例析在二次函數(shù)解題中常見的錯誤

王學(xué)麗

二次函數(shù)的問題在中考時是必涉及的內(nèi)容，同學(xué)們在解答中常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，造成失分，為幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)好本部分內(nèi)容，考出好成績，今將同學(xué)們在解答這方面的問題時出現(xiàn)的錯誤類型歸納如下.

1 不能正確把握題意，導(dǎo)致考慮問題不全面

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的圖象與x軸總有交點，求m的取值范圍.

誤解 由題意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-87.

分析 上述解法的錯誤在于沒有正確把握題意，誤把函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1當(dāng)作二次函數(shù)來解.由于函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1表達(dá)式中m的值不確定，題意又沒有明確指出該函數(shù)一定是二次函數(shù)，所以應(yīng)考慮m-4=0的情況.當(dāng)m-4=0，即m=4時，函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1變成y=12x+5，其圖象是一條直線，它與x軸有一個交點；當(dāng)m-4≠0時，函數(shù)是二次函數(shù)，其圖象與x軸有交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點，所以Δ>0.故原解法不嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏對二次項的系數(shù)進(jìn)行討論，只考慮了其中的一個方面，從而導(dǎo)致錯誤.

正解 當(dāng)m-4=0時，函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1=12x+5與x軸有交點.

當(dāng)m-4≠0時，Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32≥0，

解得m≥-87.即當(dāng)m≥-87時，拋物線與x軸有交點.

綜合以上兩種情況可知，當(dāng)m≥-87時，此函數(shù)的圖象與x軸有交點.

2 記不準(zhǔn)拋物線頂點坐標(biāo)及對稱軸而導(dǎo)致錯誤

例2 y=2x2+8x-2的頂點坐標(biāo)是 .

誤解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以頂點坐標(biāo)是（2，-10）.

分析 求頂點的方法可用配方法、公式法或先根據(jù)公式確定頂點的橫坐標(biāo)-b2a，再代入y=ax2+bx+c求出縱坐標(biāo).在用配方法把y=ax2+bx+c寫成y=a[JB（（]x+b2a〖JB））〗2+4ac-b24a后，其頂點坐標(biāo)為[JB（（]-b2a，4ac-b24a〖JB））〗，這里請同學(xué)們千萬不要記錯了符號.

正解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以頂點坐標(biāo)是（-2，-10）.

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，對稱軸是x=1，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

分析 本題為綜合題，有一定難度，綜合考查了二次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合以及分析問題的能力.解答錯誤的原因在于沒搞清楚拋物線開口方向與解析式子中a的關(guān)系.解答本題最好的方法是用排除法.首先對二次函數(shù)對應(yīng)的圖象作出判斷，分類討論：

（1）若二次函數(shù)的圖象為第一個圖，則由開口向上知a>0，對稱軸為y軸知b=0，與y軸相交于于負(fù)半軸，則a2+b=a2<0，而這是不可能的，故可排除第一個圖；

（2）若二次函數(shù)的圖象為第二個圖，由拋物線的開口向下，知a<0，對稱軸為y軸知b=0，則把兩交點（-2，0）、（2，0）代入解析式求得a=0（設(shè)去）或a=-4，從圖上可以看出拋物線頂點的縱坐標(biāo)小于3，而a2=16>3，故排除第二個圖；

（3）若二次函數(shù)的圖象為第三個圖，由拋物線的開口向下，知a<0，對稱軸在y軸右側(cè)知b>0.則交點（-1，0）代入解析式得a-b+a2+b=0，即a2+a=0，解得a=0（設(shè)去）或a=-1.故第三個圖適合；

（4）若二次函數(shù)的圖象為第四個圖，由拋物線的開口向上知a>0，對稱軸在y軸左側(cè)知b>0.而拋物線經(jīng)過原點有a2+b=0，這與a>0，b>0相矛盾，故也排除第四個圖.

正解 A.

