地磁異常場(chǎng)的多重分形譜分析及構(gòu)圖法

趙玉新,常 帥,張振興

哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001

地磁異常場(chǎng)的多重分形譜分析及構(gòu)圖法

趙玉新,常 帥,張振興

哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,黑龍江哈爾濱 150001

為深入研究地磁異常場(chǎng)的分布特性,并將其應(yīng)用于地磁基準(zhǔn)圖的構(gòu)建當(dāng)中,選取NOAA(National Oceanic and Atmospheric Administration)發(fā)布的地磁異常場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了多重分形譜分析,證明了地磁異常場(chǎng)具有明顯的多重分形特征。并將多重分形理論與克里金插值方法相結(jié)合,提出逐步插值校正法(SSICM),該方法在用克里金法估計(jì)未知位置點(diǎn)屬性值的同時(shí),利用地磁異常場(chǎng)在小尺度范圍內(nèi)的標(biāo)度不變性對(duì)其進(jìn)行奇異性校正,在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上以網(wǎng)格形式逐級(jí)加密,從而構(gòu)建了基準(zhǔn)圖。試驗(yàn)結(jié)果證明與傳統(tǒng)方法相比,該方法能夠充分刻畫地磁異常場(chǎng)的小尺度奇異特征,更加精確地重構(gòu)真實(shí)地磁異常場(chǎng)。

地磁異常場(chǎng);多重分形譜;標(biāo)度不變性;逐步插值校正法

1 引 言

地磁導(dǎo)航是一種全天時(shí)、全天候、無(wú)積累誤差的無(wú)源自主導(dǎo)航方式。作為一種輔助導(dǎo)航手段,地磁導(dǎo)航在飛行器、船舶等運(yùn)載體的導(dǎo)航過程中發(fā)揮著重要的作用。相對(duì)于隨空間位置變化緩慢的地球主磁場(chǎng),地磁異常場(chǎng)在局部區(qū)域內(nèi)變化復(fù)雜,在小尺度下具備較強(qiáng)的奇異性,它更適合作為地磁導(dǎo)航的參考場(chǎng)。作為一種輔助導(dǎo)航方式,地磁匹配的精度決定了地磁導(dǎo)航的可靠程度,而它又直接依賴于地磁基準(zhǔn)圖的準(zhǔn)確性。但是受成本、時(shí)間等因素的制約,實(shí)際中直接磁場(chǎng)測(cè)量的結(jié)果往往分布范圍小或空間分辨率較低,因而在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上準(zhǔn)確的重構(gòu)區(qū)域地磁異常場(chǎng)成為地磁導(dǎo)航的關(guān)鍵[1-3]。

許多學(xué)者對(duì)構(gòu)建地磁導(dǎo)航基準(zhǔn)圖作了相關(guān)研究:文獻(xiàn)[4]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)未知位置的地磁數(shù)據(jù),由于在模型訓(xùn)練中輸入變量的維數(shù)過低,導(dǎo)致模型的可靠性較差,隨著實(shí)際應(yīng)用中訓(xùn)練樣本的減少,模型的預(yù)測(cè)能力將大大下降;克里金法是一種最優(yōu)、無(wú)偏的地質(zhì)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法,它充分考慮地磁數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性,文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]分別使用普通克里金法和泛克里金法進(jìn)行地磁基準(zhǔn)圖的構(gòu)建;文獻(xiàn)[7]則提出一種支持向量機(jī)-克里金插值算法,采用最小二乘支持向量機(jī)從實(shí)際資料場(chǎng)中擬合重構(gòu)變異函數(shù)。這些方法能夠較好地?cái)M合地磁異常場(chǎng)的整體趨勢(shì),但它們的共同缺陷是無(wú)法對(duì)奇異性較強(qiáng)的局部區(qū)域進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫,這種誤差甚至可達(dá)到數(shù)十n T,嚴(yán)重降低了地磁匹配的可靠性。針對(duì)傳統(tǒng)構(gòu)圖方法在地磁異常變化較強(qiáng)烈區(qū)域的局限性,本文將分形理論引入地磁基準(zhǔn)圖的構(gòu)建當(dāng)中,有效地增強(qiáng)了對(duì)小尺度子集的奇異性刻畫。

