.1 位場(chǎng)向下延拓迭代法

3.1.1 Landweber迭代法

Landweber迭代法是最速下降法的一種變形,其迭代式如下[20-21]

對(duì)于給定的初值g0x(),迭代式(6)可以展開(kāi)為

繼續(xù)按照式(7)中的步驟展開(kāi)gnx(),式(7)可以改寫(xiě)為下面的級(jí)數(shù)形式

(3)計(jì)算gn(x)＝Tnfδ(x),如果滿足迭代終止;若不滿足,n＝n＋1,轉(zhuǎn)向(2)。其中,C一般為固定常數(shù),它決定了Landweber迭代算法是否具有收斂性[19]。很顯然,在δ確定后,C值越大使得迭代終止條件Cδ越大,則迭代次數(shù)變少,但是相應(yīng)的結(jié)果精度會(huì)降低。

由上述算法可以看出,主要決定算法收斂速度的是第(2)步,在實(shí)際計(jì)算中,可以先對(duì)(2)迭代計(jì)算若干步之后,再進(jìn)行第(3)步判斷終止條件,可以在一定程度上加快計(jì)算速度。

3.1.2 加速Landweber迭代法

通過(guò)對(duì)Landweber迭代法分析可知,如果足夠大n(Tn的下標(biāo))能夠快速計(jì)算出來(lái),則迭代終止條件就能較易得到滿足,從而使得計(jì)算效率提高。為此,對(duì)于Tn的計(jì)算,采用如下迭代形式[23]

從式(14)可以看出,用式(11)計(jì)算n次,相當(dāng)于Landweber迭代法迭代2n－1次,這樣可以使得計(jì)算效率明顯提升。于是,加速Landweber迭代法步驟如下:

3.2 位場(chǎng)向下延拓波數(shù)域算子

3.2.1 Landweber迭代法波數(shù)域算子

由式(9)可得

因此,位場(chǎng)向下延拓的Landweber迭代法對(duì)應(yīng)的波數(shù)域算子為

3.2.2 加速Landweber迭代法波數(shù)域算子

由式(14)和式(10)可得

比較式(17)和式(19)右端部分可以看出,這兩種迭代法的向下延拓算子具有形式上的相似性。

4 數(shù)值試驗(yàn)

假設(shè)在一定深度處分布4個(gè)球體,建立如圖2的坐標(biāo)系:以球1的球心在平面的投影點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O,Y軸指向北方向,X軸垂直于Y軸指向東,Z軸垂直向下,XOY面為水平面。圖2中1—4個(gè)球體球心坐標(biāo)分別為(0,0,－1000)、(2000,2000,－900)、(2000,－2000,－1200)、(－2000,－2000,－1200),選定仿真區(qū)域范圍為X(－4000,4000),Y(－4000,4000),網(wǎng)格間距100 m×100 m,點(diǎn)數(shù)81×81。4個(gè)球體的磁化傾角分別是55°、50°、60°、52°,4個(gè)磁化偏角分別是8°、10°、5°、7°。球體半徑都為250 m,磁化強(qiáng)度200 A/m。

圖2 球體位置坐標(biāo)系Fig.2 Location of spheres coordinates system

4.1 波數(shù)域向下延拓算子濾波特性

設(shè)向下延拓深度h＝500 m(即5倍點(diǎn)距),以向下延拓原始波數(shù)域算子ekxh的頻率響應(yīng)為對(duì)比參考,Landweber迭代法波數(shù)域算子和加速Landweber迭代法波數(shù)域算子的頻率響應(yīng)如圖3所示。圖3中正則化參數(shù)α分別為0.5、0.75、1;圖3(a)、3(b)顯示了Landweber迭代法在n＝5、n＝10時(shí)的頻率響應(yīng);圖3(c)、3(d)顯示了加速Landweber迭代法在n＝5、n＝10時(shí)的頻率響應(yīng)。

由圖3可以看出:①原始波數(shù)域向下延拓算子具有高通濾波特性,而Landweber迭代法和加速Landweber迭代法波數(shù)域向下延拓算子為帶通濾波,所以,在實(shí)際應(yīng)用中,原始波數(shù)域向下延拓算子將放大原始位場(chǎng)中高頻噪聲,而后兩種延拓算子則具有抑制高頻噪聲的作用;②當(dāng)?shù)螖?shù)從5次增加到10次,Landweber迭代法波數(shù)域算子的中頻放大作用變化不明顯,加速Landweber迭代法波數(shù)域算子中頻放大作用得到較大增強(qiáng);③Landweber迭代法和加速Landweber迭代法波數(shù)域算子對(duì)正則化參數(shù)α不敏感,即隨α的改變其頻率響應(yīng)變化較小。

