等變?chǔ)切问秸齽t性的新證明

李 琦

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧錦州121013）

等變?chǔ)切问秸齽t性的新證明

李 琦

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧錦州121013）

將等變?chǔ)切问降亩x推廣至較一般的緊纖維叢沿纖維方向Clifford代數(shù)叢的自伴Clifford模上，給出了一個(gè)關(guān)于其正則性的新證明.由于將原有定義中纖維奇數(shù)的條件推廣至任意維數(shù)，因而得到更一般的結(jié)果.

等變?chǔ)切问剑徽齽t性；等變指標(biāo)定理

1989年，關(guān)于纖維附帶Spin結(jié)構(gòu)的緊纖維叢，在沿纖維方向的狄拉克算子可逆的條件下，J－M.Bismut與J.Cheeger定義了一個(gè)底空間上的微分形式?η，并稱之為η形式［1］.在纖維為偶數(shù)維的條件下，η形式可以看做此纖維叢族指標(biāo)的某個(gè)超度.在文獻(xiàn)［2］中，戴先哲教授去掉了定義中沿纖維方向的狄拉克算子可逆的條件.緊接著，N.Berline等人將Spin條件推廣到沿纖維方向Clifford代數(shù)叢的自伴Clifford模上，并對(duì)纖維叢族指標(biāo)的超度進(jìn)行了研究［3］.最近王勇教授對(duì)沿Spin奇數(shù)維纖維有緊李群作用的緊纖維叢定義了等變?chǔ)切问?，并證明了其正則性［4］.本文的目的即在于沿著文獻(xiàn)［3］的思想，將等變?chǔ)切问降亩x推廣至較一般的緊纖維叢，并給出了一個(gè)關(guān)于其正則性的新證明.

1 等變?chǔ)切问?/h2>

設(shè)π：M→B是一個(gè)底空間為緊流形B，纖維為緊流形X的纖維叢，（TX，ɡM／B）為其相對(duì)切叢，（ε，ɡε）為相對(duì)于Clifford代數(shù)叢c（T X）的自伴Clifford模，PTX為從TM到TX的正交投影.設(shè)THM為TX在TM中的補(bǔ)子叢.記｛fp，fq，fr，…｝，｛ei，ej，ek，…｝與｛ea，eb，ec，…｝分別為TB，TX與TM的局部正交基，則｛，…｝為THM的局部正交基.設(shè)TM，TB分別為（M，ɡTM）與（B，ɡTB）上的Levicivita聯(lián)絡(luò)，則ΔTX＝PTXΔTMPTX為TX上的聯(lián)絡(luò)，S＝ΔTM－π＊ΔTB⊕ΔTX為第二基本形式.設(shè)ε為ε上保度量的Clifford聯(lián)絡(luò).我們?cè)赥M上定義退化的Clifford代數(shù)叢m（TM）如下：

其中fp，H與ei分別為fHp與ei的對(duì)偶.由以上記號(hào)，作用在Γ（M，π＊Λ＊T＊B?ε）上的Bismut超聯(lián)絡(luò)可記為

記

假設(shè)存在緊李群G作用在M上，并保持纖維不變且此群作用可提升至叢ε上，與聯(lián)絡(luò)Δε可換.不失一般性，我們假設(shè)G等距作用在M上.

定義Treven為B上所有偶形式的跡［4］，那么對(duì)于任意維數(shù)的纖維，記n＝dimX，我們可以定義

其中Trs為超跡，而且α∈Ωp（B）.

設(shè)DX為沿纖維方向的狄拉克算子，本文假設(shè)ker DX為B上的向量叢.

定義1 對(duì)于任意ɡ∈G，假設(shè)ker DX為B上的向量叢，我們定義等變?chǔ)切问綖锽上的微分形式

注記 當(dāng)纖維為奇數(shù)維Spin流形，且ε為纖維的Spinor時(shí)，定義與文獻(xiàn)［4］一致.

需要注意的是，上述積分在t→0與t→＋∞時(shí)的收斂性并不顯然.也就是說到目前為止，此定義是否為良好定義仍有待商榷.本文即對(duì)此積分的收斂性（正則性）加以證明，從而指出其為合理定義.

在實(shí)際應(yīng)用中，最常見的非Spin結(jié)構(gòu)的自伴Clifford模結(jié)構(gòu)即為Spinc結(jié)構(gòu).此時(shí)Spinc結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的Spinor即為一個(gè)自伴Clifford模.鑒于任意復(fù)向量叢與近復(fù)流形均具有Spinc結(jié)構(gòu)，故本文的推廣更具一般性.