分形理論是由Mandelbrot在20世紀(jì)70年代為表征復(fù)雜圖形和復(fù)雜過程首先引入自然科學(xué)領(lǐng)域的,用來(lái)表征圖形的自相似性[8],多重分形理論可以對(duì)復(fù)雜空間變量的多層次結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述[9]。文獻(xiàn)[10]在分析航磁功率譜特征的過程中,表明磁異常具有分形特征;文獻(xiàn)[11]建立了描述航磁數(shù)據(jù)的分形隨機(jī)模型,有效增強(qiáng)了對(duì)地質(zhì)巖性和磁異常的表達(dá);文獻(xiàn)[12]對(duì)我國(guó)南海磁異常進(jìn)行了分形特征分析,進(jìn)而解釋其地質(zhì)結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)[13]通過提出基于標(biāo)準(zhǔn)偏差的自適應(yīng)方法,提高了確定隨機(jī)分形無(wú)標(biāo)度區(qū)間的性能和效率。而這些研究均是對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行整體上的分形特征描述和分析,而如何在不同尺度上對(duì)這種分形特征進(jìn)行定量描述,并應(yīng)用到對(duì)磁異常局部細(xì)節(jié)特征的表達(dá)上,當(dāng)前還鮮有研究。本文首先對(duì)實(shí)測(cè)地磁異常數(shù)據(jù)進(jìn)行了多重分形譜分析,通過確定標(biāo)度不變性尺度范圍,對(duì)分形特征給出多層次定量描述。進(jìn)一步,根據(jù)地磁異常在小尺度范圍內(nèi)的標(biāo)度不變性,將多重分形理論和克里金法相結(jié)合,提出逐步插值校正法制備基準(zhǔn)圖,試驗(yàn)驗(yàn)證該方法能夠完好地刻畫地磁異常場(chǎng)在細(xì)節(jié)上的奇異特征,相對(duì)于克里金法、改進(jìn)謝別德法等傳統(tǒng)方法具有明顯的優(yōu)越性。

2 多重分形譜分析方法

2.1 多重分形譜

多重分形也稱為分形測(cè)度,是定義在分形上的多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的奇異測(cè)度所組成的無(wú)限集合,采用多個(gè)維數(shù)來(lái)描述非均勻復(fù)雜集合體的整體特征。

設(shè)F是d維歐式空間的一個(gè)子集,測(cè)度為μ,把(F,μ)劃分為N個(gè)單元Si,Si的尺度為ri,測(cè)度(概率)為Pi,且∑Pi＝1,對(duì)于其中任一單元可用不同的標(biāo)度指數(shù)αi來(lái)表征,見式(1)

式中,αi又稱為奇異性指數(shù),控制著概率密度的奇異性,它反映了相應(yīng)區(qū)域上概率的大小。

把研究對(duì)象劃分為一系列的子集,使得每一個(gè)子集中的小單元都具有相同的α值,子集內(nèi)的單元數(shù)為Nαr(),它和r具備以下關(guān)系

式中,f(α)的物理意義是表示具有相同α值的子集的分形維數(shù),稱為多重分形譜。

從信息論的角度,定義統(tǒng)計(jì)矩函數(shù)

式中,q∈(－∞,∞)為統(tǒng)計(jì)矩的階,用來(lái)表征多重分形的不均勻程度。當(dāng)q＞0時(shí),主要反映較大概率子集的分形特征;當(dāng)q＜0時(shí),則主要反映較小概率子集的分形特征。對(duì)于給定的階q,τ(q)稱為質(zhì)量指數(shù)函數(shù),它是分形行為的特征函數(shù)。若τ(q)關(guān)于q是一條直線,則研究對(duì)象是單分形的;若τ(q)關(guān)于q是凸函數(shù),則研究對(duì)象有多重分形特征。

定義廣義分形維數(shù)

D(q)是隨不同的q值而有不同的分形維數(shù)。廣義分維和多重分形譜滿足勒讓德變換

2.2 不規(guī)則空間變量分析方法

對(duì)于規(guī)則分形集,可以直接通過統(tǒng)計(jì)物理方法進(jìn)行多重分形譜的分析,但是對(duì)于不規(guī)則分形集,一般都是通過盒計(jì)數(shù)法求出物理量的概率分布,然后借助統(tǒng)計(jì)物理原理進(jìn)行多重分形譜分析[10-11]。