4 不能正確的平移拋物線endprint

二次函數(shù)的問題在中考時是必涉及的內(nèi)容，同學(xué)們在解答中常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，造成失分，為幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)好本部分內(nèi)容，考出好成績，今將同學(xué)們在解答這方面的問題時出現(xiàn)的錯誤類型歸納如下.

1 不能正確把握題意，導(dǎo)致考慮問題不全面

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的圖象與x軸總有交點，求m的取值范圍.

誤解 由題意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-87.

分析 上述解法的錯誤在于沒有正確把握題意，誤把函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1當(dāng)作二次函數(shù)來解.由于函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1表達(dá)式中m的值不確定，題意又沒有明確指出該函數(shù)一定是二次函數(shù)，所以應(yīng)考慮m-4=0的情況.當(dāng)m-4=0，即m=4時，函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1變成y=12x+5，其圖象是一條直線，它與x軸有一個交點；當(dāng)m-4≠0時，函數(shù)是二次函數(shù)，其圖象與x軸有交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點，所以Δ>0.故原解法不嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏對二次項的系數(shù)進(jìn)行討論，只考慮了其中的一個方面，從而導(dǎo)致錯誤.

正解 當(dāng)m-4=0時，函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1=12x+5與x軸有交點.

當(dāng)m-4≠0時，Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32≥0，

解得m≥-87.即當(dāng)m≥-87時，拋物線與x軸有交點.

綜合以上兩種情況可知，當(dāng)m≥-87時，此函數(shù)的圖象與x軸有交點.

2 記不準(zhǔn)拋物線頂點坐標(biāo)及對稱軸而導(dǎo)致錯誤

例2 y=2x2+8x-2的頂點坐標(biāo)是 .

誤解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以頂點坐標(biāo)是（2，-10）.

分析 求頂點的方法可用配方法、公式法或先根據(jù)公式確定頂點的橫坐標(biāo)-b2a，再代入y=ax2+bx+c求出縱坐標(biāo).在用配方法把y=ax2+bx+c寫成y=a[JB（（]x+b2a〖JB））〗2+4ac-b24a后，其頂點坐標(biāo)為[JB（（]-b2a，4ac-b24a〖JB））〗，這里請同學(xué)們千萬不要記錯了符號.

正解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以頂點坐標(biāo)是（-2，-10）.

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，對稱軸是x=1，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

分析 本題為綜合題，有一定難度，綜合考查了二次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合以及分析問題的能力.解答錯誤的原因在于沒搞清楚拋物線開口方向與解析式子中a的關(guān)系.解答本題最好的方法是用排除法.首先對二次函數(shù)對應(yīng)的圖象作出判斷，分類討論：

（1）若二次函數(shù)的圖象為第一個圖，則由開口向上知a>0，對稱軸為y軸知b=0，與y軸相交于于負(fù)半軸，則a2+b=a2<0，而這是不可能的，故可排除第一個圖；

（2）若二次函數(shù)的圖象為第二個圖，由拋物線的開口向下，知a<0，對稱軸為y軸知b=0，則把兩交點（-2，0）、（2，0）代入解析式求得a=0（設(shè)去）或a=-4，從圖上可以看出拋物線頂點的縱坐標(biāo)小于3，而a2=16>3，故排除第二個圖；

（3）若二次函數(shù)的圖象為第三個圖，由拋物線的開口向下，知a<0，對稱軸在y軸右側(cè)知b>0.則交點（-1，0）代入解析式得a-b+a2+b=0，即a2+a=0，解得a=0（設(shè)去）或a=-1.故第三個圖適合；

（4）若二次函數(shù)的圖象為第四個圖，由拋物線的開口向上知a>0，對稱軸在y軸左側(cè)知b>0.而拋物線經(jīng)過原點有a2+b=0，這與a>0，b>0相矛盾，故也排除第四個圖.

正解 A.

