偏差依賴于未知函數(shù)的高階泛函微分方程的振動(dòng)定理

林丹玲

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東潮州521041）

偏差依賴于未知函數(shù)的高階泛函微分方程的振動(dòng)定理

林丹玲

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東潮州521041）

考慮高階泛函微分方程

建立其一切有界解振動(dòng)的充分條件，推廣和改進(jìn)了已有工作中的相應(yīng)結(jié)果，其中n≥2，偏差變?cè)（j＝1，2，…，k）依賴于獨(dú)立變量t和未知函數(shù)x.

高階微分方程；時(shí)滯依賴未知函數(shù)；有界解；振動(dòng)

1 預(yù)備知識(shí)

考慮時(shí)滯依賴于未知函數(shù)的高階泛函微分方程

其中偏差變?cè)（j＝1，2，…，k）依賴于獨(dú)立變量t和未知函數(shù)x.假設(shè)下列條件對(duì)j＝1，2，…，k成立：（A1）qj（t）∈C（［t0，∞），R＋），t0＞0，R＋＝［0，∞），且存在j0∈｛1，2，…，k｝，使得qj0（t）＞0，t≥t0；（A2）Δj［t，u］∈C（［t0，∞）×R，R），且對(duì)于每一固定的滿足｜u｜≤D（D為正常數(shù)）的u，有Δj［t，u］＜t，且

（A3）Δj［t，u1］≤Δj［t，u2］，當(dāng)u1≤u2＜0時(shí)；Δj［t，u1］≥Δj［t，u2］，當(dāng)0＜u1≤u2時(shí)；且Δj［t1，u］≤Δj［t2，u］，當(dāng)0≤t1≤t2時(shí).

定義1［1］實(shí)值函數(shù)φ（t）稱為方程（1）的解，如果它在［t0，∞）上定義，有n階導(dǎo)數(shù)并且滿足下列條件：

其中ψm（t）是定義在初始集合

上的函數(shù).本文考慮方程（1）的解集

我們假設(shè)函數(shù)qj（t）和Δj［t，u］使得方程（1）存在屬于S的解.

定義2 方程（1）的解稱為振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn)；否則稱它為非振動(dòng)的.

近年來(lái)泛函微分方程解的振動(dòng)性研究取得了豐碩成果［1－6］，但其中大多數(shù)結(jié)果對(duì)偏差變?cè)獌H依賴于時(shí)間t.我們注意到偏差變?cè)瑫r(shí)依賴于狀態(tài)x（t）和時(shí)間t的方程在理論上和實(shí)際應(yīng)用中有重要意義.然而目前文獻(xiàn)中此類方程的振動(dòng)結(jié)果還不很多［7－14］，已有工作中主要是關(guān)于一階和二階方程解的振動(dòng)性和漸近性的研究，而對(duì)一般高階方程的振動(dòng)定理尚未見到.本文的目的是給出高階方程（1）的一切有界解的振動(dòng)定理.

當(dāng)方程（1）中偏差變?cè)（j＝1，2，…，k）不依賴x（t）時(shí)，有如下重要特例：

G.Ladas等人在文獻(xiàn)［15］中證明了當(dāng)k＝1時(shí)，方程（E1）的一切有界解振動(dòng)的必要充分條件是

文獻(xiàn)［3］給出，若n為奇數(shù)，q（t）＞0且g（t）≤t非減，則方程（E2）的每一解振動(dòng)的充分條件是

最近，文獻(xiàn)［16］證明了，若n為奇數(shù)，qj（t）＞0且Tj（t）＞0，j＝1，2，…，k，則方程（E3）的每一解振動(dòng)的充分條件是

本文得到的結(jié)果不僅適用于n為奇數(shù)，而且也適用于n為偶數(shù)，因此，它部分地推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［3，15－16］中的有關(guān)結(jié)果.

2 主要結(jié)果

為證明本文的定理，我們需要下面兩個(gè)引理.