對(duì)于N×N的二維粗糙表面數(shù)據(jù)集,令研究區(qū)域邊長(zhǎng)為1,用邊長(zhǎng)為εε(≤1)的正方形盒子覆蓋整個(gè)區(qū)域,以研究數(shù)據(jù)集的襯底表面為基準(zhǔn),可求得第i(,j)個(gè)小盒子中的概率,如式(8)

式中,hij表示第i(,j)個(gè)盒子內(nèi)的平均高度,通過改變?chǔ)诺娜≈?可得用不同尺度的盒子覆蓋研究數(shù)據(jù)集時(shí)的概率分布,本方法能較好地滿足標(biāo)度不變性。

3 地磁異常場(chǎng)的多重分形譜分析

本文研究的地磁異常場(chǎng)來(lái)自于NOAA發(fā)布的航磁測(cè)量數(shù)據(jù),首先以編號(hào)為4109A的測(cè)量數(shù)據(jù)為例分析地磁異常場(chǎng)的多重分形特征。從中提取257×257個(gè)規(guī)則網(wǎng)格數(shù)據(jù),網(wǎng)格分辨率為0.001°×0.001°,如圖1所示。

圖1 4109A地磁異常數(shù)據(jù)基準(zhǔn)圖Fig.1 The reference map of 4109A geomagnetic anomaly data

分別取盒子的邊長(zhǎng)r為1、2、4、8、16、32、64、128、256倍的單元網(wǎng)格邊長(zhǎng),令研究區(qū)域的總邊長(zhǎng)為1,則對(duì)應(yīng)的小盒子的邊長(zhǎng)分別為1/r。用以上邊長(zhǎng)的盒子覆蓋數(shù)據(jù)集,根據(jù)式(8)計(jì)算每個(gè)盒子的概率,進(jìn)而由式(5)可求得不同尺度的盒子覆蓋數(shù)據(jù)集時(shí)的統(tǒng)計(jì)矩函數(shù)值,設(shè)定q的取值范圍為[－50,50],繪制部分q值對(duì)應(yīng)的lnχqr()—ln r曲線如圖2所示。

圖2 lnχqr()—ln r曲線Fig.2 Curves vary from lnχqr()to ln r

當(dāng)q＞0時(shí),lnχqr()和ln r呈現(xiàn)較強(qiáng)的線性特征,說(shuō)明所研究數(shù)據(jù)集中的普通子集和大概率子集在全尺度范圍內(nèi)具有良好的標(biāo)度不變性; q＜0時(shí),lnχqr()和ln r線性特征依然明顯,但在尺度為1/32處出現(xiàn)一定的轉(zhuǎn)折,在[1/32,1]和[1/256,1/32]尺度范圍內(nèi)(即圖中虛線兩側(cè)), lnχqr()與ln r均具有良好的線性關(guān)系,這是因?yàn)槌叨鹊臏p小凸顯了局部區(qū)域小概率子集的特征,大尺度范圍的標(biāo)度不變性體現(xiàn)的是地磁異常場(chǎng)作為一種復(fù)雜空間變量在整體上的自相似特征,而小尺度范圍內(nèi)的分形特征需要在局部區(qū)域內(nèi)進(jìn)行分析。

在[1/32,1]尺度范圍內(nèi),繪制τ(q)—q曲線如圖3(a),曲線呈上凸形態(tài),說(shuō)明數(shù)據(jù)集具備多重分形特征。進(jìn)一步求取不同q值對(duì)應(yīng)的廣義分形維數(shù)D(q)、奇異系數(shù)α(q),以及分形維數(shù)f(α),并繪制D(q)—q、α(q)—q以及多重分形譜f(α)—α曲線分別如圖3(b)、(c)、(d)所示。

圖3 多重分形譜分析圖Fig.3 Multifractal spectrum analysis figure

同樣對(duì)4109B、5041、5042、4052區(qū)域地磁異常數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,q取值范圍及分析結(jié)果如表1所示。當(dāng)q在不同取值時(shí),計(jì)算lnχqr()、ln r在不同尺度范圍內(nèi)的相關(guān)系數(shù),如表2所示。