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二次函數(shù)的問題在中考時是必涉及的內(nèi)容，同學(xué)們在解答中常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，造成失分，為幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)好本部分內(nèi)容，考出好成績，今將同學(xué)們在解答這方面的問題時出現(xiàn)的錯誤類型歸納如下.

1 不能正確把握題意，導(dǎo)致考慮問題不全面

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的圖象與x軸總有交點，求m的取值范圍.

誤解 由題意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-87.

分析 上述解法的錯誤在于沒有正確把握題意，誤把函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1當(dāng)作二次函數(shù)來解.由于函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1表達(dá)式中m的值不確定，題意又沒有明確指出該函數(shù)一定是二次函數(shù)，所以應(yīng)考慮m-4=0的情況.當(dāng)m-4=0，即m=4時，函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1變成y=12x+5，其圖象是一條直線，它與x軸有一個交點；當(dāng)m-4≠0時，函數(shù)是二次函數(shù)，其圖象與x軸有交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點，所以Δ>0.故原解法不嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏對二次項的系數(shù)進(jìn)行討論，只考慮了其中的一個方面，從而導(dǎo)致錯誤.

正解 當(dāng)m-4=0時，函數(shù)y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1=12x+5與x軸有交點.

當(dāng)m-4≠0時，Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32≥0，

解得m≥-87.即當(dāng)m≥-87時，拋物線與x軸有交點.

綜合以上兩種情況可知，當(dāng)m≥-87時，此函數(shù)的圖象與x軸有交點.

2 記不準(zhǔn)拋物線頂點坐標(biāo)及對稱軸而導(dǎo)致錯誤

例2 y=2x2+8x-2的頂點坐標(biāo)是 .

誤解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以頂點坐標(biāo)是（2，-10）.

分析 求頂點的方法可用配方法、公式法或先根據(jù)公式確定頂點的橫坐標(biāo)-b2a，再代入y=ax2+bx+c求出縱坐標(biāo).在用配方法把y=ax2+bx+c寫成y=a[JB（（]x+b2a〖JB））〗2+4ac-b24a后，其頂點坐標(biāo)為[JB（（]-b2a，4ac-b24a〖JB））〗，這里請同學(xué)們千萬不要記錯了符號.

正解 y=2x2+8x-2=2（x+2）2-10.所以頂點坐標(biāo)是（-2，-10）.

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，對稱軸是x=1，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

分析 本題為綜合題，有一定難度，綜合考查了二次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合以及分析問題的能力.解答錯誤的原因在于沒搞清楚拋物線開口方向與解析式子中a的關(guān)系.解答本題最好的方法是用排除法.首先對二次函數(shù)對應(yīng)的圖象作出判斷，分類討論：

（1）若二次函數(shù)的圖象為第一個圖，則由開口向上知a>0，對稱軸為y軸知b=0，與y軸相交于于負(fù)半軸，則a2+b=a2<0，而這是不可能的，故可排除第一個圖；

（2）若二次函數(shù)的圖象為第二個圖，由拋物線的開口向下，知a<0，對稱軸為y軸知b=0，則把兩交點（-2，0）、（2，0）代入解析式求得a=0（設(shè)去）或a=-4，從圖上可以看出拋物線頂點的縱坐標(biāo)小于3，而a2=16>3，故排除第二個圖；

（3）若二次函數(shù)的圖象為第三個圖，由拋物線的開口向下，知a<0，對稱軸在y軸右側(cè)知b>0.則交點（-1，0）代入解析式得a-b+a2+b=0，即a2+a=0，解得a=0（設(shè)去）或a=-1.故第三個圖適合；

（4）若二次函數(shù)的圖象為第四個圖，由拋物線的開口向上知a>0，對稱軸在y軸左側(cè)知b>0.而拋物線經(jīng)過原點有a2+b=0，這與a>0，b>0相矛盾，故也排除第四個圖.

正解 A.

4 不能正確的平移拋物線endprint