引理1［3］設(shè)y（t）是R＋上的n次可微函數(shù)且具有常號(hào)，?t≥0，使得y（n）（t）≠0，在［t1，∞）上滿足y（n）（t）y（t）≤0，則：

（?。┐嬖趖2≥t1，使得函數(shù)y（j）（t）（j＝1，2，…，n－1）在區(qū)間［t2，∞）上常號(hào).

（ⅱ）存在整數(shù)l，0≤l≤n－1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，l為奇數(shù)；當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，l為偶數(shù).使得

引理2［3］設(shè)y，y′，…，y（n－1）在區(qū)間（t0，∞）上絕對(duì)連續(xù)且常號(hào)，若y（n）（t）y（t）≥0，則下列結(jié)論之一成立：

（?。﹜（t）y（j）（t）≥0，j＝0，1，…，n.

（ⅱ）存在整數(shù)l，0≤l≤n－2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，l為偶數(shù)；當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，l為奇數(shù).使得

本文主要結(jié)果為下述定理.

定理1 設(shè)條件（A1），（A2）和（A3）成立.若對(duì)每一固定的u（｜u｜≤D），有

證明 設(shè)方程（1）存在有界非振動(dòng)解x（t），不失一般性，不妨設(shè)x（t）＞0，t≥t1≥t0.由條件（A2）和（A3），存在t2≥t1，使得

方程（1）可寫為

注意到條件（A1），（A3），（3）式和x（t）＞0，我們有

因此，存在t3≥t2，使得當(dāng)t≥t3時(shí)，x（j）（t）定號(hào)，j＝0，1，…，n－1.

先令n為偶數(shù)，則x（n）（t）＞0.故由引理2，存在t4≥t3和偶數(shù)l使得（C3）和（C4）式對(duì)t≥t4成立.

首先，設(shè)l≥2，則x″（t）＞0，t≥t4.故x′（t）單調(diào)非減.又因x′（t）＞0，此與x（t）的有界性矛盾.因此，l＝0，故有

對(duì)任意u和v（u≤v）應(yīng)用Taylor公式，注意到（6）式，我們得到

從條件（A2），（A3）和（7）式可以看出，存在t5≥t4，使得對(duì)于t≥s≥t5，有

用qj（s）乘（8）式，并對(duì)j從1到k求和，注意到條件（A3），得到

利用（4）和（9）式，并注意到n為偶數(shù)，有

從Δ＊［t，x（t）］到t關(guān)于s對(duì)（10）式積分，得

由不等式（5）知，x（n－1）（t）非減.注意到Δ＊［t，x（t）］的定義，得到

因此，我們有

考慮到條件（A3）和表達(dá)式（Δj［t，x（t）］－Δj［s，x（s）］）n－1中解出x（t）是正的，我們得到如下估計(jì)：

利用條件（2）和（13），有

在（14）式中因x（t）非減，并滿足條件（A3），可重寫為

上式等價(jià)于

在（6）式中令j＝n－1，得到

注意到（15）和（16）式，由（12）式產(chǎn)生

（17）式與（6）式矛盾.因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，方程（1）的每一有界解振動(dòng).

其次，設(shè)n為奇數(shù)，則由方程（1）我們得到x（n）（t）＜0.故由引理1，存在t2≥t1和偶數(shù)l使得（C1）和（C2）對(duì)t≥t2成立.如同n為偶數(shù)的情況一樣，設(shè)l≥2，則由（C1）式得x（j）（t）＞0，j＝0，1，2.這與x（t）的有界性矛盾，因此l＝0.由（C2）式，我們有

顯然，（18）式即為（6）式.應(yīng)用Taylor公式和（6）式，同樣得到（7）式.因n為奇數(shù)，故（－1）n－1＝1.于是，（7）式成為

接下來(lái)的討論與n為偶數(shù)的情況一樣.我們可以得到x（n－1）（t）＜0.但此與（18）式矛盾.因此，當(dāng)n為奇

數(shù)時(shí)，方程（1）的有界解均振動(dòng).定理證畢.例1 考慮二階方程

其中M和N為正常數(shù)且滿足條件

因此，根據(jù)定理1，方程（19）的每一有界解振動(dòng).