表1 不同區(qū)域地磁異常數(shù)據(jù)多重分形譜分析結(jié)果Tab.1 Multifractal analysis results of geomagnetic anomaly data in different areas

表2 地磁異常數(shù)據(jù)不同尺度范圍分形特征Tab.2 Fractal characteristics in different scale range of geomagnetic anomaly data

表1中,譜寬度由最大和最小奇異系數(shù)計(jì)算確定。譜寬度越大,說(shuō)明相應(yīng)數(shù)據(jù)集的分形子集奇異性越強(qiáng);越小則說(shuō)明數(shù)據(jù)集在整體上分布均勻,奇異性較弱。最大分維都為2,是因?yàn)樗芯康臄?shù)據(jù)集分布完全均勻,即在分析過程中,每個(gè)盒子均有概率分布;最小分維一般由奇異性較強(qiáng)的分形子集確定,分維越小,表明相應(yīng)分形子集往往呈局域性分布且不均勻。

表2中,擬合斜率轉(zhuǎn)折點(diǎn)同表1中標(biāo)度不變性尺度范圍相對(duì)應(yīng),對(duì)于大部分地磁異常數(shù)據(jù)集, lnχqr()、ln r的擬合斜率具有比較明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn),且在轉(zhuǎn)折點(diǎn)前后均保持較強(qiáng)的線性關(guān)系,說(shuō)明地磁異常數(shù)據(jù)集在局部上同樣具有明顯的分形特征。

在4109A數(shù)據(jù)集中選擇5塊尺度為1/32(即8個(gè)單元網(wǎng)格邊長(zhǎng))的正方形區(qū)域,在每塊區(qū)域中建立尺度1/32、1/64、1/128、1/256且平行嵌套的正方形簇,根據(jù)式(9)計(jì)算正方形內(nèi)測(cè)度

式中,Ml為尺度l的正方形內(nèi)的測(cè)度;Ni為正方形內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù);hj是第j個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的屬性值。每個(gè)正方形的測(cè)度、尺度滿足式(10)

式中,b為常數(shù),α為該鄰域內(nèi)的奇異系數(shù)。計(jì)算5塊區(qū)域中正方形簇的測(cè)度、尺度序列,并對(duì)其對(duì)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析,見表3?？芍?測(cè)度、尺度對(duì)數(shù)具備極強(qiáng)的線性相關(guān)性,說(shuō)明地磁異常場(chǎng)在較小尺度的局部區(qū)域內(nèi)具備明顯的單一分形特征,線性擬合斜率即為相應(yīng)區(qū)域的奇異指數(shù)。

表3 局部區(qū)域分形特征分析Tab.3 Fractal characteristics of local areas

4 基于多重分形理論的基準(zhǔn)圖構(gòu)建試驗(yàn)與分析

多重分形理論可以準(zhǔn)確地描述地磁異常場(chǎng)在小尺度范圍內(nèi)的奇異性,而克里金法在低頻段可以對(duì)未知點(diǎn)屬性值進(jìn)行準(zhǔn)確地估計(jì)。本文提出逐步插值校正法,將多重分形理論和克里金法相結(jié)合,對(duì)未知位置進(jìn)行插值和校正,逐步進(jìn)行基準(zhǔn)圖的構(gòu)建。

考慮到利用本方法在實(shí)際構(gòu)圖應(yīng)用時(shí),研究區(qū)域地磁異常場(chǎng)分形特征的不確定性,試驗(yàn)過程要遵循以下原則:

(1)所選尺度范圍不宜過大,一般取3～4個(gè)尺度量級(jí),盡量保證尺度范圍內(nèi)lnχqr()、ln r良好的線性特征。

(2)若待校正位置鄰域內(nèi)的測(cè)度、尺度對(duì)數(shù)序列相關(guān)性在某點(diǎn)處出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折,則將該點(diǎn)對(duì)應(yīng)尺度作為線性擬合尺度范圍上限。