4.2 向下延拓結(jié)果分析

根據(jù)球體磁場(chǎng)公式計(jì)算得到0 m平面的磁異常分布,如圖4所示,圖中顯示了0 m平面磁異常的等值線圖,其中最大值是684.310 9 n T。為比較Landweber迭代法和加速Landweber迭代法的抗噪能力,在0 m高度磁異常數(shù)據(jù)中引入最大值的0.5%的正態(tài)分布隨機(jī)干擾,并以該高度的含噪數(shù)據(jù)為觀測(cè)平面位場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行向下延拓,0 m平面含噪磁異常的等值線圖如圖5所示。為方便起見(jiàn),只圖示y＝0 m剖面(這里稱(chēng)主剖面)的數(shù)據(jù),通過(guò)4.1節(jié)的分析可知,兩種算法對(duì)高頻噪聲具有抑制作用。所以首先判斷噪聲相對(duì)地磁異常數(shù)據(jù)為高頻噪聲才能進(jìn)行向下延拓,為此,對(duì)隨機(jī)干擾以及y＝0剖面的數(shù)據(jù)進(jìn)行譜分析,如圖6所示。圖6(a)為對(duì)主剖面數(shù)據(jù)所加的隨機(jī)干擾曲線,6(b)為理想的主剖面(圖4中y＝0)數(shù)據(jù),圖6(c)為圖6(a)所對(duì)應(yīng)的譜分析,圖6(d)為6(b)所對(duì)應(yīng)的譜分析。在圖6(c)中,不同的頻率對(duì)應(yīng)著一定大小的振幅,而在圖6(d)中只有0～20 Hz范圍內(nèi)有較大振幅對(duì)應(yīng),其余頻率段振幅很小或近乎為零,由6(c)和6(d)對(duì)比可以看出,高斯白噪聲對(duì)于地磁場(chǎng)的這種大尺度、緩慢變化的低頻特性可以看作是小尺度、變化較為劇烈的高頻噪聲,所以可以通過(guò)這兩種迭代算法對(duì)位場(chǎng)進(jìn)行向下延拓。

通過(guò)上述分析,可以對(duì)兩種迭代法的向下延拓能力進(jìn)行仿真。將迭代終止條件中的C設(shè)定為2,用兩種方法將其向下延拓500 m(5倍點(diǎn)距),然后利用得到的延拓值同500 m深度的理論值進(jìn)行誤差計(jì)算,500 m深度理論值如圖7所示。計(jì)算延拓誤差的公式為

圖8為疊加了隨機(jī)干擾噪聲的主剖面數(shù)據(jù),用兩種方法將圖8中的含噪數(shù)據(jù)向下延拓500 m后,兩種方法的延拓結(jié)果如圖9所示。圖9(a)和圖9(b)分別為兩種迭代法延拓值與理論值的對(duì)比,紅線表示理論值,黑線表示延拓值。從圖9(a)和圖9(b)可見(jiàn),兩種迭代方法都能穩(wěn)定有效地進(jìn)行向下延拓,顯示出兩種迭代法優(yōu)秀的抗噪能力,而且在位場(chǎng)的極大值處下延誤差最大。

圖3 Landweber迭代法、加速Landweber迭代法和原始波數(shù)域向下延拓算子濾波特性曲線Fig.3 Filtering characteristic curve of wave number domain downward continuation operator of Landweber iterative method,accelerated Landweber iterative method and original

圖4 觀測(cè)平面磁異常Fig.4 Magnetic anomaly of observation plane

圖5 觀測(cè)平面含噪磁異常Fig.5 Magnetic anomaly of observation plane with noise

圖6 隨機(jī)噪聲、主剖面數(shù)據(jù)與相應(yīng)的譜分析Fig.6 Random noise,potential field data and their spectral analysis respectively

圖7 500 m深度磁異常理論值Fig.7 The theoretical magnetic anomaly

圖8 主剖面含噪聲位場(chǎng)值Fig.8 Potential field value with noise

圖9 延拓值與理論值的比較Fig.9 The comparison of continuation value and theoretical value

下面同樣采取仿真的方法驗(yàn)證加速Landweber迭代法具有更高的計(jì)算效率。選取迭代終止條件中的δ為0 m平面磁異常數(shù)據(jù)最大值的0.5%和0.1%,即δ為3.421 6 n T和δ為0.684 3 n T,分別用兩種迭代方法計(jì)算,得到的結(jié)果如表1和表2所示。