2 等變?chǔ)切问降恼齽t性

對(duì)于定義1中的積分項(xiàng)，當(dāng)t→＋∞時(shí)，

參見文獻(xiàn)［3］定理9.23，故只需對(duì)積分項(xiàng)在t→0處的正則性進(jìn)行研究.

定理1 當(dāng)t→0時(shí)，

證明 設(shè)R＋＝（0，＋∞），考慮一個(gè)新的纖維叢?π：?M＝M×R＋→?B＝B×R＋，纖維?X＝X.設(shè)新纖維叢相對(duì)切叢的度量為ɡ?M／?B＝s－1ɡM／B，新聯(lián)絡(luò)為原聯(lián)絡(luò)與R＋方向平凡聯(lián)絡(luò)的組合，新Clifford模為?ε＝ε×R＋，Clifford聯(lián)絡(luò)為Δ?ε＝Δε＋dR＋.由文獻(xiàn)［3］的引理10.33可知，新纖維叢上的Bismut超聯(lián)絡(luò)為

因此

對(duì)?A應(yīng)用局部族指標(biāo)定理，因?yàn)楱琅cAs可交換，可知當(dāng)t→0時(shí)，根據(jù)Duhamel原理，

令s＝1，則

設(shè)?Xɡ為?X關(guān)于ɡ的不動(dòng)點(diǎn)集，定義

其中a∈Γ（?M，Endc（T＊?X）?ε）.由等變族指標(biāo)定理（纖維偶數(shù)維時(shí)參見文獻(xiàn)［5］的定理1.3，奇數(shù)維時(shí)應(yīng)用文獻(xiàn)［6］的定理2.10技巧化為偶數(shù)維），有

與ds無關(guān)，故α0＝0.定理得證.

在無緊李群作用時(shí)，本文研究的η形式出現(xiàn)在最新數(shù)學(xué)領(lǐng)域微分K理論中，作為微分K群等價(jià)關(guān)系的一部分，在微分K理論的幾何模型中起到了關(guān)鍵的作用，并可以用來描述理論物理交換場論中場的量子奇異性.從此角度分析，由物理學(xué)中的對(duì)稱性出發(fā)，帶緊李群作用的微分K理論將會(huì)在交換場論中有更深刻的應(yīng)用，而我們給出的等變?chǔ)切问降牧己枚x，將是研究等變微分K理論幾何構(gòu)造的第一步.另一方面，η形式在某種程度上可以看做Arakelov幾何中全純解析撓率的實(shí)域?qū)?yīng).等變?chǔ)切问窖芯康纳钊氡貙?duì)等變?nèi)兘馕鰮下实难芯慨a(chǎn)生影響，并且能夠加深對(duì)算術(shù)代數(shù)幾何中算術(shù)黎曼洛赫定理的理解.

致謝：東北師范大學(xué)王勇教授對(duì)本文給予了幫助，在此表示衷心感謝！

［1］ BISMUT J－M，CHEEGER J.Eta invariants and their adiabatic limits［J］.J Amer Math Soc，1989，2（1）：33－70.

［2］ DAI X.Adiabatic imits，nonmultiplicativity of signature，and Leray spectral sequence［J］.J Amer Math Soc，1991，4（2）：265－321.

［3］ BERLINE N，GETZLER E，VERGNE M.Heat kernels and Dirac operators［M］.Berlin：Springer－Verlag，2004：1－368.

［4］ WANG Y.A note on equivariant eta forms［J／OL］.www.Arxiv.org.Arxiv：110.5013.

［5］ LIU K，MA X.On family rigidity theorems［J］.Duke Math J，2000，102（3）：451－474.

［6］ BISMUT J－M，F(xiàn)REED D.The analysis of elliptic familiesⅡdirac operators，eta invariants，and the holonomy theorem［J］.Comm Math Phys，1986，107（1）：103－163.

A new proof of the regularity of equivariant eta form

LI Qi
（School of Mathematics and Physics，Bohai University，Jinzhou 121013，China）

The author extends the definition of the equivariant eta form to the more general case and gives a new proof of the regularity.In this new definition，the author removes the condition odd dimensional fiber in the reference.

equivariant eta form；regularity；equivariant index theorem

O 186.16 ［學(xué)科代碼］ 110·27

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0022－03

10.11672／dbsdzk2014－02－005

2013－11－02

霍英東教育基金資助項(xiàng)目（121003）.

李琦（1963—），女，副教授，主要從事微分幾何、代數(shù)研究.