(3)采用克里金法估計(jì)未知點(diǎn)屬性值時(shí),搜索半徑不超過插值參考數(shù)據(jù)最小間距的4～5倍。

以編號(hào)4109A的257×257標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn),分別從中提取33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為構(gòu)圖參考數(shù)據(jù),采用逐步插值校正法對(duì)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu),具體如下。

4.1 構(gòu)圖數(shù)據(jù)的分形特征分析

利用多重分形理論對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行奇異性校正,要求數(shù)據(jù)集必須滿足多重分形特征。對(duì)33× 33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行多重分形譜分析,繪制lnχq(r)—ln r線,如圖4所示。

圖4 構(gòu)圖數(shù)據(jù)lnχqr()—ln r曲線圖Fig.4 lnχqr()—ln r curve of reference data

4.2 逐步插值校正法構(gòu)圖試驗(yàn)

選取33×33數(shù)據(jù)中部分區(qū)域如圖5中符號(hào)“?”所示,具體步驟如下。

圖5 試驗(yàn)過程數(shù)據(jù)分布示意圖(“?”為原始參考數(shù)據(jù),“o”和“·”分別為參考數(shù)據(jù)的網(wǎng)格中心和網(wǎng)格邊界中心)Fig.5 Data distribution sketch map in experimental process

步驟1:求取“o”位置的奇異系數(shù)。設(shè)構(gòu)圖參考數(shù)據(jù)網(wǎng)格邊長(zhǎng)為L(zhǎng),則以某一“o”點(diǎn)為中心,建立邊長(zhǎng)分別為L(zhǎng)/2、L、3L、5L、7L且互相平行的正方形簇,利用式(9)計(jì)算后四者內(nèi)的測(cè)度,根據(jù)式(10)和原則(2),對(duì)這4個(gè)正方形的測(cè)度、尺度對(duì)數(shù)進(jìn)行線性擬合,擬合斜率即為待求α,該α滿足邊長(zhǎng)L/2正方形的測(cè)度—尺度關(guān)系。

步驟2:對(duì)“o”位置進(jìn)行插值并校正。對(duì)“o”位置進(jìn)行克里金插值估計(jì),設(shè)結(jié)果為Z0,將插值參考區(qū)域轉(zhuǎn)化為等面積、邊長(zhǎng)為k·(L/2)的正方形,Z0為該正方形內(nèi)平均測(cè)度。將該位置真實(shí)值Z′作為邊長(zhǎng)L/2正方形內(nèi)平均測(cè)度。上述兩個(gè)正方形同時(shí)滿足式(10)的測(cè)度、尺度關(guān)系,推算可得

此式即為對(duì)插值結(jié)果的奇異性修正方法。

步驟3:通過步驟1、步驟2可首先完成對(duì)圖5中所有“o”位置的插值和校正。進(jìn)一步,按相同方法對(duì)所有“·”位置進(jìn)行相同操作,從而可得65×65的準(zhǔn)確網(wǎng)格數(shù)據(jù)。

步驟4:在此基礎(chǔ)上,重復(fù)兩次步驟1—4的試驗(yàn)過程,得到和原始數(shù)據(jù)相同分布的257×257數(shù)據(jù)集,即完成了對(duì)基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集的重構(gòu)。

同樣,將從基準(zhǔn)數(shù)據(jù)中提取的65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為構(gòu)圖參考數(shù)據(jù),并進(jìn)行重構(gòu)試驗(yàn)。此外,試驗(yàn)過程中,采用鏡像對(duì)稱補(bǔ)償方法對(duì)邊界進(jìn)行補(bǔ)償,降低邊界效應(yīng)對(duì)構(gòu)圖結(jié)果的影響。

4.3 構(gòu)圖結(jié)果評(píng)價(jià)與分析

4.3.1 構(gòu)圖結(jié)果評(píng)價(jià)

將33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為參考數(shù)據(jù)或訓(xùn)練樣本,分別使用克里金法、改進(jìn)謝別德法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)257×257數(shù)據(jù)進(jìn)行插值或預(yù)測(cè)重構(gòu),將重構(gòu)結(jié)果和基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集以及4.2中分別以33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)重構(gòu)的數(shù)據(jù)集在同一剖線上進(jìn)行對(duì)比,分別如圖6(a)、圖6(b)所示。