表1 δ＝3.421 6 nT時(shí)兩種迭代法的迭代次數(shù)與誤差Tab.1 Iterative times and error of two methods whenδ＝3.421 6 nT

表2 δ＝0.684 3 nT時(shí)兩種迭代法的迭代次數(shù)與誤差Tab.2 Iterative times and error of two methods whenδ＝0.684 3 nT

從表1和表2計(jì)算結(jié)果可以看出,對(duì)于相同的擾動(dòng),加速landweber迭代法迭代次數(shù)比Landweber迭代法少得多,即收斂速度加快,計(jì)算效率明顯提高,而且在誤差上也滿足要求,充分體現(xiàn)了加速Landweber迭代法的優(yōu)越性。

在上述研究?jī)煞N迭代法向下延拓的抗干擾性以及兩種迭代法的計(jì)算效率中,將迭代終止條件中的C設(shè)定為2,顯示了算法的收斂性。為了顯示C值對(duì)加速效果的影響十分顯著,選取不同的C值,分別采用兩種迭代法進(jìn)行向下延拓,噪聲選取為0 m平面磁異常數(shù)據(jù)最大值的0.4%,即δ為2.737 2 n T得到的結(jié)果如表3所示。

表3 不同C值情形下兩種迭代法的迭代次數(shù)與誤差Tab.3 Iterative times and error of two methods in different value of C

從表3結(jié)果可知,隨著C值的增加會(huì)使得兩種迭代法迭代次數(shù)相應(yīng)變少,但是相應(yīng)的誤差會(huì)隨之增加,使得延拓精度降低。如果在延拓的精度要求不是很高的情形下,可以適當(dāng)考慮增加C值以增快迭代進(jìn)程,反之則相應(yīng)減小C值提高延拓精度。

5 結(jié) 論

Landweber迭代法能夠處理位場(chǎng)向下延拓問(wèn)題,但是緩慢的收斂速度使其廣泛應(yīng)用產(chǎn)生了困難。本文在分析Landweber迭代法的基礎(chǔ)上,提出采用加速Landweber迭代法高效解決位場(chǎng)向下延拓問(wèn)題。推導(dǎo)得到兩種迭代法的波數(shù)域向下延拓算子,詳細(xì)分析了兩種算子的濾波特性,發(fā)現(xiàn)兩種算子都能夠抑制隨機(jī)噪聲。最后給出一則實(shí)例表明加速Landweber迭代法能夠提高計(jì)算速度,而且滿足一定的延拓精度要求,能夠?qū)ζ湓谖粓?chǎng)向下延拓問(wèn)題的廣泛應(yīng)用提供一定參考。

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(責(zé)任編輯:陳品馨)

Accelerated Landweber Iteration Method for the Downward Continuation of Potential Field

ZHU Zhanlong1,YANG Gongliu1,2,YANG Shujie2
1.School of Instrumentation Science and Engineering,Southeast University,Nanjing 210096,China;2.School of Instrumentation Science and Opt-electronics Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics University,Beijing 100191,China

Aeromagnetic data downward continuation to different altitudinal data of field can improve the utilization percent of survey data.Landweber iteration method is an impactful way to ravel out the downward continuation of potential field.In view of the slow convergence speed of Landweber iteration method,an accelerated Landweber iteration method is used.Then,two wave number domain operators of two iteration methods are deduced and the filtering characteristics of operators are analyzed.Finally,the results of the numerical simulations show that the accelerated Landweber iteration method can not only deal with downward continuation of potential field,but also more efficient than Landweber iteration method.

potential field;the downward continuation;regularization method;accelerated Landweber iteration method;convergence speed

ZHU Zhanlong(1984—),male,PhD candidate,majors in geomagnetic data processing.E-mail:zhuzhanlong1984＠163.com

P223

A

1001-1595(2014)05-0458-08

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)(YWF-10-01-B30)

2013-03-14

朱占龍(1984—),男,博士生,研究方向?yàn)榈卮艛?shù)據(jù)處理。

ZHU Zhanlong,YANG Gongliu,YANG Shujie.Accelerated Landweber Iteration Method for the Downward Continuation of Potential Field[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(5):458-465.(朱占龍,楊功流,楊淑潔.位場(chǎng)向下延拓的加速Landweber迭代法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(5):458-465.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0088

修回日期:2013-09-02