例2 考慮三階方程

因此，根據(jù)定理1，方程（21）的每一有界解振動(dòng).

［1］ SHEVELOV N.Oscillation of solutions of differential equations with deviating arguments［M］.Kiev：Science Press，1978：46－79.

［2］ AGARWAL R P，GRACE S R，O'REGAN D.Oscillation theory for second order dynamic equations［M］.U K：Taylor ＆Francis，2003：35－184.

［3］ ERBE L H，KONG Q，ZHANG B.Oscillation theory for functional differential equations［M］.New York：Marcel Dedder，1995：288－373.

［4］ GYORY I，LADAS G.Oscillation theory of delay differential equations with applications［M］.Oxford：Clarendon Press，1991：32－57.

［5］ LADAS G，LAKSHMIKANTHAM V，ZHANG B.Oscillation theory of differential equations with deviating arguments［M］.New York：Marcel Dedder，1987：70－124.

［6］ AGARWAL R P，GRACE S R，O'REGAN D.Oscillation theory for difference and functional differential equations［M］.Dordrecht：Kluwer，2000：56－108.

［7］ BAINOV D，SIMEONOV P.Positive solutions of a superlinear first order differential equations with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，1998，88（1）：95－101.

［8］ BAINOV D，MARKOVA N，SIMEONOV P.Asymptotic behavior of the nonoscillatory solutions of differential equations of second order with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，1998，91（1）：87－96.

［9］ DOMOSHNITSKY A，DRAKHLIN M，LITSYN E.On equations of second order with delay depending on solution［J］.Nonl Anal，2002，49（5）：689－701.

［10］ HARTUNG F，TURI J.On the asymptotic behavior of the solutions of a state dependent delay equation［J］.Differential and Integral Equations，1995，8：1867－1872.

［11］ LI W，ZHANG S.Classifications and existence of positive solutions of higher order nonlinear iterative functional differential equations［J］.J Comput Appl Math，2002，139（2）：351－367.

［12］ LI WANGTONG，DONG ZHONGQI.Classifications and existence of positive solutions of second order nonlinear differential equations with delay depending on the unknown functions［J］.Acta Math Sci，2004，24B：403－411.

［13］ LUO JIAOWAN.Asymptotic behavior of solutions of second order quasilinear differential equations with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，2006，185（1）：133－143.

［14］ XU ZHITING.Oscillation and nonoscillation of second order differential equations with delay depending on the unknown function［J］.J Comput Appl Math，2008，214（2）：371－380.

［15］ LADAS G，SFICAS Y G，STAVROULAKIS I P.Necessary and sufficient conditions for oscillation of higher order delay differential equations［J］.Trans Amer Math Soc，1984，285：81－90.

［16］ EL－ATTAR M A，EL－ABAD E M，EL－ABAD E E.Oscillations of the solutions of retarded differential equations［J］.J Fuaay Math，2006，14：451－459.

are considered，where n≥2and the deviating argumentsΔj（j＝1，2，…，k）depend on the independent variable t as well as on the unknown function x.Sufficient conditions are found under which every bounded solution of the above－mentioned equation is oscillatory.

Oscillation theorem of higher order functional differential equations with deviating arguments depending on the unknown function

LIN Dan－ling
（Department of Mathematics and Applied Mathematics，Hanshan Normal University，Chaozhou 521041，China）

higher order differential equation；delay depending on the unknown function；bounded solution；oscillation

In this paper higher order functional differential equations of the type

O 175 ［學(xué)科代碼］ 110·47

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000－1832（2014）02－0016－06

10.11672／dbsdzk2014－02－004

2013－03－02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11247310）；韓山師范學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目（LY201302）.

林丹玲（1963—），女，副教授，主要從事泛函微分方程研究.