圖6 不同數(shù)據(jù)集剖線對(duì)比圖Fig.6 Curves comparison of different datasets

從兩方面對(duì)構(gòu)圖結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià):

(1)通過圖6(a)、圖6(b)可以看出,相比單純使用克里金法,本文方法能夠更好地逼近基準(zhǔn)數(shù)據(jù),尤其在奇異性較強(qiáng)的局部細(xì)節(jié)上,這種優(yōu)勢(shì)尤其明顯;相比改進(jìn)謝別德法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法這些優(yōu)異的傳統(tǒng)插值方法或預(yù)測(cè)算法同樣有著明顯的優(yōu)勢(shì),以上各方法的重構(gòu)精度對(duì)比見表4。

(2)通過圖6和表4可以看出,由65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)重構(gòu)的數(shù)據(jù)集相比33×33網(wǎng)格數(shù)據(jù)在精度上有明顯提升,在細(xì)節(jié)上可以更好地逼近真實(shí)數(shù)據(jù)特征。觀察圖4(b)可知,lnχqr()、ln r擬合斜率在尺度1/32處有一定的轉(zhuǎn)折,說(shuō)明65×65數(shù)據(jù)集中包含了更多的局部細(xì)節(jié)信息,尤其是強(qiáng)奇異性子集信息,它不僅使克里金法的估計(jì)更準(zhǔn)確,同時(shí)可以更精確地描述每個(gè)位置的奇異特征。

4.3.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

本文方法可以有效地提高克里金法構(gòu)建地磁基準(zhǔn)圖的精度,并且相比其他傳統(tǒng)方法具有明顯的優(yōu)勢(shì),但仍有一定的誤差,主要原因有以下3點(diǎn):

(1)克里金法的估計(jì)誤差?？死锝鸱ㄗ鳛楸疚姆椒ǖ幕A(chǔ)組成部分,使用范圍較廣,且能比較有效地降低估計(jì)誤差,但無(wú)法完全消除,同時(shí)有著低通濾波性等缺點(diǎn)。

表4 不同區(qū)域構(gòu)圖精度對(duì)比Tab.4 Mapping precision of different areas

續(xù)表4

(2)邊界效應(yīng)的影響。一是在對(duì)邊界附近位置進(jìn)行克里金插值時(shí),搜索區(qū)域會(huì)延伸到研究區(qū)域之外,導(dǎo)致參考點(diǎn)缺失現(xiàn)象;二是以邊界附近位置點(diǎn)為中心建立正方形簇時(shí),正方形同樣會(huì)延伸到研究區(qū)域之外,從而對(duì)正方形的測(cè)度估計(jì)帶來(lái)誤差,雖然采用鏡像對(duì)稱補(bǔ)償方法進(jìn)行了邊界補(bǔ)償,并將這種誤差降低了20%～40%,但很難完全消除。

(3)強(qiáng)奇異性分形子集的丟失。當(dāng)構(gòu)圖數(shù)據(jù)過于稀疏時(shí),極有可能導(dǎo)致一些奇異性較強(qiáng)且分布比較集中的分形子集的丟失,體現(xiàn)在多重分形譜上就是譜寬度的降低。以試驗(yàn)分析的4109A數(shù)據(jù)為例,基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集譜寬度為0.943 2,而從中提取的33×33和65×65網(wǎng)格數(shù)據(jù)的分形譜寬度分別為0.382 5和0.578 4,從而對(duì)于基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集中某些奇異性較強(qiáng)的分形子集,無(wú)法做到完全的奇異性校正。當(dāng)構(gòu)圖數(shù)據(jù)的分辨率大于0.01°時(shí),本文方法的優(yōu)勢(shì)將很難得到體現(xiàn),但是由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均在本文方法適用范圍之內(nèi),因此本文方法具有良好的實(shí)用價(jià)值。

顯然,本文方法的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在地磁異常變化比較明顯,即適合進(jìn)行地磁匹配的研究區(qū)域,在地磁異常變化平緩區(qū)域,意義比較有限。此外,相比傳統(tǒng)方法,本文方法帶來(lái)了更多的計(jì)算量,相比于單純使用克里金法,計(jì)算量增加了一倍。

5 結(jié) 論

地磁異常場(chǎng)的分布受不同區(qū)域地質(zhì)結(jié)構(gòu)的差異性及人為因素的影響,不僅水平梯度變化大,而且這種梯度變化很不一致。通過對(duì)5塊區(qū)域的航磁測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行多重分形特征分析,在不同尺度范圍內(nèi)對(duì)其標(biāo)度不變性進(jìn)行了定量地闡釋。在大尺度范圍內(nèi)體現(xiàn)的是地磁異常場(chǎng)作為復(fù)雜空間變量的整體分布特征,而在小尺度范圍內(nèi)體現(xiàn)的是地磁異常場(chǎng)在局部范圍內(nèi)的簡(jiǎn)單分形特征,通過在特定范圍內(nèi)進(jìn)行分析,可以很好地刻畫地磁異常場(chǎng)的局部奇異性。

在分析地磁異常場(chǎng)多重分形特征的基礎(chǔ)上,將多重分形理論和克里金法相結(jié)合,提出逐步插值校正法。試驗(yàn)證明相比克里金法、改進(jìn)謝別德法等優(yōu)異的傳統(tǒng)插值或預(yù)測(cè)方法,本文方法能夠更精確地進(jìn)行基準(zhǔn)圖的構(gòu)建,尤其在對(duì)局部奇異特征的刻畫上,具有很強(qiáng)的優(yōu)越性,當(dāng)參考數(shù)據(jù)中包含細(xì)節(jié)信息較豐富時(shí),可以最大程度地保證奇異性校正的充分性和準(zhǔn)確性。經(jīng)匹配仿真研究證明,采用本文方法構(gòu)建的基準(zhǔn)圖,可以將地磁匹配的精度提高10%～20%,且對(duì)于大多數(shù)地磁異常場(chǎng),可穩(wěn)定在百米之內(nèi)。本文方法可以很好地應(yīng)用于地磁測(cè)量數(shù)據(jù)不嚴(yán)格均勻分布的情況,有效提高對(duì)局部奇異性的刻畫,作為地磁測(cè)量的完好補(bǔ)充,為實(shí)現(xiàn)精確的地磁導(dǎo)航提供支撐。

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(責(zé)任編輯:陳品馨)

Multifractal Spectrum Analysis and Mapping Method of Geomagnetic Anomaly Field

ZHAO Yuxin,CHANG Shuai,ZHANG Zhenxing
College of Automation,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

To make a deep study on the distributing characteristics of geomagnetic anomaly field and apply it to the building of geomagnetic reference map,selecting several group of geomagnetic anomaly field data published by NOAA(National Oceanic and Atmospheric Administration),and make a multifractal spectrum analysis based on them,it proves that geomagnetic anomaly field has apparent multifractal characteristics.Combining multifractal theory with Kriging method,putting forward the step-by-step interpolation and correction method(SSICM),for a unknown position,this method firstly estimates its property value with Kriging interpolation method,then conducts singularity correction according to scale invariance in small scale range of geomagnetic anomaly field,thereby building reference map in gridding format stepwise.Experimental result proves that compared with the traditional methods,SSICM could portray small scale singular characteristics more exactly and reconstruct geomagnetic anomaly field more precisely.

geomagnetic anomaly field;multifractal spectrum;scale invariance;SSICM

ZHAO Yuxin(1980—),male,PhD, associate professor,PhD supervisor,majors in ship navigation and marine equipment.

P223.6

A

1001-1595(2014)05-0529-08

國(guó)家自然科學(xué)基金(51379049);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金(HEUCF110419;HEUCFX41302)

2013-01-21

趙玉新(1980—),男,博士,副教授,博士生導(dǎo)師,主要從事船舶導(dǎo)航及海洋裝備領(lǐng)域研究。

E-mail:zhaoyuxin＠hrbeu.edu.cn

ZHAO Yuxin,CHANG Shuai,ZHANG Zhenxing.Multifractal Spectrum Analysis and Mapping Method of Geomagnetic Anomaly Field[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(5):529-536.(趙玉新,常帥,張振興.地磁異常場(chǎng)的多重分形譜分析及構(gòu)圖法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),2014,43(5):529-536.)

10.13485/j.cnki.11-2089.2014.0072

修回日期:2013-12-27